叢 爽, 張 坤

(中國科學技術大學自動化系, 安徽 合肥 230027)

0 引 言

量子狀態(tài)估計(quantum state estimation, QSE)又稱為量子態(tài)層析,是一種基于量子系統(tǒng)的測量結果,并將QSE問題轉化為一個多目標最優(yōu)化問題,通過優(yōu)化算法的求解重構出量子狀態(tài)的方法[1-2]。QSE是量子信息的基礎,同時也是實現(xiàn)量子系統(tǒng)狀態(tài)反饋操控的重要組成部分[3]。一個n比特量子系統(tǒng)的狀態(tài)可以由一個d×d(d=2n)維的密度矩陣ρ描述,該密度矩陣同時滿足半正定和單位跡的厄米矩陣約束。QSE基于瞬時投影(強)測量,需要對待測的量子狀態(tài)制備大量的全同副本,并進行完備的(d2-1)次測量[4-5]。由Silberfarb 提出的連續(xù)弱測量提供了一種新的獲取量子測量信息的方式[6-7]。通過連續(xù)弱測量,可以間接地獲取量子態(tài)的部分信息,同時對被測系統(tǒng)動力學特性的影響很弱,因此能夠對量子系統(tǒng)實現(xiàn)在線的連續(xù)測量,為在線QSE提供了可能性[8]。由于QSE需要用到較多的測量數(shù)據(jù),并通過多次迭代處理整個測量數(shù)據(jù)集來估計狀態(tài),一般都是離線進行,而且多次測量和多次迭代所估計出的只是一個固定的量子態(tài)[9-10]。在離線QSE的算法方面,已經取得了很多研究成果,尤其在基于交替方向乘子法(alternating direction multiplier method, ADMM)的優(yōu)化算法方面[2,4,11-13]。

在線QSE不僅要考慮每次只能在線獲取的一個測量值, 還要兼顧到系統(tǒng)的狀態(tài)是隨時間在線變化,也就是說, 在線量子態(tài)估計是對在線動態(tài)變化的量子態(tài)進行估計,這對在線QSE及其算法的實現(xiàn)提出了更大的挑戰(zhàn)[14]。在線QSE的算法方面,Silberfarb等人首先通過量子繪景變換,利用極大似然法,將動態(tài)的時變QSE轉化為對靜態(tài)初始狀態(tài)的估計[6-7]。Cong 等人提出了一種對時變量子態(tài)的在線估計算法,將每個采樣時刻的狀態(tài)估計問題轉化為一個約束最小二乘問題, 并利用Matlab凸優(yōu)化工具箱進行求解[15-16]。極大似然法和凸優(yōu)化工具箱本質上均為離線算法,其在線狀態(tài)估計過程實際上是一種雙層嵌套算法,即在每一時刻的在線優(yōu)化過程中,執(zhí)行多次的算法迭代,而不是每一次只執(zhí)行一次算法迭代。Tsuda和Youssry等人提出利用矩陣指數(shù)梯度(matrix exponential gradient, MEG)的量子態(tài)在線學習算法[17-18]。Zhang等人提出一種基于在線鄰近梯度下降法(online proximal gradient descent method, OPG)和ADMM的量子態(tài)在線估計算法(簡稱為OPG -ADMM)[19-21]。本質上MEG和OPG -ADMM均是利用一階隨機梯度信息進行狀態(tài)在線更新?？柭鼮V波(Kalman filter,KF)是一種時域狀態(tài)濾波算法,被廣泛應用于含有隨機擾動和測量噪聲的系統(tǒng)狀態(tài)估計或動態(tài)目標跟蹤系統(tǒng)中[22-24]。

本文將KF應用到在線QSE中,推導出滿足密度矩陣半正定和單位跡厄米矩陣約束的KF在線QSE優(yōu)化算法。對于動態(tài)變化的量子狀態(tài),在每一個采樣周期里,以在線測量一次估計一次的方式,進行一系列的在線量子態(tài)重構, 實時估計出動態(tài)變化的量子狀態(tài)。

