吳奕誠(chéng) 許行之 楊章梁 蘇飄飄

【摘 要】文章研究了亞音速不可壓來(lái)流中二元機(jī)翼氣動(dòng)彈性系統(tǒng)顫振主動(dòng)控制問(wèn)題。采用俯仰方向含有多項(xiàng)式非線性模型建立氣動(dòng)彈性動(dòng)態(tài)方程，在非線性模型存在參數(shù)不確定性和陣風(fēng)載荷的情況下，通過(guò)使用界限復(fù)合能量函數(shù)（BCEF）的方法，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論進(jìn)行帶有狀態(tài)約束的迭代學(xué)習(xí)控制律設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果顯示，系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量都能夠快速地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，表明所設(shè)計(jì)的控制律可以有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)多項(xiàng)式非線性二元機(jī)翼顫振的抑制。

【關(guān)鍵詞】迭代學(xué)習(xí)控制;非線性控制系統(tǒng);顫振抑制;界限復(fù)合能量函數(shù)（BCEF）;陣風(fēng)載荷

【中圖分類號(hào)】V215.3 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-0688（2021）04-0039-05

在一定的飛行條件下，含有結(jié)構(gòu)非線性的氣動(dòng)彈性系統(tǒng)可能出現(xiàn)極限環(huán)振蕩甚至混沌等不穩(wěn)定現(xiàn)象[1]。文獻(xiàn)[2]對(duì)不同類型的翼段結(jié)構(gòu)非線性進(jìn)行了深入的討論。非線性顫振主動(dòng)控制問(wèn)題主要針對(duì)的是連續(xù)的多項(xiàng)式非線性的研究[3-7]。文獻(xiàn)[8-9]對(duì)間隙、雙線性遲滯環(huán)等不連續(xù)非線性系統(tǒng)的顫振特性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[10]考慮了大展弦比機(jī)翼的幾何非線性的影響，并進(jìn)行了氣動(dòng)彈性分析。

目前，針對(duì)非線性顫振主動(dòng)控制中所用到的控制策略主要包括處理氣動(dòng)彈性系統(tǒng)中參數(shù)完全確定的反饋線性化方法[11]，以及解決當(dāng)系統(tǒng)中存在參數(shù)不確定性時(shí)的自適應(yīng)控制方法[3-4]、局部反饋線性化[5-6]或全局反饋線性化[7]與自適應(yīng)控制理論相結(jié)合等方法。文獻(xiàn)[12]利用L1自適應(yīng)方法對(duì)包含有陣風(fēng)載荷的非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)進(jìn)行了分析，但其控制器的設(shè)計(jì)本質(zhì)上只是針對(duì)俯仰角的振動(dòng)控制。文獻(xiàn)[13-14]基于二階滑?？刂频姆椒ㄔO(shè)計(jì)了一個(gè)不連續(xù)的控制律，實(shí)現(xiàn)消除不確定性和陣風(fēng)干擾的作用，然而并未討論非線性系統(tǒng)狀態(tài)約束的問(wèn)題。文獻(xiàn)[15-16]提出了一種新穎的迭代學(xué)習(xí)控制方法，該方法是在隊(duì)列條件下，通過(guò)使用界限復(fù)合能量函數(shù)（BCEF）的方法，所設(shè)計(jì)的控制器能夠滿足狀態(tài)約束，可以有效地處理非線性系統(tǒng)的參數(shù)和非參數(shù)不確定性問(wèn)題。

本文針對(duì)多項(xiàng)式非線性二元機(jī)翼，并同時(shí)考慮非線性參數(shù)不確定性和陣風(fēng)干擾，利用狀態(tài)約束迭代學(xué)習(xí)控制方法實(shí)現(xiàn)了非線性氣動(dòng)彈性顫振的主動(dòng)控制。

1 氣動(dòng)彈性模型與控制問(wèn)題

二元機(jī)翼模型如圖1所示，其運(yùn)動(dòng)方程[17-18]如下：

其中，h為沉浮位移;α為俯仰角;m為機(jī)翼質(zhì)量;b為機(jī)翼半弦長(zhǎng);Ia為機(jī)翼慣性矩;xa為彈性軸到機(jī)翼重心的無(wú)量綱距離;kh和ka（α）分別為沉浮方向和俯仰方向的剛度系數(shù);ch和ca分別為沉浮方向和俯仰方向的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù);L，M分別為氣動(dòng)力和力矩。ka（α）表示俯仰方向含有多項(xiàng)式非線性剛度，其非線性函數(shù)如下：

