黃坤陽, 劉先一, 張志利

(1. 火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院, 陜西 西安 710025; 2. 中國人民解放軍96901部隊, 北京 100080)

0 引 言

運(yùn)用數(shù)字天頂儀進(jìn)行天文定位是一種高精度的天文定位方法,數(shù)字天頂儀通過電荷耦合元件(charge-coupled device,CCD)星敏感器拍攝星圖,對拍攝的星圖進(jìn)行讀取并與星表結(jié)合進(jìn)行星圖識別。建立識別恒星的CCD圖像坐標(biāo)系和天球切平面坐標(biāo)系之間的映射關(guān)系,再迭代運(yùn)算數(shù)次后最終實(shí)現(xiàn)對測站點(diǎn)位置的精確定位[1-7],其中坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度直接影響了最終的解算結(jié)果。

運(yùn)用數(shù)字天頂儀定位時采用Helmet模型進(jìn)行坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換[8-12],恒星的CCD圖像坐標(biāo)和天球切平面坐標(biāo)均含有一定的誤差[13-18]。在對坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行解算時常采用最小二乘算法[19-22],最小二乘算法只考慮了觀測量的誤差,沒有考慮系數(shù)矩陣的誤差[23-25]?？傮w最小二乘算法能同時顧及系數(shù)矩陣和觀測量的誤差[26-28],但是總體最小二乘算法認(rèn)為系數(shù)矩陣中的數(shù)值均含有一定的誤差,實(shí)際上系數(shù)矩陣中存在著不含誤差的常系數(shù)列(或常系數(shù)行)。

為了高精度地解算識別恒星的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù),本文首先將最小二乘算法和總體最小二乘算法進(jìn)行有效組合，構(gòu)成混合最小二乘算法,既考慮了矩陣中的常系數(shù)列(或常系數(shù)行)也顧及了系數(shù)矩陣及觀測量中的誤差[29-32]。然后，針對數(shù)據(jù)中可能存在粗大誤差的問題,考慮到混合最小二乘算法抵抗粗大誤差的能力較差[33],提出穩(wěn)健加權(quán)的混合最小二乘算法,對識別的恒星數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)。最后，運(yùn)用數(shù)據(jù)仿真對所提算法的優(yōu)越性進(jìn)行了證明。

1 天文定位中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

在運(yùn)用數(shù)字天頂儀進(jìn)行定位的過程中,由CCD星敏感器拍攝天頂上的星圖,通過星表進(jìn)行星圖識別,建立識別恒星的天球切平面坐標(biāo)系和CCD圖像坐標(biāo)系,兩個坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換采用Helmet轉(zhuǎn)換模型,則有:

(1)

式中,(u,v)為識別恒星在天球上的切平面坐標(biāo),切平面坐標(biāo)通過識別恒星的赤經(jīng)赤緯解算得到;(x,y)為識別恒星的CCD圖像坐標(biāo),通過讀取CCD圖像坐標(biāo)得到;a,b,c1,c2為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。令

l=[u1，u2,…,un,v1,v2,…,vn]T

(2)

(3)

當(dāng)識別星點(diǎn)的數(shù)目較多時,式(1)可表示為

l=Ax

(4)

式中,A為由識別恒星的CCD圖像坐標(biāo)組成的系數(shù)矩陣;l為切平面組成的矩陣;x為轉(zhuǎn)換參數(shù)。

2 天文定位中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)解算

2.1 最小二乘算法

當(dāng)識別恒星點(diǎn)的數(shù)目多于求解參數(shù)的數(shù)目時,采用最小二乘算法求解參數(shù)。最小二乘算法考慮了觀測量的誤差,用V表示殘差量構(gòu)成的矩陣,則有:

V=Ax-l

(5)

運(yùn)用最小二乘算法有:

VTP0V=min

(6)

(7)

