唐保威，徐 平

(浙江大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)研究所，杭州 310027)

0 引言

碟形封頭是壓力容器常見的部件，在石油、機(jī)械、化工、航空航天等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。因其使用環(huán)境復(fù)雜，為保障安全，碟形封頭的壁厚設(shè)計(jì)一般偏大，但這造成了材料浪費(fèi)，增加了制造成本[1-3]。塑性垮塌失效是內(nèi)壓碟形封頭設(shè)計(jì)需要考慮的重要失效模式，精準(zhǔn)預(yù)測(cè)塑性垮塌壓力有助于設(shè)計(jì)碟形封頭時(shí)，在避免塑性垮塌的前提下減少用料，因此具有重要意義。

陸明萬(wàn)等[4-9]介紹了基于材料硬化的真應(yīng)力-真應(yīng)變本構(gòu)模型分析垮塌載荷的塑性分析方法，指出塑性分析方法的計(jì)算結(jié)果更為精確。ZHENG等[10-11]采用基于弧長(zhǎng)法的非線性有限元技術(shù)，考慮實(shí)測(cè)的材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線，預(yù)測(cè)一個(gè)與筒體焊接的冷沖壓標(biāo)準(zhǔn)碟形封頭塑性垮塌壓力，預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合好；用該方法探究了橢圓封頭各項(xiàng)參數(shù)對(duì)塑性垮塌壓力的影響，歸納出了橢圓封頭塑性垮塌壓力的預(yù)測(cè)公式，與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。然而，基于有限元的數(shù)值模型要付出較大的計(jì)算工作量，過(guò)程更費(fèi)時(shí)[4-7]。理論分析方面，UPDIKE等[12]將碟形封頭支撐環(huán)以上部分等效為球冠，基于von Mises各向同性硬化模型和大變形理論，采用Hill應(yīng)變假設(shè)[13]推導(dǎo)公式計(jì)算了碟形封頭的塑性垮塌壓力，但其公式需要迭代計(jì)算，且支撐環(huán)半徑仍需采用有限元分析獲取，該方法無(wú)法獨(dú)立使用。

目前針對(duì)碟形封頭塑性垮塌壓力預(yù)測(cè)方法仍缺少深入系統(tǒng)的研究。本文從有限元分析、理論計(jì)算、試驗(yàn)驗(yàn)證三方面對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行研究。首先，采用基于弧長(zhǎng)法的非線性有限元技術(shù)，建立考慮應(yīng)變硬化的碟形封頭塑性垮塌壓力預(yù)測(cè)數(shù)值模型；然后，在文獻(xiàn)[12]的研究基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出可以獨(dú)立使用的碟形封頭塑性垮塌壓力計(jì)算公式，并將公式計(jì)算與有限元分析相互對(duì)比，以驗(yàn)證預(yù)測(cè)方法的可靠性;最后，結(jié)合不同尺寸、材料和制造工藝的碟形封頭爆破試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)預(yù)測(cè)方法的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證分析。

1 有限元法

1.1 模型建立

利用ANSYS對(duì)內(nèi)壓碟形封頭的塑性垮塌壓力進(jìn)行有限元分析預(yù)測(cè)。工程上，碟形封頭通過(guò)法蘭與筒體連接，或直接與筒體焊接。以BLACHUT[14]試驗(yàn)中的K3封頭(法蘭連接，見圖1)和MILLER等[15]試驗(yàn)中的CBI1封頭(筒體焊接，見圖2)為例進(jìn)行有限元分析，封頭的尺寸參數(shù)如表1所示。

圖1 K3封頭的對(duì)稱模型和網(wǎng)格劃分示意

圖2 CBI1封頭的對(duì)稱模型和網(wǎng)格劃分示意

建模時(shí)，由于碟形封頭在內(nèi)壓下的幾何結(jié)構(gòu)、載荷具有軸對(duì)稱特征，故建立軸對(duì)稱模型；采用Plane 182單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格；通過(guò)法蘭與筒體連接的封頭，在封頭頂部對(duì)稱軸線施加X(jué)方向的位移約束，封頭底部施加位移全約束；直接與筒體焊接的封頭，在封頭頂部對(duì)稱軸線施加X(jué)方向的位移約束，在筒體底部施加Y方向的位移約束。

表1 碟形封頭尺寸參數(shù)

材料模型采用真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線(見圖3[14-15])。其中K3封頭模型采用BLACHUT[14]實(shí)測(cè)的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線。CBI1封頭則根據(jù)MILLER等[15]實(shí)測(cè)的材料彈性模量、屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度的平均值，利用ASME BPVC Ⅷ.2—2019附錄3-D的本構(gòu)關(guān)系確定其真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線。

圖3 真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線

1.2 計(jì)算結(jié)果

(a)壓力-應(yīng)變曲線

采用基于弧長(zhǎng)法的非線性有限元技術(shù)進(jìn)行計(jì)算，弧長(zhǎng)法可自動(dòng)調(diào)整弧長(zhǎng)增量，當(dāng)曲線結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出非線性特征時(shí)，弧長(zhǎng)會(huì)自動(dòng)減小，迭代增多，故能很好地跟蹤壓力-應(yīng)變曲線的突變點(diǎn)[16]。獲得K3和CBI1封頭模型在封頭頂點(diǎn)位置的壓力-von Mises應(yīng)變曲線見圖4(a)，5(a)。

