李開(kāi)瑋

（廣東理工學(xué)院工業(yè)自動(dòng)化系，廣東 肇慶 526100）

電荷在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，常常考察不同速度的粒子流在有限區(qū)域邊界中的運(yùn)動(dòng)軌跡，求解的問(wèn)題一般有以下幾類：1）運(yùn)動(dòng)時(shí)間最值；2）離開(kāi)邊界時(shí)出射點(diǎn)符合一定條件的粒子問(wèn)題；3）粒子獲得動(dòng)能最值。該類問(wèn)題屬于動(dòng)態(tài)問(wèn)題，情景比較復(fù)雜，筆者在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)許多情況下，利用動(dòng)態(tài)圓能夠描繪出隨參數(shù)條件變化的動(dòng)態(tài)軌跡圖像，觀察到問(wèn)題的臨界情形，對(duì)解題提供一個(gè)很好的突破口[1-4]。接下來(lái)將以幾道真題的解析來(lái)討論動(dòng)態(tài)圓的運(yùn)用技巧，給學(xué)生在思考該類問(wèn)題時(shí)提供一些思路和啟發(fā)。

1 真題研究

1）例1（2020 年全國(guó)Ⅰ卷18 題）一勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖1 中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（ ）。

圖1 例1 示意圖

圖2 隨著半徑變化，粒子不同運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 出射點(diǎn)在半圓上時(shí)的動(dòng)態(tài)圓示意圖

若沒(méi)有考慮到動(dòng)態(tài)圓中相切的情形，可以采用常規(guī)的代數(shù)方法求解，如圖4所示，連接半圓圓心與出射點(diǎn)，根據(jù)三角形余弦定理有：

由式（2）得，當(dāng)r=R時(shí)，φ取最大值π/3，此時(shí)圓心角最大。

圖4 代數(shù)法求解示意圖

2）例2（某省高考模擬題）如圖5 所示，一平行板電容器水平放置，在其兩極板中央分別開(kāi)了一條上下正對(duì)的直狹縫，以上極板的狹縫所在直線為x軸，豎直向上為y軸建立一豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系，質(zhì)量為m，電量為-q的粒子流從下極板的狹縫沿豎直向上方向進(jìn)入電容器，粒子速率各不相等，粒子經(jīng)過(guò)電容器的兩個(gè)狹縫后進(jìn)入第一象限，在第一象限內(nèi)，某一片區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，點(diǎn)為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。電容器上板比下板電勢(shì)高，電勢(shì)差為U，忽略粒子的重力及粒子間相互作用，且。

圖5 例2 示意圖

①若某粒子進(jìn)入下極板時(shí)初速度大小為v0，則當(dāng)此粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后，作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為多少？

③為滿足第②問(wèn)中的粒子運(yùn)動(dòng)情況，第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)面積至少是多大？

解析：①該問(wèn)比較簡(jiǎn)單，做法常規(guī)，粒子在離開(kāi)電容器時(shí)速度為v，根據(jù)能量轉(zhuǎn)化關(guān)系：

粒子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力作用，作圓周運(yùn)動(dòng)：

由式（3）、式（4）可得圓周運(yùn)動(dòng)半徑為：

②根據(jù)洛倫茲力方向，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域向右偏轉(zhuǎn)，部分粒子能到達(dá)P點(diǎn)，且過(guò)P時(shí)速度斜向右上方與豎直方向夾角60o，根據(jù)圓的幾何特點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作垂線垂直于速度方向，同時(shí)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向?yàn)樨Q直向上，也作垂線垂直于入射速度方向，圓的半徑應(yīng)處處相等，根據(jù)這些特點(diǎn)作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖6 所示，E點(diǎn)應(yīng)為軌跡圓心，根據(jù)幾何關(guān)系，DE 為水平方向，應(yīng)為等邊三角形，因此有：

圖6 能到達(dá)P 點(diǎn)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

由式（5）、式（6）可得：

③根據(jù)第②問(wèn)中能到達(dá)P點(diǎn)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖像，作出不同橫坐標(biāo)x處入射的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖7 所示，當(dāng)v0=0 時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)半徑最小，入射點(diǎn)橫坐標(biāo)最大，即點(diǎn)A，入射點(diǎn)橫坐標(biāo)最小為x=0，即點(diǎn)B，O1A 與O2B 均為水平方向均為等邊三角形，因此B、A、P 三點(diǎn)共線，故磁場(chǎng)的邊界為BA、，根據(jù)式（5）、式（6），粒子運(yùn)動(dòng)的最小半徑R1，最大半徑R2分別為：

根據(jù)圖7中幾何知識(shí)可得，磁場(chǎng)區(qū)域最小面積為：

由式（8）、式（9）得：

圖7 不同位置入射粒子在磁場(chǎng)區(qū)域軌跡示意圖

2 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)兩道真題解析，講述了動(dòng)態(tài)圓在解帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的技巧，有助于提高學(xué)生作圖，利用幾何圖像得到臨界條件的能力，加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題的思維。