郭艷婕，趙 丹，田小靜，要義勇，楊立娟，劉金鑫

（1.西安交通大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.高端裝備研究院，西安 710049；2.西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，自動(dòng)化工程學(xué)院，西安 710089）

0 引言

“新工科”強(qiáng)調(diào)學(xué)科的實(shí)用性、交叉性與綜合性，尤其注重信息通信、電子控制、軟件設(shè)計(jì)等新技術(shù)與傳統(tǒng)工業(yè)技術(shù)的緊密結(jié)合［1-4］。板球系統(tǒng)是多變量、非線性、復(fù)雜的欠驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，也是控制理論研究的典型對(duì)象，其控制目標(biāo)是讓一個(gè)自由滾動(dòng)的小球能夠平衡在具有兩個(gè)自由度的平板上的特定位置，或者沿一定的軌跡滾動(dòng)。該系統(tǒng)以圖像作為反饋信息，通過電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)讓平板發(fā)生傾斜，從而控制平板上的小球運(yùn)動(dòng)軌跡［5-7］。

板球系統(tǒng)作為一個(gè)具有兩自由度的機(jī)械系統(tǒng)，通常用于對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論以及運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)、數(shù)字圖像處理技術(shù)等課程實(shí)驗(yàn)和研究。板球系統(tǒng)是一個(gè)非常典型結(jié)合視覺、運(yùn)動(dòng)控制和自動(dòng)控制技術(shù)的系統(tǒng)，也是培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的平臺(tái)［8-11］。

1 板球系統(tǒng)簡介

1.1 板球系統(tǒng)組成

板球系統(tǒng)實(shí)物和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。包括電腦、PCI總線的運(yùn)動(dòng)控制卡、帶Gige接口的相機(jī)以及板球系統(tǒng)本體。板球系統(tǒng)本體包括2 個(gè)電動(dòng)機(jī)及連桿機(jī)構(gòu)、圓盤和小球。直流伺服電動(dòng)機(jī)通過偏心輪控制連桿運(yùn)動(dòng)，讓圓盤發(fā)生傾斜。圓盤正中心為十字聯(lián)軸器，可以隨著板球的傾斜發(fā)生旋轉(zhuǎn)。相機(jī)可以捕獲和讀取小球的位置，通過控制電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)小球位置的控制。

圖1 板球系統(tǒng)組成

1.2 控制系統(tǒng)

（1）相機(jī)標(biāo)定。圖像的表示為像素點(diǎn)，為確定小球的具體空間位置，需要建立圖像與相機(jī)之間空間坐標(biāo)系，為小球的定位準(zhǔn)備。本系統(tǒng)中，將X 軸電動(dòng)機(jī)所帶連桿與盤的接觸點(diǎn)與圓盤中心連線設(shè)為X 軸，其中板球水平時(shí)，電動(dòng)機(jī)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，小球滾動(dòng)方向?yàn)閄軸正方向；將Y軸電動(dòng)機(jī)所帶連桿與盤的接觸點(diǎn)與圓盤中心連線設(shè)為Y 軸，小球滾動(dòng)方向?yàn)閅 軸正方向。在圓盤上有6 個(gè)位置固定點(diǎn)，這6 個(gè)點(diǎn)與坐標(biāo)軸關(guān)系如圖2 所示，這6 個(gè)點(diǎn)之間距離見表1。

當(dāng)板發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)，這6 個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，球盤繞X軸旋轉(zhuǎn)角度α，繞Y軸旋轉(zhuǎn)角度β，此時(shí)球盤上某點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z）會(huì)從原來的（x0，y0，z0）發(fā)生變化：

圖2 標(biāo)定點(diǎn)與坐標(biāo)軸關(guān)系

表1 標(biāo)定點(diǎn)距離

當(dāng)α、β的值均為0.1878 rad，根據(jù)傳動(dòng)比計(jì)算此時(shí)電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)角度為0.8 rad，此時(shí)球盤上6 個(gè)標(biāo)定點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，根據(jù)式（1）即可計(jì)算出坐標(biāo)點(diǎn)變化值，見表2。

