信吉平 肖世宏 周 鵬

（1.中國航空制造技術(shù)研究院，北京 100024；2.數(shù)字化制造技術(shù)航空科技重點實驗室，北京 100024；3.復雜構(gòu)件數(shù)控加工工藝及裝備北京市重點實驗室，北京 100024）

金屬切削是一個復雜的物理過程[1-3]。工件在刀具的擠壓作用下，切削層材料由于塑性變形而發(fā)生滑移。這個過程從始滑移線開始到終滑移線結(jié)束。材料在經(jīng)過第一變形區(qū)后，沿著前刀面流出形成第二變形區(qū)，從而產(chǎn)生切屑，這是一個大變形或者自由邊界問題。在切削第一變形區(qū)和第二變形區(qū)時，塑性變形和摩擦都會產(chǎn)生熱量。熱量會引起溫度場的變化，溫度場會引起彈塑性本構(gòu)關系的變化，這是一個熱傳導方程和彈塑性方程的耦合問題。在金屬切削數(shù)值計算中，既要考慮熱彈塑性問題，也要考慮自由邊界問題，且兩個問題還需要進行耦合。這里主要針對自由邊界問題進行研究。切屑的形狀分為帶狀、節(jié)狀、粒狀和崩碎。金屬切削包括車、銑、刨、磨、鉆和鏜等種類，因此切屑的自由邊界非常復雜，且是計算的關鍵點和難點。

處理金屬切削自由邊界問題需要特殊的方法，主要包括任意拉格郎日-歐拉方法（Arbitrary Lagrangian-Eulerian，ALE）、耦合的歐拉-拉格郎日方法（Coupling of Euler-Lagrange，CEL）和光滑粒子流體動力學方法（Smoothed particle Hydrodynamics，SPH）。 在 通 用 商業(yè)軟件Abaqus、LS-Dyna、MSC Marc和專業(yè)切削軟件AdvantEdge、Deform中，分別采用了這幾種方法。CEL方法的特點在于拉格郎日區(qū)域和歐拉區(qū)域的耦合。由于CEL方法中歐拉方法的屬性，它在精確跟蹤自由邊界上存在一定的難度，因此本文不作考慮。現(xiàn)深入比較粒子有限元方法、ALE方法和SPH方法的原理和特點，并選擇PFEM開發(fā)金屬切削粒子有限元求解器。PFEM在處理自由邊界問題上表現(xiàn)出了良好的效果，特點在于利用了邊界重構(gòu)算法和網(wǎng)格剖分算法的優(yōu)點，同時兼具有網(wǎng)格方法和無網(wǎng)格方法的優(yōu)點[1-3]。目前，商業(yè)軟件和開源軟件中都尚未實現(xiàn)該方法。

1 ALE、SPH、PFEM方法原理及比較

1.1 ALE方法原理

有關拉格郎日-歐拉方法的研究可以追溯到20世紀60年代[4-6]。它兼具純歐拉方法和純拉格郎日方法的優(yōu)點，同時規(guī)避了它們的缺點。在歐拉方法中，網(wǎng)格點不隨著材料點移動，不需要對網(wǎng)格進行特殊處理，但無法跟蹤自由邊界。在拉格郎日方法中，網(wǎng)格點隨著材料點移動，可以很好地跟蹤自由邊界，但網(wǎng)格會隨著材料的大變形發(fā)生紊亂而影響計算。在ALE方法中，網(wǎng)格點既可以按照純拉格郎日方法移動，又可以按照純歐拉方法移動，還可以根據(jù)區(qū)域網(wǎng)格重分進行移動。因此，ALE方法介于拉格郎日方法和歐拉方法之間。網(wǎng)格點可以移動但不需要完全跟隨材料點移動，既可以跟蹤自由邊界，也可以利用區(qū)域網(wǎng)格重分保持網(wǎng)格質(zhì)量。區(qū)域網(wǎng)格重分方法包括網(wǎng)格規(guī)則化和網(wǎng)格自適應。

