師俊朋, 文方青, 艾 林, 張 弓, 龔政輝

(1. 國防科技大學電子科學與工程學院, 湖南 長沙 410073;2. 三峽大學計算機與信息學院, 湖北 宜昌 443002;3. 長江大學電子信息學院, 湖北 荊州 434200;4. 南京航空航天大學電子信息工程學院, 江蘇 南京 210016)

0 引 言

多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達技術是下一代陣列雷達系統(tǒng)最具潛力的發(fā)展方向之一,也是學術界和工程界的研究熱點[1]。該研究方向不僅有重大的理論和學術意義,而且具有巨大軍用價值和潛在的民用價值,其在國防、反恐與救援、遙感、交通運輸諸多領域應用前景廣闊。所謂MIMO雷達,即指雷達系統(tǒng)采用多根發(fā)射天線和多根接收天線的配置,且發(fā)射天線發(fā)射相互正交的波形。由于MIMO雷達采用波形分集和空間分集,能形成一個遠大于實際物理孔徑的陣列虛擬孔徑。相比相控陣雷達,MIMO雷達具備更好的反隱身、抗截獲、抗干擾等性能。一般而言,MIMO雷達可分為兩大類:分布式MIMO雷達和集中式MIMO雷達[2-3]。分布式MIMO雷達采用空間廣泛分布的收發(fā)陣元,能有效應對目標雷達截面(radar cross section,RCS)系數(shù)閃爍現(xiàn)象。集中式MIMO雷達采用共址天線,能夠獲得高分辨率的目標方位估計。本文主要關注雙基地MIMO雷達中角度估計問題,屬于集中式MIMO雷達范疇。

聯(lián)合波離角(direction of departure, DOD)和波達角(direction of arrival, DOA)估計是雙基地MIMO雷達目標定位的基本任務[4-6]。經(jīng)過十余年的發(fā)展,己涌現(xiàn)一大批性能優(yōu)異的角度估計算法。典型的估計策略有譜峰搜索類算法[7],基于旋轉不變技術的信號參數(shù)估計(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)類算法[8],稀疏表示類算法[9],張量分析類算法[10-11],其中,張量算法由于利用MIMO雷達數(shù)據(jù)的多維結構特性,因而往往能獲得更精確的參數(shù)估計性能。然而,上述算法良好的估計性能均是在理想高斯白噪聲的假設下獲得的。在實際工程中,由于雷達系統(tǒng)的復雜性、任務的多樣性及探測背景的特殊性,MIMO雷達的接收噪聲往往是非高斯的。其中,空域色噪聲是MIMO雷達中一類典型的非白高斯噪聲,在諸多場景中均會涉及。例如,考慮到賦予MIMO雷達發(fā)射波束一定的指向性(MIMO-相控陣雷達)[12],以及在一體化MIMO雷達-通信系統(tǒng)中[13],均需要發(fā)射非正交的波形,而非正交發(fā)射波形會導致空域有色噪聲[14]?？沼蛏肼晻е略肼晠f(xié)方差矩陣不再與單位矩陣呈比例關系,因而引起現(xiàn)有矩陣與張量分解算法性能惡化,甚至失效。