表2 旋轉(zhuǎn)后標(biāo)定點(diǎn)距離

反方向旋轉(zhuǎn)同樣角度，6 個(gè)標(biāo)定點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，此時(shí)坐標(biāo)見表3。

表3 旋轉(zhuǎn)后標(biāo)定點(diǎn)距離

通過電動(dòng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)共得到18 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（世界坐標(biāo)及圖像坐標(biāo)），并根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，為后續(xù)的控制提供依據(jù)。

（2）電動(dòng)機(jī)控制。板球系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制如圖3 所示。該系統(tǒng)需要完成對(duì)小球在平板位置數(shù)據(jù)的采集，根據(jù)讀取的電動(dòng)機(jī)位置反求此時(shí)小球的位置，根據(jù)控制算法計(jì)算出響應(yīng)的控制量并下發(fā)給執(zhí)行機(jī)構(gòu)。

圖3 控制流程圖

為了提高執(zhí)行效率，開發(fā)了基于C++的實(shí)時(shí)控制程序，其核心代碼如下：

2 板球系統(tǒng)理論分析

板球系統(tǒng)通過X、Y 方向各有電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)，從而讓小球運(yùn)動(dòng)，小球在X、Y 方向上的運(yùn)動(dòng)與該方向的電動(dòng)機(jī)密切相關(guān)，如圖4（a）所示。在這里以單個(gè)方向的連桿運(yùn)動(dòng)為例，如圖4（b）所示，建立板球的傳遞函數(shù)，幫助分析小球的運(yùn)動(dòng)。

以板上小球?yàn)槔?，?duì)小球建立動(dòng)力學(xué)方程：

圖4 板球系統(tǒng)的傳遞函數(shù)建立

式中：φ為板在該方向傾角；m為小球重量；R為小球半徑；J=為小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；g 為重力加速度，9.8 m/s2；r為小球運(yùn)動(dòng)距離；f0為小球受到摩擦力；σ為小球往下滾動(dòng)的角加速度。

由于小球設(shè)為純滾動(dòng)，小球的速度˙r 與小球滾動(dòng)角速度ω之間存在：

因此，可以得到小球加速度與小球滾動(dòng)角加速度之間存在：

聯(lián)立式（2）～（5）可得：

由于φ→0，sin φ≈φ，可以得到：

因此可以知道小球的運(yùn)動(dòng)距離與板之間傾角傳遞函數(shù)為：

平板在該方向傾斜角度與電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度之間進(jìn)行求解。其中連接桿MN之間距離為l；連桿OM間距離為d；O′N間距離為L。圖4（b）中M1、N1為起始點(diǎn)位置，點(diǎn)M2、點(diǎn)N2為運(yùn)動(dòng)后的位置，其坐標(biāo)與電動(dòng)機(jī)角度φ之間存在如下關(guān)系：

從而可以求得：

根據(jù)式（10），可以求得電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度φ與平板在該方向傾斜角度φ 之間關(guān)系如圖5 所示?？梢姡?dāng)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度在-1.846～1.394 rad 之間，是近似平滑的一條曲線，但是當(dāng)超出這個(gè)范圍后，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度與盤的傾斜角度之間關(guān)系也發(fā)生了改變，因此這個(gè)范圍也是電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)允許的極限位置。

圖5 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度與盤的傾斜角度之間關(guān)系

3 基于根軌跡的虛實(shí)結(jié)合實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目設(shè)計(jì)

在板球系統(tǒng)中，不僅可以驗(yàn)證圖像處理算法，還可控制小球在平板上的位置。在該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上，結(jié)合機(jī)械控制工程基礎(chǔ)課程內(nèi)容，開設(shè)綜合性實(shí)驗(yàn)。

該實(shí)驗(yàn)包括2 部分，虛擬仿真與實(shí)物控制，通過虛實(shí)結(jié)合的方法設(shè)計(jì)控制參數(shù)，并比較虛擬仿真結(jié)果與實(shí)物控制結(jié)果的區(qū)別。在考核環(huán)節(jié)，引入過程考核，建立實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目量規(guī)表。