ALE方法在區(qū)域網(wǎng)格重分前后需要保持質(zhì)量、動量和能量守恒。ALE方法中有3個網(wǎng)格，分別為歐拉網(wǎng)格（x）、材料網(wǎng)格（X）和ALE網(wǎng)格（χ）。材料網(wǎng)格和ALE網(wǎng)格都是由歐拉網(wǎng)格移動得到的，但是ALE網(wǎng)格不完全隨著材料網(wǎng)格移動。3個網(wǎng)格之間存在對應關系，在計算過程中迭代更新。方程組（1）是歐拉網(wǎng)格到材料網(wǎng)格的方程組，方程組（2）是歐拉網(wǎng)格到ALE網(wǎng)格的方程組，分別包括質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒方程。方程組（1）和方程組（2）定義在歐拉網(wǎng)格構(gòu)成的幾何區(qū)域上。vX是材料網(wǎng)格區(qū)域點移動速度，vχ是ALE網(wǎng)格區(qū)域點移動速度，材料點和ALE點相對移動速度為vX-vχ，相對速度可以用于守恒計算中的邊掃略，ρ為密度，σ為應力張量，b為體力向量，E為能量。

方程組（1）和方程組（2）是微分形式，下面考慮積分形式。首先考慮方程組（1）和方程組（2）中的質(zhì)量守恒方程，在歐拉網(wǎng)格單元K上進行積分，再對時間積分，得到方程組（3）：

方程組（3）中的兩個子式相減，得到：

隨著tn+1的變化，密度ρ會發(fā)生變化，網(wǎng)格單元點會發(fā)生位移。根據(jù)位移，從K產(chǎn)生材料網(wǎng)格和ALE網(wǎng)格中的新網(wǎng)格單元。式（4）左邊是在K上的積分，但是積分得到是K對應的材料網(wǎng)格和ALE網(wǎng)格中的新網(wǎng)格單元上的質(zhì)量。式（4）右邊是新網(wǎng)格單元之間的邊掃掠，因此式（4）是材料網(wǎng)格和ALE網(wǎng)格之間的質(zhì)量守恒。和質(zhì)量守恒類似，還可以同理推導動量和能量守恒公式。

1.2 SPH方法原理

SPH方法[7-9]避免了網(wǎng)格處理，將材料近似成點集，促使材料點和周圍點進行相互作用。質(zhì)量、動量、能量守恒方程中的物理量可以通過delta函數(shù)表示：

該函數(shù)可以用核函數(shù)近似，積分可以用數(shù)值積分近似，于是得到：

類似可以推導散度公式，然后帶入質(zhì)量、動量和能量守恒方程。從式（5）和式（6）的近似可以看出，SPH方法的實現(xiàn)明顯比任意拉格朗日-歐拉方法要簡單，不需要網(wǎng)格剖分、有限元離散和數(shù)值積分。SPH方法需要鄰近點搜索算法，而鄰近點個數(shù)會影響計算精度。SPH不具備有網(wǎng)格算法的邊界網(wǎng)格定義，因此需要邊界力和影子粒子等方法來定義邊界條件。

1.3 PFEM方法原理

PFEM方法[10-13]兼具邊界重構(gòu)算法和網(wǎng)格剖分算法的優(yōu)點。PFEM是一種拉格朗日方法。PFEM方法中，網(wǎng)格點隨著材料點移動，具有無網(wǎng)格方法的優(yōu)點。它不像ALE方法基于舊網(wǎng)格的調(diào)整獲取新網(wǎng)格，而是根據(jù)新網(wǎng)格點云進行邊界重構(gòu)，再利用邊界重構(gòu)得到邊界網(wǎng)格作為約束，剖分帶約束的區(qū)域網(wǎng)格，從而避免了ALE在舊網(wǎng)格和新網(wǎng)格之間尋找平衡的難點，又具備了有網(wǎng)格方法的優(yōu)點，避免了SPH方法鄰近點和邊界條件的缺陷。PFEM方法采用了Alpha Shape邊界重構(gòu)算法，通過調(diào)整alpha值可以提高邊界重構(gòu)的精度，如圖1所示。圖1中第1個圖alpha值為0.001，結(jié)果是所有點。第2個圖alpha值為0.1，結(jié)果可以識別出L形狀的直角。第3個圖alpha值為1，結(jié)果是點云的凸包。