運(yùn)用最小二乘算法求解參數(shù)的前提是系數(shù)矩陣A中沒有誤差,但是在運(yùn)用數(shù)字天頂儀進(jìn)行定位的過程中,系數(shù)矩陣A由識別恒星的CCD圖像坐標(biāo)組成。在對圖像坐標(biāo)進(jìn)行讀取的過程中會產(chǎn)生一定的誤差量,也就是采用最小二乘算法不能消除讀取CCD圖像星點(diǎn)時造成的誤差,所以直接采用最小二乘算法是不合理的。

2.2 總體最小二乘算法

總體最小二乘算法是一種能夠同時顧及系數(shù)矩陣和觀測量誤差的算法。在進(jìn)行參數(shù)求解的過程中,當(dāng)系數(shù)矩陣和觀測量均含有一定的誤差時,應(yīng)當(dāng)采用總體最小二乘算法。

結(jié)合式(4),當(dāng)系數(shù)矩陣和觀測量中均含有誤差時,可將方程組表示為

(A+EA)x=l+El

(8)

(9)

式中,v1為識別恒星在天球切平面坐標(biāo)中對應(yīng)的誤差;v2為識別恒星在CCD圖像坐標(biāo)中對應(yīng)的誤差?？傮w最小二乘算法估計的準(zhǔn)則可表示為

(10)

在進(jìn)行星圖匹配時,可能因恒星質(zhì)心誤差或匹配錯誤等原因造成識別恒星數(shù)據(jù)中含有粗大誤差,粗大誤差的存在會直接影響參數(shù)最終的解算精度。而總體最小二乘算法對粗大誤差的抵抗能力較差,所以直接采用總體最小二乘算法并不能有效消除粗大誤差對參數(shù)的影響。

2.3 穩(wěn)健加權(quán)的混合最小二乘算法

在進(jìn)行天文定位的過程中,需要高精度地求解CCD圖像坐標(biāo)與天球切平面坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,而常用的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型是Helmet模型。此時系數(shù)矩陣中含有不含誤差的常數(shù)列,而其余每一列都有誤差且不可忽略,并且在觀測量中也含有一定的誤差。

2.3.1 混合最小二乘算法

將最小二乘算法與總體最小二乘算法進(jìn)行有效結(jié)合構(gòu)成混合最小二乘算法,這樣能夠同時顧及到系數(shù)矩陣和觀測向量的誤差,并且能夠考慮到系數(shù)矩陣中的常數(shù)列。

將系數(shù)矩陣A和轉(zhuǎn)換參數(shù)x分解為

(11)

式中,m為觀測量的個數(shù);n為待估參數(shù)的個數(shù);A1為不含誤差的常數(shù)列;n1，n2分別為矩陣A1和A2對應(yīng)的參數(shù)個數(shù)。可以將方程組表示為

A1x1+(A2+EA2)x2=l+El

(12)

采用奇異值分解法對式(12)進(jìn)行求解,對系數(shù)A1進(jìn)行奇異分解:

A1=QR1

(13)

將奇異分解得到的Q的轉(zhuǎn)置矩陣QT左乘式(12)得

(14)

有矩陣:

(15)

所以可將式(12)分解表示為

(16)

(17)

式中,x2tls為運(yùn)用最小二乘算法求解的結(jié)果。

然而在運(yùn)用混合最小二乘算法求解模型參數(shù)時,沒有將恒星數(shù)據(jù)中的粗大誤差考慮在內(nèi),而粗大誤差會對解算的參數(shù)產(chǎn)生較大影響,所以對混合最小二乘算法進(jìn)行穩(wěn)健加權(quán)處理。可得混合最小二乘算法殘差值的表達(dá)式:

(18)

穩(wěn)健混合最小二乘算法的參數(shù)估計值為

(19)

(20)

(21)

