劉官瑞

（重慶交通大學(xué) 機電與車輛工程學(xué)院，重慶 400000）

電機由于其效率高和成本低等優(yōu)點，在旋轉(zhuǎn)機械中越來越受歡迎。理想的電機氣隙是均勻的，然而由于制造誤差、裝配誤差和運行磨損等，電機氣隙在圓周方向上不再均勻分布，其導(dǎo)致的不平衡磁拉力將轉(zhuǎn)子運動中心拉得更遠，引發(fā)了電機機械系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

早在1987年Belmans[1]計算了兩極感應(yīng)電機的徑向偏心力并研究了電機中同極磁通量大小。郭丹[2]通過麥克斯韋方程組建立了偏心引起的磁拉力表達式，表明系統(tǒng)非線性程度與偏心大小成正比。Guo[3]等利用麥克斯韋應(yīng)力張量推導(dǎo)了徑向偏心力的解析解。劉清[4]建立了電機彈性轉(zhuǎn)子運動的微分方程，通過分析發(fā)現(xiàn)不平衡磁拉力的線性部分與非線性部分對轉(zhuǎn)子的運動特性影響不同。Pennacchi[5]得出了偏心條件下氣隙長度的更精確表達方式，并用梁單元對發(fā)電機進行建模，以研究由于徑向偏心力引起的轉(zhuǎn)子動力學(xué)行為。劉鋒[6]等利用多尺度法得到了轉(zhuǎn)子渦動引起的不平衡磁拉力表達式，發(fā)現(xiàn)了不平衡磁拉力的非線性特性，使得轉(zhuǎn)子渦動振幅隨時間改變。何成兵[7]建立了裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在渦動下的彎扭耦合振動微分方程，分析了裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)響應(yīng)。然而，上述文獻都是用解析法和集中參數(shù)法模擬電機的不平衡磁拉力，忽略了電機的大部分特性，是一種理想的情況。雖然基于有限元模擬的電機能反映真實的情況，但是轉(zhuǎn)子的運動特性卻不能包含在內(nèi)，同時需要消耗大量的時間進行分析。為了平衡模型的精度和計算時間，MEC模型被用于研究轉(zhuǎn)子偏心問題。Vandevelde[8]建立了感應(yīng)電機MEC模型，并通過能量法計算了徑向偏心力。Han[9]研究了徑向力和切向力對轉(zhuǎn)子振動穩(wěn)定性的影響。綜上所述，基于MEC方法研究電機轉(zhuǎn)子偏心特性與實際情況更加符合。目前，所有的文獻都沒有考慮MEC建模電機下的轉(zhuǎn)子彎扭耦合動態(tài)特性。本文基于文獻[10]中的感應(yīng)電機MEC模型，結(jié)合Jeffcott轉(zhuǎn)子模型，考慮轉(zhuǎn)子彎扭耦合、磁路飽和以及電機開槽等內(nèi)部激勵對機電系統(tǒng)的影響，建立了機電耦合模型。

1 感應(yīng)電機MEC模型

圖1為轉(zhuǎn)子偏心下感應(yīng)電機的部分MEC模型。電機分為4層，分別是定子軛部、定子齒部、轉(zhuǎn)子齒部以及轉(zhuǎn)子軛部。每一層的磁動勢分別用F1、F2、F3，F(xiàn)4表示。將定子軛部和齒部按照定子齒數(shù)(k)平均分割，得到的磁阻分別表示為Gsy(i)和Gst(i)，其中i=1,2,…,k。將轉(zhuǎn)子軛部和齒部按照轉(zhuǎn)子齒數(shù)n平均分割，得到的磁阻分別表示為Gry(j)和Grt(j)，其中j=1,2,…,n。Φst(i)、Φrt(j)分別表示齒部磁通量，G(i,j)表示氣隙磁導(dǎo)，Gsδ、Grδ分別表示槽間漏磁導(dǎo)。

根據(jù)劃分規(guī)則，由磁場基爾霍夫定理得到節(jié)點方程組：

式中，A11和A44分別表示定、轉(zhuǎn)子軛部磁阻矩陣；A22和A33分別表示定、轉(zhuǎn)子齒部磁阻矩陣；A23表示定子磁阻與氣隙磁阻的合成矩陣，A23=AT32；Φst和Φrt分別表示定、轉(zhuǎn)子齒部磁通量矩陣。

圖1 轉(zhuǎn)子偏心電機MEC示意圖

電機定子齒部和轉(zhuǎn)子齒部還應(yīng)滿足如下關(guān)系：

式中：ψS和ψR分別表示定、轉(zhuǎn)子磁鏈；MSψ和Mrψ分別表示定、轉(zhuǎn)子磁鏈傳輸矩陣；FS和Fr分別表示定、轉(zhuǎn)子齒部磁動勢，均與電流相關(guān)。