1.4 3種方法的比較

用于金屬切削的數(shù)值計算方法種類很多，包括ALE、SPH、PFEM和CEL。各種方法互有優(yōu)缺點，需根據(jù)具體的應用需求選擇合適的計算方法。從原理來說，ALE方法是最理想最復雜的方法，同時具備歐拉方法和拉格朗日方法的優(yōu)點。它基于網(wǎng)格規(guī)則化和自適應獲取新網(wǎng)格，可以避免網(wǎng)格重新剖分，有助于減少計算機的運算量。但是，ALE方法需在紊亂網(wǎng)格和規(guī)則網(wǎng)格之間尋找平衡，還需要保持質(zhì)量、動量和能量守恒，導致算法相對復雜，是我國目前沒有工業(yè)級仿真軟件的原因之一。SPH方法在鄰近點和邊界條件上都存在原理性缺陷，存在計算效率、精度和復雜邊界處理上的問題。但是，隨著計算機算力的增強，它在很多問題上體現(xiàn)出了越來越強的優(yōu)勢。計算機算力增強對PFEM方法也是機遇。PFEM方法同時兼具有網(wǎng)格方法和無網(wǎng)格方法的優(yōu)點，且算力增強可以彌補PFEM方法作為無網(wǎng)格方法存在的缺陷。

圖1 Alpha Shape

2 金屬切削粒子有限元求解器開發(fā)（PFEM）和算例介紹

通過比較PFEM、ALE和SPC，選取PFEM開發(fā)金屬切削粒子有限元求解器。求解器可以求解二維和三維問題，圖2為三維垂直切削算例。圖2（a）是切削變形第n時間步網(wǎng)格，第n+1時間步網(wǎng)格點位移；圖2（b）為發(fā)生位移后的點云，根據(jù)點云進行邊界重構(gòu)，如圖2（c）中邊界網(wǎng)格；圖2（c）中邊界網(wǎng)格作為約束進行體網(wǎng)格剖分，截面如圖2（d）所示。PFEM表現(xiàn)出了很好的自由邊界處理效果。

圖2 金屬切削粒子有限元求解器的垂直切削算例

點云密度越高，均勻度越高，邊界重構(gòu)效果越好。為了提高邊界重構(gòu)的效果，需對邊界網(wǎng)格進行加密。在邊界網(wǎng)格剖分區(qū)域網(wǎng)格時，對體網(wǎng)格相對放粗，如圖3所示的截面，邊界網(wǎng)格密度明顯比體網(wǎng)格密度要大，在保證精度的前提下，可以提高計算效率。

圖3 PFEM邊界網(wǎng)格和體網(wǎng)格密度比較

3 結(jié)語

本文基于PFEM方法開發(fā)了金屬切削粒子有限元求解器，測試了二維和三維垂直切削算例。三維垂直切削雖然簡單，但是既具備一定的工程背景，又可以充分調(diào)試切削算法，還可以直接用于解決復雜的問題。在求解器開發(fā)和算例測試中，PFEM方法表現(xiàn)出了良好的自由邊界重構(gòu)效果，可以直接使用有限元方法的邊界條件和接觸算法。目前，計算機算力很強，PFEM方法計算速度也很快，還可以利用自適應算法和并行計算進一步提高計算效率，因此在后續(xù)工作中會針對非均勻網(wǎng)格邊界重構(gòu)、網(wǎng)格自適應、并行計算和三維復雜切削進行研究。