由于待估計的狀態(tài)密度矩陣ρk的維度為d×d,對量子系統(tǒng)輸出值的每一次測量僅能獲得一個含有噪聲的測量輸出值。因此，本文首先通過演化算符的繪景等價變換,利用k時刻以及k以前所有時刻的測量值構造出測量值序列,作為對當前k時刻狀態(tài)估計的測量數(shù)據(jù)。然后，通過將帶有量子態(tài)約束條件的KF優(yōu)化問題,分解成兩個凸優(yōu)化子問題,先求解一個無約束條件下基于在線KF算法的量子測量更新問題的解析解,再考慮量子約束條件,通過求解矩陣的投影,在量子測量更新的基礎上獲得估計狀態(tài)的解析解。以此方式解決基于KF的在線QSE的應用問題,提出并實現(xiàn)一種實時重構動態(tài)量子狀態(tài)的在線KF算法,稱之為基于KF在線QSE(Kalman filter based online quantum state estimation, KF-OQSE)優(yōu)化算法。將所提的KF-OQSE算法應用于估計4量子位系統(tǒng)的狀態(tài)密度矩陣,并與OPG -ADMM和MEG作性能對比分析。

本文基于連續(xù)弱測量的開放量子系統(tǒng)演化模型以及測量值序列的構造,推導了在線量子態(tài)KF算法,最后進行數(shù)值仿真實驗及其性能對比。

1 基于連續(xù)弱測量的隨機開放量子系統(tǒng)以及測量值序列的構造

一個n比特量子系統(tǒng)可以由薛定諤繪景下的連續(xù)隨機開放量子系統(tǒng)主方程[25]描述為

(1)

量子狀態(tài)在線估計的過程如圖1所示，由連續(xù)弱測量過程和量子狀態(tài)在線估計器兩部分組成。

圖1 基于連續(xù)弱測量的量子狀態(tài)在線估計過程Fig.1 Online quantum state estimation process based on continuous weak measurement

1.1 n-比特開放量子系統(tǒng)離散演化模型

n-比特量子系統(tǒng)的弱測量算符M(Δt)可以由m0(Δt)和m1(Δt)的張量積計算為

(2)

(3)

根據(jù)式(1)的隨機開放量子系統(tǒng)主方程以及式(3)的演化算符,通過令t=Δtk,被測量子系統(tǒng)S的動態(tài)離散演化模型為

(4)

式中,k=1,2,…,N表示采樣時間。

式(4)可以通過線性化變換為

(5)

式中,vec(X)表示將矩陣X的所有列組合串聯(lián)為一個列向量。

連續(xù)弱測量過程中作用在被測系統(tǒng)狀態(tài)上的測量算符的動態(tài)離散演化模型為

(6)

1.2 連續(xù)弱測量輸出序列的構造

(7)

實際應用中,測量值序列bk=[y1,y2,…,yk]。當然,對于從k=1采樣時刻起的QSE,由于測量總次數(shù)少于完備次數(shù),所估計出的狀態(tài)一定是不準確的。隨著在線測量次數(shù)的增加,在達到一定測量次數(shù)后,就可以實現(xiàn)對隨時間變化的動態(tài)量子態(tài)的高精度估計。

采用本文所提出的測量數(shù)據(jù)值序列bk的構造方法,可以直接估計出每一個k時刻的量子狀態(tài)ρk。然后,再通過把初始狀態(tài)ρ1代入量子狀態(tài)演化模型,通過k步演化,得到k時刻的量子狀態(tài)。

測量采樣次數(shù)k是可以無限增大的,但不能一味地增加測量值序列的長度,增加計算負擔,并且在一定的測量次數(shù)下,就可以能獲得較高的估計精度?？紤]到估計精度以及在線處理的計算代價,在量子態(tài)的在線估計中,本文限制并且固定一個測量值序列的長度,從第一次測量獲取數(shù)據(jù)開始,直到給定的測量長度,每一次新獲得的測量數(shù)據(jù)將替代掉已有數(shù)據(jù)序列中最早獲取的一個數(shù)值,從而始終保持估計數(shù)據(jù)序列限制在給定的長度里,稱為滑動窗口， 滑動窗口的更新策略為先進先出。由此可得實際QSE中所使用的帶有滑動窗口的測量值序列為