準(zhǔn)定常氣動(dòng)力表達(dá)式如下：

其中，a為機(jī)翼彈性軸到中心的無(wú)量綱距離;ρ為密度;cla和cma分別為單位攻角對(duì)應(yīng)的升力系數(shù)和力矩系數(shù);clβ和cmβ分別為單位控制面偏轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的升力系數(shù)和力矩系數(shù);β為控制面偏轉(zhuǎn)角;U為來(lái)流速度。

由陣風(fēng)引起的氣動(dòng)力和力矩表達(dá)式如下：

此處，考慮到剛度的參數(shù)不確定性，公式（7）可以寫(xiě)為 =g+θζ+Bβ+dg。（9）

其中，g是中包含已知參數(shù)的部分，θ是和非線性剛度相關(guān)的矩陣，ζ是不確定性參數(shù)的狀態(tài)變量，表示如下：

矩陣中各系數(shù)分別為系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)，具體如下：

2 控制律設(shè)計(jì)

引入迭代學(xué)習(xí)控制算法，選擇控制面偏轉(zhuǎn)角作為系統(tǒng)輸入u=? β（t），期望的狀態(tài)為xd=[hd αd? d? d]T，由于控制的目的是為了抑制系統(tǒng)的振動(dòng)，因此取xd=[0 0 0 0]T，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可表示如下：

為了推導(dǎo)出迭代學(xué)習(xí)控制律，誤差動(dòng)力學(xué)方程表示如下：

并滿足如下假設(shè)：

（1）存在一個(gè)有界李雅普諾夫函數(shù)（BLF）V和一個(gè)非負(fù)的K類函數(shù)γ，有這樣一個(gè)向量 ∈Rn，當(dāng)|| ||→kb時(shí)，V→∞，這里|| ||為歐幾里得范數(shù)，并且g（，t）≤-γ（||||）。

（2）滿足隊(duì)列條件，也就是先前迭代的最終狀態(tài)成為當(dāng)前迭代的初始狀態(tài)，即ei（0）=ei-1（T）。

本文采用的學(xué)習(xí)控制率為ILC迭代學(xué)習(xí)控制，其形式設(shè)計(jì)如下：

為了確定參數(shù)更新規(guī)律，同時(shí)保證公式（11）是漸進(jìn)穩(wěn)定的，定義Lyapunov函數(shù)[14]：

為了便于分析，在第i次迭代時(shí)，引入非負(fù)的界限李雅普諾夫函數(shù)（BCEF），形式如下：

通過(guò)設(shè)計(jì) ，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以得到△Ei（T）≤- γ（||ei||）dτ，這意味著Ei（T）沿著迭代軸是單調(diào)遞減的，進(jìn)而利用BCEF函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可證明系統(tǒng)每次迭代時(shí)的有界性。最終，通過(guò)分析得到 ||ei||=0， t∈[0，T]，可見(jiàn)，系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差是收斂的。證明過(guò)程可參考文獻(xiàn)[14]。因此，有如下形式的參數(shù)更新規(guī)律：

3 算例分析

仿真過(guò)程中所用到的系統(tǒng)參數(shù)取值如下[16]：b=0.135 m，m=12.387 kg，Ia=0.065 kg·m2，xa=[0.087 3-（b+ab）]/

b，kh=2 884.4 N·m-1，ch=27.43 N·m-1·s-1，s=0.6 m，ρ=1.225 kg·m3，cla=6.28，clβ=3.358，cma=（0.5+a）cla，cmβ=-0.635，a=-0.684 7。非線性部分以四階多項(xiàng)式表示，其參數(shù)選為{Kaj}，=[6.8614 7.8480 663.288 7 65.275 2 -4992.794 4]，顫振控制器迭代學(xué)習(xí)增益取值為kb=0.35，p=1，λ=0.012。對(duì)于以上參數(shù)，選取速度為16 m·s-1，初始條件為h（0）=0.02m，α（0）=0.1rad，h（0）=α（0）=0。