3.1 虛擬仿真

Simulink是Matlab中的一種可視化仿真工具，采用框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，可實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析。在該環(huán)境中即可仿真板球系統(tǒng)的控制參數(shù)為實(shí)物控制提供依據(jù)［12-13］。

當(dāng)加入控制環(huán)節(jié)時(shí)，通過圖6（a）所示的根軌跡可以確定其增益為0.55，零點(diǎn)為-1 時(shí)，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，此時(shí)系統(tǒng)的仿真控制框圖如圖6（b）所示?？梢娤到y(tǒng)此時(shí)配置了開環(huán)零點(diǎn)-1，配置增益0.55，采用根軌跡方式對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了改善。

圖6 x方向仿真曲線

圖7 為小球在某個(gè)方向上的位移階躍響應(yīng)曲線，其中，橫坐標(biāo)為仿真時(shí)間；縱坐標(biāo)為小球在該方向上的目標(biāo)位置。仿真表明，在10 s 時(shí)給x 方向干擾，系統(tǒng)會(huì)在5 s 內(nèi)達(dá)到新的平衡，說明了選取參數(shù)具有良好的穩(wěn)定性。

圖7 x方向階躍響應(yīng)曲線

3.2 實(shí)物對(duì)比

為了提高小球的響應(yīng)速度，采用C++開發(fā)板球控制系統(tǒng)，將根軌跡算法嵌入到控制系統(tǒng)中，從而實(shí)現(xiàn)小球的實(shí)時(shí)響應(yīng)。該界面包含標(biāo)定系統(tǒng)，可標(biāo)定該高度下，圖片像素點(diǎn)位置與空間坐標(biāo)系關(guān)系，同時(shí)還可以顯示圖片，獲取小球?qū)崟r(shí)位置，并實(shí)時(shí)調(diào)整控制參數(shù)，觀察控制結(jié)果。

這里控制參數(shù)與仿真參數(shù)一致，將仿真控制結(jié)果與實(shí)際控制結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，具體數(shù)值如圖8 所示，可見，當(dāng)設(shè)定小球位置在中心處時(shí)，小球的實(shí)際位置在0.28 mm、-0.13 mm處，可以很好滿足控制要求。進(jìn)一步地對(duì)多組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，表4 為統(tǒng)計(jì)多個(gè)位置的理論與實(shí)際位置，并計(jì)算最終的穩(wěn)態(tài)誤差，可見本方法的穩(wěn)態(tài)誤差較小，可以很好地滿足控制要求，達(dá)到了最終控制效果。

圖8 實(shí)物控制結(jié)果

表4 穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

3.3 實(shí)驗(yàn)考核

板球系統(tǒng)可以設(shè)置為機(jī)械控制工程基礎(chǔ)的綜合性實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)的考核采用過程考核的方式，實(shí)驗(yàn)劃分的4 部分，將每一部分根據(jù)學(xué)生完成情況進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)的具體考核見表5。

表5 綜合性實(shí)驗(yàn)量規(guī)表

4 結(jié)語

板球系統(tǒng)結(jié)合圖像、控制于一體系統(tǒng)，學(xué)生可以通過該系統(tǒng)直觀地理解圖像處理與控制算法。該系統(tǒng)的研究包括2 個(gè)方面：圖像處理方法，通過平板上的固定點(diǎn)在圖像中的像素位置，建立像素點(diǎn)與距離、平板運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換矩陣實(shí)現(xiàn)位置標(biāo)定，小球圓心也需要采用圖像處理方法提取出，并建立小球的空間坐標(biāo)及運(yùn)動(dòng)速度；自動(dòng)控制算法，通過建立小球位置與電動(dòng)機(jī)角度之間的傳遞函數(shù)，通過運(yùn)動(dòng)控制算法控制平板上小球到達(dá)指定位置或按固定軌跡運(yùn)動(dòng)。

在該系統(tǒng)上開設(shè)的虛實(shí)結(jié)合的綜合性實(shí)驗(yàn)，將控制技術(shù)應(yīng)用到實(shí)際的機(jī)械對(duì)象上。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)機(jī)械控制的理解能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用控制理論分析問題、解決問題的能力，開闊了視野。