針對MIMO雷達中的空域色噪聲問題,目前己有一些抑噪算法。概括說來,主要有空域互協(xié)方差算法[15-18]、時域互協(xié)方差法[19-21]、協(xié)方差差分法[22-23]、高階累積量法[24]、矩陣填充法[25-26]。其中,空域互協(xié)方差法將發(fā)射陣列劃分為若干個子陣列。盡管陣列接收噪聲是空域相關的,但噪聲經(jīng)過不同的匹配濾波器后會不相關,因此不同發(fā)射子陣列所對應的匹配濾波輸出的噪聲互協(xié)方差為0。然而,該方案會減小MIMO雷達的虛擬孔徑,因而在高信噪比(signal to noise ratio, SNR)時參數(shù)估計的精度會下降;時域互協(xié)方差法將陣列匹配濾波輸出在時域上劃分成若干個子陣列,其假設不同脈沖間的噪聲是非相關的,通過噪聲時域互相關特性抑制色噪聲。該方案沒有孔徑損失,但是其需要噪聲及目標RCS滿足某些特殊的要求;高階累積量法利用色噪聲的高階(如4階)累積量消除色噪聲的影響,但該方案要求目標的RCS系數(shù)服從嚴格的非高斯分布,且算法的復雜度往往較高;協(xié)方差差分法主要利用平穩(wěn)色噪聲協(xié)方差矩陣的Toeplitz特性,通過構造差分變換矩陣抑制色噪聲。該方案也不存在孔徑損失,但其可辨識性會下降,且角度估計需要額外的解模糊運算;考慮到色噪聲協(xié)方差矩陣的稀疏特性,文獻[25-26]提出基于矩陣填充的色噪聲抑制框架,該方法對噪聲或者目標RCS無特殊要求,且不存在虛擬孔徑損失。該框架通過去除信號協(xié)方差矩陣中受色噪聲影響的數(shù)據(jù)抑制有色噪聲,將無噪?yún)f(xié)方差矩陣的恢復問題等效為矩陣填充問題,最后采用ESPRIT算法進行角度估計。其中,文獻[25]利用凸優(yōu)化工具箱(如CVX)進行矩陣填充,文獻[26]采用奇異值閾值 (singular value thresholding, SVT)算法對MIMO雷達無噪?yún)f(xié)方差矩陣進行恢復[27]。然而,凸優(yōu)化工具箱算法一般以內(nèi)點法為基礎,其運算效率往往低下，而SVT對相關參數(shù)的設置較敏感，算法魯棒性較差。此外，上述算法中MIMO雷達數(shù)據(jù)的多維結構特性被忽略，參數(shù)估計的精度還有較大的提升空間。

一般來說，矢量是一個一維張量，矩陣是一個二維數(shù)組，而高于二維的數(shù)組被統(tǒng)稱為張量。相比矢量和矩陣分析,張量分析方法能充分利用數(shù)據(jù)內(nèi)部的結構信息,因而能獲得更加精確的結果。由于MIMO雷達數(shù)據(jù)具有豐富的空-時張量結構,故使用張量分析可有效提高參數(shù)估計精度[10-11]。特別是在色噪聲背景下,使用張量分解技術能獲得更加精確的角度估計性能[17,21]。受啟發(fā)于張量填充思想[28],本文提出一種張量框架下改進的雙基地MIMO雷達色噪聲抑制方法。該方法首先構造MIMO雷達匹配濾波后的協(xié)方差張量信號模型,并通過去除協(xié)方差張量中受噪聲協(xié)方差中非零元素影響的元素對色噪聲進行抑制。然后，通過張量框架下的快速填充算法對無噪的協(xié)方差張量進行恢復。最后,利用平行因子(parallel factor,PARAFAC)分解獲得含DOD和DOA的因子矩陣,再通過最小二乘算法對DOD和DOA進行擬合。所提算法能充分利用MIMO雷達數(shù)據(jù)的張量結構,且對參數(shù)設置不敏感。相比現(xiàn)有算法,所提算法具有更高的估計精度和更好的魯棒性,仿真結果驗證了該方法的有效性。

1 張量基礎與信號模型

1.1 張量基礎

一個張量就是一個多維數(shù)組。本文將所涉及的張量基礎表述如下。

(1)

(2)

式中,⊙為Khatri-Rao積。

(3)

1.2 信號模型

(4)

式中,bk(τ)為目標的RCS,并假設其在一個脈沖持續(xù)時間Tp內(nèi)保持不變;τ為慢時間索引;at(φk)為第k的目標的發(fā)射響應矢量,s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T為發(fā)射波形矢量。陣列接收信號可表示為

(5)

其中,ar(θk)=[1,e-jπ sin θk,…,e-jπ(N-1)sin θk]T為第k的目標的接收響應矢量;w(t,τ)=[w1(t,τ),w2(t,τ),…,wN(t,τ)]T為陣列接收噪聲,本文假設噪聲滿足均值為零、協(xié)方差為C的色高斯分布,即

