“出入相補(bǔ)”四個(gè)字最早出現(xiàn)在三國(guó)時(shí)期魏國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的《九章算術(shù)注》一書(shū)中。劉徽在書(shū)中提及：半廣者，以盈補(bǔ)虛為直田也，亦可半正從以乘廣，按半廣乘從，以取中平之?dāng)?shù)，故廣從相乘為積步。

這里的“廣”指的是三角形的底邊，“正從”指的是高?！鞍霃V者，以盈補(bǔ)虛為直田也”指的是過(guò)三角形兩邊中點(diǎn)做底邊垂線(xiàn)，可將三角形割補(bǔ)成矩形（即直田），如圖1所示?！耙嗫砂胝龔囊猿藦V”則是另一種辦法：取高的一半，同樣可以割補(bǔ)成矩形，如圖2所示?！鞍窗霃V乘從，以取中平之?dāng)?shù)，故廣從相乘為積步”，就是說(shuō)根據(jù)這個(gè)圖形可得三角形的面積為底乘高的一半！劉徽就這樣推導(dǎo)出了三角形的面積公式，而這種方法就是“出入相補(bǔ)”之術(shù)，即割補(bǔ)法。這個(gè)方法的精彩之處在于把三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成四邊形來(lái)解決。

清代數(shù)學(xué)家李銳借助三個(gè)正方形，用“出入相補(bǔ)”的方法證明了勾股定理。如圖3所示，將△AFD移到△JGH處，將△FBM移到△DEN處，將△HIN移到△GJM處。這樣，兩個(gè)小正方形的面積之和就等于大正方形的面積，由此可證明勾股定理。

“出入相補(bǔ)”在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用。我國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊院士通過(guò)研究，揭示了中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在“出入相補(bǔ)”原理的引導(dǎo)下，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解的規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中“幾何代數(shù)化”這一更為本質(zhì)的特征，與希臘演繹幾何形成鮮明的對(duì)照。

（作者單位：江蘇省南京市鐘英中學(xué)）