設(shè)計(jì)過(guò)程中考慮陣風(fēng)干擾，對(duì)于三角陣風(fēng)，其表達(dá)式如下：

wG（τ）=2w0 （H（τ）-H（τ- ））+2w0（ -1）（H（τ-τG）-H（τ- ）） （19）

其中，H（·）表示單位階躍函數(shù)，τG=UtG/b，tG=0.5，w0=0.7。

正弦陣風(fēng)和指數(shù)陣風(fēng)干擾其表達(dá)式分別如下：

wG（τ）=w0sin（6πτ/τG）-（H（τ）-H（τ-τG）） （20）

wG（τ）=H（τ）w0（1-e ） （21）

其中，τG=UtG/b，tG=1.05，w0=0.07。

3種陣風(fēng)干擾的速度分布如圖2所示。圖3為圖2所示的外部干擾下所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)響應(yīng)。從圖3（a）、（b）可以看出，在三角陣風(fēng)干擾下，當(dāng)U=10 m/s時(shí)，h、α收斂于零點(diǎn)，而從圖3（e）～（f）可以看出，當(dāng)U=16 m/s時(shí)，在指數(shù)陣風(fēng)和正弦陣風(fēng)的作用下，系統(tǒng)在短暫的瞬態(tài)后，產(chǎn)生了極限環(huán)。這是由于當(dāng)U=10 m/s，線性系統(tǒng)的極點(diǎn)為（-1.47±14.596i，-0.648 6±7.050 3i），系統(tǒng)是穩(wěn)定的;而當(dāng)U=16 m/s時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)為（-3.413 4±13.148 8i，0.892 2±12.200 5i），系統(tǒng)變得不穩(wěn)定了。

圖4為在三角陣風(fēng)干擾下，w0=0.7，U=10 m/s時(shí)的系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)。很顯然，在加入控制后h、α都收斂于零點(diǎn)，相比較于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的圖3（a）、（b），開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的收斂時(shí)間大約是7 s，而閉環(huán)系統(tǒng)的收斂時(shí)間大約是3 s，因此控制后的閉環(huán)系統(tǒng)有一個(gè)更快的響應(yīng)時(shí)間。圖5為在三角陣風(fēng)干擾下，w0=2，U=16 m/s時(shí)的系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)?？梢钥吹?，盡管增大了陣風(fēng)的強(qiáng)度，而俯仰方向的響應(yīng)在2 s內(nèi)就收斂到零，沉浮方向的響應(yīng)在大約2.5 s時(shí)收斂到零，這表明控制輸入的增益[b33 b44]T是隨著來(lái)流速度的增大而增加的，可見(jiàn)，此時(shí)控制面的控制效率提高了。圖6是在正弦陣風(fēng)干擾下，系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，俯仰方向的振動(dòng)在2 s內(nèi)就被抑制了，而沉浮方向的振動(dòng)抑制用了大約3 s。指數(shù)陣風(fēng)干擾下閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)如圖7所示。可以看到，系統(tǒng)的振動(dòng)都被抑制了，響應(yīng)的收斂時(shí)間大約都在3 s內(nèi)。但從圖8卻看到，當(dāng)w0的值增大到1時(shí)，指數(shù)陣風(fēng)干擾的其他參數(shù)均不變，此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)盡管仍然收斂于穩(wěn)定狀態(tài)，但不再收斂于零了，俯仰方向的響應(yīng)收斂于穩(wěn)定狀態(tài)的平衡值大約是0.065 rad，而沉浮方向的響應(yīng)收斂的平衡值大約是-0.008 m。以上的分析表明，在考慮模型參數(shù)不確定性和指數(shù)陣風(fēng)、正弦陣風(fēng)及三角陣風(fēng)的干擾下，所設(shè)計(jì)的控制器可以有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性顫振的抑制。

4 結(jié)論

通過(guò)使用界限Lyapunov函數(shù)（BLF）的方法設(shè)計(jì)控制器，不同于傳統(tǒng)的全局正定和徑向無(wú)界的Lyapunov函數(shù)（QLF），BLF會(huì)在參數(shù)接近一定的限定值時(shí)趨向于無(wú)限，通過(guò)確保BLF沿系統(tǒng)軌線的有界性，從而防止了違背約束條件，因此可以有效地處理非線性系統(tǒng)的參數(shù)和非參數(shù)不確定性問(wèn)題，保證狀態(tài)跟蹤誤差達(dá)到一致收斂。

傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制過(guò)程需要相同的初始條件，即每次迭代開(kāi)始都需要時(shí)間和狀態(tài)的重置，而本文所推導(dǎo)的迭代學(xué)習(xí)控制方法，其前提是基于隊(duì)列條件，它不同于重復(fù)控制（RC），僅需要時(shí)間上的重置，因此具有更廣泛的適用性。利用其控制思想，還可方便地推導(dǎo)出具有輸出約束的非線性迭代學(xué)習(xí)控制器。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]Zhao L C，Yang Z C.Chaotic motions of an airfoil with non-linear stiffness in incompressible flow[J].Journal of Sound and Vibration，1990，138（2）：245-254.

[2]Lee B H K，Price S J，Wong Y S.Nonlinear aeroelastic analysis of airfoils：bifurcation and chaos[J].Progress in aerospace sciences，1999，35（3）：205-334.

[3]Behal A，Marzocca P，Rao V M，et al.Nonlinear adaptive control of an aeroelastic two-dimensional lifting surface[J].Journal of Guidance，Control，a-

nd Dynamics，2006，29（2）：382-390.

[4]Lin C M，Chin W L.Adaptive decoupled fuzzy sli-

ding-mode control of a nonlinear aeroelastic system[J].Journal of guidance，control，and dynamics，2006，29（1）：206-209.

[5]Ko J，Strganac T W，Kurdila A J.Adaptive feedback linearization for the control of a typical wing section with structural nonlinearity[J].Nonlinear D-

ynamics，1999，18（3）：289-301.

[6]Strganac T W，Ko J，Thompson D E.Identification and control of limit cycle oscillations in aeroelastic systems[J].Journal of Guidance，Control，and Dy-

namics，2000，23（6）：1127-1133.

[7]Platanitis G，Strganac T W.Control of a nonlinear wing section using leading-and trailing-edge surfaces[J].Journal of Guidance，Control，and Dyna-

mics，2004，27（1）：52-58.

[8]趙永輝，胡海巖.具有操縱面間隙非線性二維翼段的氣動(dòng)彈性分析[J].航空學(xué)報(bào)，2003，24（6）：521-525.

[9]李道春，向錦武.遲滯非線性二元機(jī)翼顫振特性分析[J].航空學(xué)報(bào)，2007，28（3）：600-604.

[10]謝長(zhǎng)川，吳志剛，楊超.大展弦比柔性機(jī)翼的氣動(dòng)彈性分析[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，29（12）：1087-1090.

[11]Kurdila A J，Akella M R.Nonlinear control methods for high-energy limit-cycle oscillations[J].J-

ournal of Guidance，Control，and Dynamics，2001，

24（1）：185-192.

[12]Lee K W，Singh S N.L1 adaptive control of a nonlinear aeroelastic system despite gust load[J].Journal of Vibration and Control，2012，19（12）：1807-1821.

[13]Lee K W，Singh S N.Robust Higher-Order Sliding-Mode Finite-Time Control of Aeroelastic Systems[J].Journal of Guidance，Control，and Dyna-

mics，2014，37（5）：1664-1671.

[14]Xu X，Wu W，Zhang W.Sliding mode control for a nonlinear aeroelastic system through backstepping[J].Journal of Aerospace Engineering，2018，

31（1）：1-13.

[15]Jin X，Xu J X.Iterative learning control for output-constrained systems with both parametric and nonparametric uncertainties[J].Automatica，2013，

49（8）：2508-2516.

[16]Xu X，Gao Y，Zhang W.Iterative learning control of a nonlinear aeroelastic system despite gust load[J].International Journal of Aerospace Engineering，2015（15）：1-13.

[17]Wang Z，Behal A，Marzocca P.Model-free control design for multi-input multi-output aeroelastic system subject to external disturbance[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34（2）：446-458.

[18]Ko J，Kurdila A J，Strganac T W.Nonlinear control of a prototypical wing section with torsional nonlinearity[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1997，20（6）：1181-1189.