E{w(t1,τ)wH(t2,τ)}=Cδ(t1-t2)

(6)

(7)

則

[At⊙Ar]b(τ)+n(τ)=Ab(τ)+n(τ)

(8)

Ry=E{y(τ)yH(τ)}=Rs+Rn

(9)

其中,Rs=ARbAH為信號協(xié)方差矩陣,Rb=E{b(τ)bH(τ)}。本文假設目標RCS是非相關的,則Rb為一個對角矩陣,Rn=E{n(τ)nH(τ)}為噪聲協(xié)方差矩陣。事實上,Ry也可以表示成張量[17]的形式:

(10)

如果MIMO雷達的一個相干處理時間內(nèi)包含L個脈沖,即τ=τ1,τ2,…,τL,則陣列協(xié)方差矩陣可以通過

(11)

2 所提算法

2.1 色噪聲抑制

首先分析色噪聲對噪聲協(xié)方差矩陣的具體影響。根據(jù)nm(τ)的具體形式,易知

(12)

將式(12)代入Rn,并利用性質(A?B)·(C?D)=(AC)?(BD),可得

wH(t2,τ)]H}dt1dt2=I?C

(13)

式中,I為單位矩陣。當陣列接收噪聲為空域白噪聲時,假設噪聲功率為σ2,則陣列接收噪聲為C=σ2I,此時Rn=σ2I。因此可知,白噪聲是色噪聲的一種特殊情況。由于單位矩陣不會影響信號特征分布,因而傳統(tǒng)子空間分解算法在高斯白噪聲的條件下有效。然而,在色噪聲的影響下,噪聲協(xié)方差矩陣不再與單位矩陣呈比例,因而子空間算法會失效。

定義Ω為Rn中非零元素的索引集合,即

Ω={(m,n)∣Rn(m,n)≠0}

(14)

(15)

(16)

(17)

式中,rank{R}表示R的秩。由于矩陣的秩是非凸的,因而上述優(yōu)化是一個非確定性多項式問題。一種有效的凸松弛方法是利用矩陣的核范數(shù)約束替換上述對秩的約束,從而將上述優(yōu)化問題變?yōu)?/p>

(18)

(19)

上述問題可通過凸優(yōu)化工具箱如CVX或SeDuMi求解,也可以利用矩陣填充算法求解,如SVT。然而,凸優(yōu)化工具箱大多基于內(nèi)點法,其計算復雜度往往非常高。SVT算法計算效率高,但其對參數(shù)的設置較為敏感。此外,由于上述優(yōu)化過程忽略了MIMO雷達數(shù)據(jù)的多維結構特性,因而數(shù)據(jù)恢復效果在低SNR條件下性能較差。

2.2 張量填充

(20)

并考慮通過類似于式(18)的優(yōu)化過程恢復無噪信號協(xié)方差張量,即

(21)

上述張量的核范數(shù)定義為張量的模-n展開的加權和,即

(22)

(23)

上述問題是一個不可微分的凸優(yōu)化問題,該問題可借助于變量分離技術進行求解。為加快算法運算速率,文獻[28]提出通過平滑上述優(yōu)化問題進行求解,其優(yōu)化目標函數(shù)為

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

2.3 PARAFAC分解

(29)

(30)

(31)

(32)

對于上述優(yōu)化問題,一般采用交替最小二乘法。假設At,Ar和Ac中的任意二者已知,則可通過最小二乘完成對未知矩陣的估計,對At,Ar和Ac的最小二乘估計分別為

(33)

其中,(·)?表示矩陣偽逆。對At,Ar和Ac的更新采用交替迭代的方式進行,直到算法收斂。由于交替最小二乘算法對初值敏感,本文采用COMFAC算法加速算法收斂。首先將三階PARAFAC模型進行壓縮,然后再對壓縮后的低維張量進行算法迭代,最后再將獲得的解恢復到原始高維張量空間。