(9)

式中,l為測量值序列的滑動窗口長度。

根據(jù)式(8),構造與式(9)對應的采樣矩陣為

(8)

(10)

考慮到弱測量過程中不可避免地存在測量噪聲,結合式(9)和式(10),將測量值序列bk重寫為

bk=Akvec(ρk)+ek

(11)

式中，ek∈Rk(l

由此得到對連續(xù)弱測量過程中的量子系統(tǒng)離散狀態(tài)演化模型式(4),以及所構造的用于在線QSE的測量值序列式(11)。

2 基于KF算法的在線QSE優(yōu)化算法

本節(jié)將通過兩步來進行基于KF的在線QSE優(yōu)化算法的設計及其求解過程的推導:① 量子預測狀態(tài)的時間更新,在此過程中,量子態(tài)濾波器基于上一時刻估計狀態(tài)和系統(tǒng)預測模型,對當前時刻狀態(tài)進行預測;② 量子估計狀態(tài)的測量修正和投影,在此過程中,量子態(tài)濾波器利用對當前狀態(tài)的觀測值對預測狀態(tài)值進行修正, 以獲得當前時刻狀態(tài)的估計值。

2.1 量子預測狀態(tài)的時間更新

式(5)中的量子狀態(tài)的預測方程為

(12)

(13)

2.2 QSE的測量修正和投影

式(13)可以轉化為一個凸優(yōu)化問題:

(14)

由于存在量子約束,對于式(14),直接求解帶有量子態(tài)約束條件的QSE測量更新的凸優(yōu)化問題,以及推導滿足約束下的卡爾曼增益矩陣是十分困難的。為了能夠保證所估計出的量子狀態(tài)滿足量子約束條件,通過兩步運算來實現(xiàn)在線求解:

步驟 1當忽略狀態(tài)約束C時,優(yōu)化問題式(14)退化為一個較容易求解的無約束二次凸優(yōu)化問題:

(15)

(16)

基于求逆公式[27]:

可以求得式(16)為

同時, 通過定義卡爾曼增益矩陣為

(17)

則式(16)可以重寫為

(18)

需要強調的是,通過式(17)所獲得的卡爾曼增益矩陣Kk是無約束下的最小方差估計值。結合式(13)和式(18),可以推導出:

(19)

式中，Q為系統(tǒng)隨機噪聲先驗統(tǒng)計特征。

(20)

(21)

(22)

(23)

式(23)的拉格朗日函數(shù)為

(24)

(25a)

(25b)

(25c)

(25d)

(26)

(27)

本文所提KF-OQSE算法具體步驟如下所示。

算法 1 KF-OQSE算法初始化:變量^ρ0,W0,滑動窗口長度l∈Z+;步驟 1 for k=1,2,… do步驟 2 獲取測量輸出bk;步驟 3 根據(jù)式(13)計算時間更新預測狀態(tài)ρpre;步驟 4 根據(jù)式(17)計算增益矩陣Kk;步驟 5 根據(jù)式(18)和式(19)分別計算中間的測量更新 ρk以及矩陣Wk+1;步驟 6 對(ρk+ρ?k)/2進行特征值分解得到Udiag{ai}U?;步驟 7 根據(jù)式(26)和式(27)計算出{σ?i}di=1;步驟 8 根據(jù)式(22)獲得當前時刻最優(yōu)估計狀態(tài)^ρ?k;步驟 9 end for

3 在線QSE數(shù)值實驗及其結果分析

本節(jié)將通過數(shù)值實驗,將本文所提的KF-OQSE算法與其他已有的在線QSE算法對比,來驗證所提算法對動態(tài)量子態(tài)在線重建性能的優(yōu)越性。實驗以n=4量子位系統(tǒng)為研究對象,系統(tǒng)相互作用強度ξ=0.7,外加控制量強度ux=2,系統(tǒng)測量效率η=0.5,系統(tǒng)隨機噪聲dW幅值為0.01;高斯測量噪聲信噪比(signal to noise ratio, SNR)為40 dB。