2.3.2 權(quán)陣P的設(shè)置

在天頂儀的拍攝過程中,由于城市燈光、空中飛行器、儀器電路噪聲等因素的影響,星圖中可能出現(xiàn)不存在的“假星”。同時,數(shù)字天頂儀采取離焦的方式拍攝恒星,星等越低,星點(diǎn)成像越大,灰度值越大。因此,恒星的星等越低,星點(diǎn)提取的精度越高,可靠性越好,加權(quán)時所賦權(quán)重應(yīng)越大。數(shù)字天頂儀可觀測的星等極限為11星等,天空中觀測到的最亮恒星天狼星(大犬座α)為-1.45 Mv。Ii表示第i顆星的星等,Pi表示對應(yīng)的權(quán)值,各星點(diǎn)的權(quán)值構(gòu)成為

Pi=1-0.080 32×Ii

(22)

式中，Pi∈[0,1]。結(jié)合系數(shù)矩陣A的特點(diǎn),設(shè)置相應(yīng)權(quán)陣:

(23)

式中,P0的第1個和第2個對角元素為0,表示系數(shù)矩陣A的第1列和第2列不需要修正,其余對角線元素為1,表示矩陣A的第3列和第4列元素是等精度獲取的;PX、PY與星等有關(guān)。

3 數(shù)據(jù)分析

在天文定位的解算過程中,識別恒星的天球切平面坐標(biāo)和CCD圖像坐標(biāo)均含有誤差,而且在恒星數(shù)據(jù)中可能會含有粗大誤差。為了比較穩(wěn)健加權(quán)的混合最小二乘算法對數(shù)據(jù)處理的效果,模擬出一組數(shù)據(jù)。構(gòu)造函數(shù)u=-5x+8y+6,v=8x+5y+2,選取一組數(shù)據(jù),如表1所示。

表1 初始數(shù)據(jù)值

對數(shù)據(jù)加入一定的誤差,并在第4個數(shù)據(jù)上加入粗大誤差,如表2所示。

表2 添加誤差的數(shù)據(jù)值

分別運(yùn)用最小二乘、總體最小二乘、混合最小二乘和穩(wěn)健加權(quán)混合最小二乘算法對系數(shù)求解,結(jié)果如表3所示。

表3 不同算法的求解值

對天文定位而言,天球切平面坐標(biāo)系和CCD圖像坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換系數(shù)會直接影響旋轉(zhuǎn)中心的解算值,所以對坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)精度的要求就顯得極為重要。以參數(shù)估計值與實(shí)際值之差的平方和作為評價解算方法優(yōu)劣的一項重要指標(biāo),即

(24)

比較最小二乘、總體最小二乘、混合最小二乘和穩(wěn)健加權(quán)混合最小二乘算法可以得出表4中的δ值。

表4 不同算法之間的比較值

從表4可以看出,不同算法的比較值差異較大。最小二乘和混合最小二乘的值比較接近,總體最小二乘的值最大并且遠(yuǎn)大于其他算法,穩(wěn)健加權(quán)混合最小二乘的值最小。這表明運(yùn)用穩(wěn)健加權(quán)混合最小二乘解算的參數(shù)值與實(shí)際值最為接近,精度也最高。其他算法的精度從大到小依次為混合最小二乘、最小二乘和總體最小二乘，充分體現(xiàn)了穩(wěn)健加權(quán)混合最小二乘算法的優(yōu)勢,證明了該算法能夠有效提高天文定位中的求解精度。

4 結(jié) 論

運(yùn)用數(shù)字天頂儀進(jìn)行天文定位的過程中,坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解對于測站點(diǎn)位置的解算至關(guān)重要。本文對最小二乘算法和總體最小二乘算法進(jìn)行有效組合，構(gòu)成了混合最小二乘算法,并通過穩(wěn)健加權(quán)消除粗大誤差對解算結(jié)果的影響。通過對數(shù)據(jù)的分析,表明穩(wěn)健加權(quán)的混合最小二乘算法在天文定位中的求解精度更高,解算的參數(shù)值與實(shí)際的值更為接近。