由PARAFAC分解的過程可知,張量分解實際上是利用矩陣分解進行的。但是傳統(tǒng)矩陣分解方法都是張量在某個維度展開的基礎上進行的,其只能利用張量數(shù)據(jù)某個維度的結構而忽略了張量數(shù)據(jù)其他維度的結構。使用張量分解方法具有天然張量增益[29],能夠充分利用數(shù)據(jù)的多維結構,從而獲得更加精確的分解結果。

2.4 聯(lián)合DOD和DOA估計

kAt+kAr+kAc≥2K+2

(34)

時,上述PARAFAC分解除了具有列模糊和尺度模糊,其具備唯一性。其中,kA表示A的Kruskal秩。列模糊和尺度模糊可以表示為

(35)

其中,Π是一個置換矩陣;Δ1,Δ2和Δ3為分別為對應的尺度模糊矩陣,均為對角矩陣,且Δ1Δ2Δ3=I;N1,N2和N3為誤差矩陣。

(36)

式中,phase{·}為取相位運算。易知

(37)

令ht,k和ht,k分別是ht,k和hr,k的估計值,則ct,k和cr,k可通過最小二乘法估計如下:

(38)

(39)

3 算法分析

3.1 可辨識性

M+N-1.5≥K

(40)

故所提算法最多可辨識M+N-1個目標。傳統(tǒng)的ESPRIT算法[8]可辨識min{(M-1)N,M(N-1)}個目標;基于空域互協(xié)方差的ESPRIT算法[16](簡記為SC-ESPRIT)和基于空域互協(xié)方差張量高階子空間分解[17](簡記為SC-HOSVD)的算法最多可辨識min{(M1-1)N,M1(N-1),(M2-1)N,M2(N-1)},其中M1和M2分別為非重疊子陣列中陣元的個數(shù),M1+M2=M;基于時域互協(xié)方差張量高階子空間分解的算法[21](簡記為TC-HOSVD)與基于矩陣填充的ESPRIT算法[26](簡記為SVT-ESPRIT)的可辨識性與傳統(tǒng)ESPRIT相同。相比之下,所提算法的可辨識性可能會弱于這些算法。然而,由于所提算法能夠利用陣列信號的張量特性,因而所提算法的精度會優(yōu)于這些算法,通過仿真結果可證明所提算法性能的優(yōu)勢。

3.2 統(tǒng)計克拉美羅界

假設Rn中含有確定的未知參數(shù)q1,q2,…,qP。根據(jù)文獻[34],色噪聲背景下雙基地MIMO雷達角度估計的統(tǒng)計克拉美羅界為

(41)

其中,

(42)

4 仿真結果

仿真實驗1:高斯白噪聲背景下不同SNR時的RMSE比較。其中,M=8,N=8,L=500,并將α和β分別設置為0.9和100,此時Rn≈0.9I。仿真結果如圖1所示。

圖1 白噪聲背景下不同算法的RMSE隨SNR變化情況Fig.1 RMSE with SNR of different algorithms in white noise background

從圖1可以看出,所有的算法的RMSE都會隨著SNR的提高而降低。由于目標特征矢量不滿足時域互協(xié)方差算法的要求,TC-HOSVD算法性能會大打折扣。由于對參數(shù)設置敏感,SVT算法在低SNR下性能幾乎與ESPRIT一致,但高SNR下算法性能幾乎維持不變?？沼蚧f(xié)方差方法(SC-ESPRIT和SC-HOSVD)受孔徑損失的影響,性能比傳統(tǒng)的ESPRIT差。本文所提算法的性能和傳統(tǒng)PARAFAC算法相差不大,相比之下,二者性能均優(yōu)于ESPRIT算法。

仿真實驗2:色噪聲背景下不同SNR時的RMSE性能比較。其中,M=8,N=8,L=500,α=0.9,β=0.01,仿真結果如圖2所示。

圖2 色噪聲背景下不同算法的RMSE隨SNR變化情況Fig.2 RMSE with SNR of different algorithms in colored noise background