FS和Fr可表示為：

式中：Mstmmf和Mrtmmf分別表示定轉(zhuǎn)子繞組傳輸矩陣，與電機的連接方式有關(guān)[7]；IS和IR分別表示定轉(zhuǎn)子繞組電流。然而，目前上述方程還無法求解，因為方程只描述了各個節(jié)點間的磁勢關(guān)系而沒有引入外部磁鏈方程。

定子磁鏈方程可表示為：

式中，VA、VB、VC分別表示三相繞組的電壓，ψSA、ψSB、ψSC分別表示三相繞組的磁鏈，IA、IB、IC分別表示三相繞組的電流，RA、RB、RC分別表示三相繞組的電阻。

轉(zhuǎn)子磁鏈方程可以表示為：

到此，感應(yīng)電機的MEC方程已經(jīng)建立完成，接下來將計算電機轉(zhuǎn)子偏心下的氣隙磁導(dǎo)，其中氣隙磁導(dǎo)的計算是MEC模型的重點。

本研究中電機氣隙并不均勻。由圖1可知，在不同的空間角度，氣隙長度不同。當電機轉(zhuǎn)子出現(xiàn)混合偏心時，氣隙長度可以表示為[2]：

式中：δs和δd分別表示靜動態(tài)偏心率；g表示平均氣隙長度；wr表示轉(zhuǎn)子角速度；θ表示轉(zhuǎn)子外圓機械角度。

最大氣隙磁導(dǎo)率為：

式中：μ0表示真空磁導(dǎo)率；Smax表示定轉(zhuǎn)子之間的最大重疊面積。于是，可得到混合偏心下氣隙磁導(dǎo)率RG(i,j)：

θt′和θt取決于轉(zhuǎn)子齒面寬度和定子齒面寬度[7]。當氣隙磁導(dǎo)和電機的磁壓降確定后，電磁轉(zhuǎn)矩Te和徑向電磁力Fx、Fy分別為：

式中：r和l分別表示轉(zhuǎn)子鐵芯半徑和長度；Br和Bt分別表示徑向和切向磁通密度，可以由麥克斯韋張量法結(jié)合氣隙磁導(dǎo)率計算得到。

2 轉(zhuǎn)子彎扭耦合模型

電機轉(zhuǎn)子偏心系統(tǒng)可以被假設(shè)為Jeffcott轉(zhuǎn)子模型[9]。整個系統(tǒng)中，系統(tǒng)受到的非保守力為阻尼力、不平衡磁拉力以及電磁扭矩。根據(jù)非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎扭耦合振動方程為：

式中：m2表示轉(zhuǎn)子集中質(zhì)量；e表示總的偏心距；x和y表示轉(zhuǎn)子的振動位移；θm表示轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)位移；J表示轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量；k表示轉(zhuǎn)子軸彎曲剛度。

3 仿真分析

利用牛頓法求解電機MEC方程，并將每一步求解出的電磁轉(zhuǎn)矩和不平衡磁拉力帶入轉(zhuǎn)子彎扭耦合方程，通過龍格庫塔法求解該方程，最后得到機電耦合系統(tǒng)的動態(tài)特性。為了研究偏心程度對機電系統(tǒng)的影響，分別取e=0、e=0.1和e=0.2得到轉(zhuǎn)子的振動特性和電機定子電流時域圖，分別如圖2和圖3所示。

圖2 轉(zhuǎn)子振動特性

圖3 定子電流時域圖

由圖2可知，隨著偏心程度的增大，轉(zhuǎn)子振動范圍擴大。由于不平衡磁拉力非線性的影響，轉(zhuǎn)子運動變得復(fù)雜。由圖3可知，電機偏心使定子電流不呈標準的三角函數(shù)。電流順滑程度與偏心距成反比，但總體影響較小。

4 結(jié)語

本文通過電機MEC方程和轉(zhuǎn)子彎扭耦合的Jefcoot模型，建立了電機轉(zhuǎn)子機電耦合動力學(xué)模型。結(jié)合牛頓法和龍格庫塔法求解該動力學(xué)模型，得到了不同偏心程度對機電系統(tǒng)特性的影響結(jié)果。仿真結(jié)果表明，轉(zhuǎn)子振動特性與偏心距之間并不是線性關(guān)系。這是因為隨著偏心程度的加大，磁路接近于飽和，不平衡磁拉力不再增大，系統(tǒng)振動的劇烈性也逐漸減小。同時，通過研究發(fā)現(xiàn)，定子電流幅值受偏心的影響程度較小。