(28)

(29)

保真度的值在0和1之間,越接近于1則認為兩個量子狀態(tài)越相似。在本文中, 所提KF-OQSE算法將分別與基于MEG[18]以及基于在線鄰近梯度ADMM(online proximal gradient-ADMM, OPG -ADMM)[21]的在線QSE算法作對比。正如在引言部分所提, 基于極大似然估計法[6-7]和凸優(yōu)化工具箱[16]的在線估計算法,在每次狀態(tài)估計時內部都需要多次迭代,這個過程是相當耗時的,因此在本文中不作對比。OPG -ADMM算法首先通過引入輔助變量,并利用ADMM,將量子態(tài)在線估計問題分解為兩個分別關于量子態(tài)和測量噪聲的子問題,并通過在線臨近梯度法進行交替優(yōu)化求解。MEG算法本質上仍然是利用一階梯度信息進行量子態(tài)更新,主要區(qū)別在于對量子態(tài)密度矩陣取對數(shù)和指數(shù)操作,通過矩陣的指數(shù)和跡歸一化操作保證估計狀態(tài)滿足量子約束。在數(shù)值實驗中, 對于KF-OQSE算法,初始化狀態(tài)預測誤差的協(xié)方差矩陣W0=10Id2×d2,OPG -ADMM 和MEG算法的參數(shù)均調至最優(yōu)。數(shù)值仿真實驗運行環(huán)境為Matlab 2016 a,2.2 GHz Inter Core i7-8 750H CPU,內存16 GB。

3.1 不同滑動窗口長度下算法在線估計效能對比

圖2 不同滑動窗口長度下3種算法在線估計性能對比Fig.2 Performance comparison of three online estimation algorithms under different sliding window sizes

3.2 固定滑動窗口長度下算法在線處理性能對比

數(shù)值仿真實驗固定滑動窗口長度l=40,分別對比KF-OQSE,OPG -ADMM和MEG算法對4 量子位動態(tài)量子狀態(tài)的在線重構精度和估計耗時。圖3為3種算法在每一采樣時刻,在線估計狀態(tài)的歸一化估計誤差曲線圖。

圖3 固定滑動窗口長度下3種算法的在線估計性能對比Fig.3 Performance comparison of three online estimation algorithms under fixed sliding window size

圖4 k=100時真實以及估計的密度矩陣幅值和保真度Fig.4 Density matrix amplitude and fidelity of the real state and the estimated state with k=100

所提算法在處理多比特量子系統(tǒng)時,對于在線獲取的測量值,首先采用滑動窗口構造測量值序列,滑動窗口的設計可以認為是在線計算量和估計效能的折中,更加適合于在線的應用場景。KF-OQSE算法能夠在每次的狀態(tài)估計中,僅通過一次迭代就得到當前采樣時刻的估計值。同時,KF本身就是一種在線估計,可以有效地對動態(tài)目標進行實時跟蹤,因此本文所提算法可以進行實時連續(xù)在線估計。

4 結 論

對于連續(xù)弱測量中的動態(tài)量子系統(tǒng)狀態(tài),本文提出了一種帶有量子約束條件的KF的量子態(tài)在線估計算法KF-OQSE。所提算法采取量子預測狀態(tài)的時間更新-量子估計狀態(tài)的測量修正和投影的更新策略,求解具有量子態(tài)約束的卡爾曼優(yōu)化問題。此外,為了獲得較高的估計效率,采用了測量輸出序列的滑動窗口。數(shù)值實驗結果表明,所提算法能夠以更少的采樣次數(shù)和耗時實現(xiàn)高精度的量子態(tài)在線估計,驗證了KF-OQSE算法作為多量子位系統(tǒng)狀態(tài)在線估計方案的優(yōu)越性。