可以看出,在低SNR條件下(SNR≤-5 dB),所有算法性能均不理想。受色噪聲的影響,ESPRIT算法在SNR≤0 dB時無法正常工作,但采用了抑噪策略的算法的性能均會隨著SNR的増加而改善。由于抑制過程存在孔徑損失,SC-ESPRIT算法性能在高SNR條件下弱于ESPRIT算法,但在使用張量分解技術后,SC-HOSVD性能會有所改善。由于TC-HOSVD對回波系數(shù)有特殊要求,在本仿真條件下,算法會完全失效。SVT-ESPRIT算法對參數(shù)敏感,盡管其在低SNR時具有良好的估計性能,但當SNR較高(SNR≥12 dB)時性能也會比傳統(tǒng)的ESPRIT差。相較而言,由于能利用陣列數(shù)據(jù)的多維結構,所提算法的性能一直處于最優(yōu)的狀態(tài)。此外,應該注意到,色噪聲對常規(guī)算法性能影響主要在低SNR區(qū)域,而在高SNR條件下對算法影響影響較小。因而PARAFAC算法在低SNR條件下會失效,而在高SNR時性能趨近所提算法。

仿真實驗3:色噪聲背景下算法在不同快拍數(shù)L條件下的RMSE性能比較。其中,M=8,N=8,SNR=0,α=0.9,β=0.01,仿真結果如圖3所示?？梢钥闯?ESPRIT、PARAFAC及TC-HOSVD在此場景下均會失效,而其余算法的性能都會隨著L的増加而改善。得益于張量結構的應用,所提算法的性能要優(yōu)于其他比較算法。

圖3 色噪聲背景下不同算法的RMSE隨快拍數(shù)變化情況Fig.3 RMSE with snapshot number of different algorithms in colored noise background

仿真實驗4:色噪聲參數(shù)β對RMSE性能的影響。其中,M=8,N=8,L=500,SNR=0,α=0.9,仿真結果如圖4所示。由于當β?1時,Rn≈αI,即噪聲退化為高斯白噪聲。而當β<1時,隨著β的減小,噪聲的空域相關性逐步變大。仿真結果表明,隨著β的増加,所有算法的RMSE均會有所改善,但當β>10時,算法的RMSE性能幾乎不再變化。另外,使用了抑噪策略的算法(除TC-HOSVD外),其性能均對β不太敏感。盡管SVT-ESPRIT算法也對β不敏感,但其RMSE曲線總和所提算法的RMSE曲線間存在一定的差距。相比較而言,所提算法的性能始終優(yōu)于所有算法。

圖4 色噪聲背景下不同算法的RMSE隨噪聲參數(shù)β變化情況Fig.4 RMSE with noise parameter β of different algorithms in colored noise background

仿真實驗5:色噪聲背景下發(fā)射陣元數(shù)M對RMSE性能的影響。仿真結果如圖5所示。由仿真結果可知,發(fā)射天線數(shù)目M越大,算法的RMSE性能越好。從式(13)可以看出,Rn中非零的元素的個數(shù)應該是MN2,其占協(xié)方差矩陣Rn元素總數(shù)(M2N2)的1/M,故M越大,受色噪聲影響的協(xié)方差數(shù)據(jù)就越少,從而算法性能越好。從仿真結果可以看到SVT-ESPRIT算法由于對參數(shù)敏感,其在M≥10時會失效,而其他算法均能正常運行。此外,所提算法在不同的M時均能夠保持最好的估計性能。

圖5 色噪聲背景下不同算法的RMSE隨陣元數(shù)變化情況Fig.5 RMSE with number of array elements of different algorithms in colored noise background

5 結 論

針對雙基地MIMO雷達角度估計中的有色噪聲問題,本文提出一種基于張量分析的信號處理框架。首先,構造角度估計的協(xié)方差張量模型。其次,將色噪聲抑制問題轉化為一個張量填充問題,并利用現(xiàn)有快速算法進行無噪數(shù)據(jù)協(xié)方差張量的恢復。然后,使用PARAFAC分解對協(xié)方差張量進行分解。最后,使用最小二乘技術完成目標DOD和DOA的聯(lián)合估計。所提算法可有效抑制空域色噪聲,不會引起陣列孔徑損失。仿真結果表明,所提算法精度高、魯棒性好。