(a)壓力-應(yīng)變曲線

由塑性垮塌的定義可知塑性垮塌壓力是結(jié)構(gòu)能夠承載的最大壓力[4]，表現(xiàn)在“壓力-應(yīng)變”圖像上即為曲線的最高點(diǎn)，故K3封頭和CBI1封頭的塑性垮塌壓力分別為50.3 MPa和2.0 MPa，兩者在塑性垮塌壓力下的等效塑性應(yīng)變?cè)茍D如圖4(b)和圖5(b)所示。

2 理論方法

2.1 理論基礎(chǔ)

由有限元計(jì)算結(jié)果可以看出，內(nèi)壓作用下碟形封頭球冠區(qū)向外變形，過(guò)渡段向內(nèi)變形，因此碟形封頭在變形前后存在環(huán)向應(yīng)變?yōu)榱?橫向位移為零)的位置，見圖6。UPDIKE等[12]曾將環(huán)向應(yīng)變?yōu)榱阄恢眉耙陨喜糠值姆忸^等效為具有支撐環(huán)的球冠(即將圖6中箭頭所指向的記號(hào)以上的封頭等效為圖7的模型)，并基于Hill應(yīng)變假設(shè)[13]，計(jì)算內(nèi)壓碟形封頭塑性垮塌壓力。

(a)K3封頭

公式推導(dǎo)在下列假設(shè)下進(jìn)行：(1)工程上碟形封頭徑厚比大于10，認(rèn)為封頭處于膜應(yīng)力狀態(tài)；(2)等效球冠在變形中各處曲率始終保持一致，即等效球冠始終為球狀；(3)Hill應(yīng)變假設(shè)[13](等效球冠頂點(diǎn)附近的微元的瞬時(shí)路徑與等效球冠輪廓截面垂直)；(4)碟形封頭所用材料大多為金屬，適用冪指數(shù)本構(gòu)模型，且由于金屬材料的彈性段對(duì)塑性垮塌壓力幾乎沒(méi)影響，采用Swift本構(gòu)關(guān)系；(5)材料不可壓縮。

圖7 等效球冠模型示意

根據(jù)圖7可以得到幾何關(guān)系：

h=Rφ(1-cosβ)

(1)

a=Rφsinβ

(2)

(3)

式中，h為等效球冠的高度，mm；Rφ為等效球冠的曲率半徑，mm；β為等效球冠球心和支撐環(huán)連線與對(duì)稱軸的夾角，(°)；a為等效球冠半徑(支撐環(huán)半徑)，mm。

Mises等效應(yīng)力和等效應(yīng)變：

σe=σθ=σφ

(4)

εe/2=εθ=εφ=-εz/2

(5)

式中,σe為Mises等效應(yīng)力，MPa；σθ為環(huán)向應(yīng)力，MPa；σφ為經(jīng)向應(yīng)力，MPa；εe為Mises等效應(yīng)變；εθ為環(huán)向應(yīng)變；εφ為經(jīng)向應(yīng)變；εz為法向應(yīng)變。

t=t0exp(εZ)=t0exp(-εe)

(6)

根據(jù)Hill應(yīng)變假設(shè)[13]:

(7)

式(5)(7)積分得到：

(8)

Swift本構(gòu)模型[12]：

σe=C(b+εe)n

(9)

式中,C,b,n為Swift本構(gòu)關(guān)系的材料參數(shù)。

薄膜理論：

(10)

2.2 本構(gòu)關(guān)系

Swfit本構(gòu)關(guān)系中的材料參數(shù)C,b和n可以通過(guò)下式[12]計(jì)算：

n=b+ln(1+eu)

(11)

su(1+eu)=C[b+ln(1+eu)]n=Cnn

(12)

sy(1+ey)=C[n-ln(1+eu)+ln(1+ey)]n

(13)

聯(lián)立式(11)～(13)可得到n的非線性方程：

(14)

式中,e為工程應(yīng)變；ε為真應(yīng)變;s為工程應(yīng)力，MPa；σ為真應(yīng)力，MPa；下標(biāo)y為屈服點(diǎn)；下標(biāo)u為抗拉強(qiáng)度點(diǎn)。

由式(14)首先求得n，進(jìn)而得到b和C。其中，屈服強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的工程應(yīng)變ey=sy/E。對(duì)于抗拉強(qiáng)度的工程應(yīng)變eu，可以先確定屈強(qiáng)比K(K=sy/su)，采用ASME BPVC Ⅷ.2—2019附錄3-D的本構(gòu)關(guān)系確定真應(yīng)變?chǔ)舥(見式(15))，再按工程應(yīng)變與真應(yīng)變關(guān)系ε=ln(1+e)計(jì)算eu。

(15)

由此，獲得K3封頭所用的材料參數(shù)C,b和n分別為750，0.002 5，0.172 9；CBI1封頭所用的材料參數(shù)C,b和n分別為945，0.010 3，0.217 3，對(duì)應(yīng)的Swift真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線見圖8。

圖8 K3封頭和CBI1封頭的Swift曲線

2.3 塑性垮塌壓力

塑性垮塌壓力是結(jié)構(gòu)能夠承載的最大壓力，表現(xiàn)在“壓力-應(yīng)變”圖像上即為曲線的最高點(diǎn)，故封頭塑性垮塌條件[17]：

(16)

為求得封頭塑性垮塌壓力，避免迭代運(yùn)算，需進(jìn)一步獲得封頭所受壓力與等效應(yīng)變的關(guān)系式。聯(lián)立式(3)(5)(7)，得等效球冠的高度：

(17)

聯(lián)立式(3)(6)(10)(17)，即可得封頭所受壓力P：

P=4t0σe[exp(-c-2.5εe)

-exp(-2c-3εe)a2]1/2

(18)

結(jié)合式(9)和式(18)，得封頭所受壓力P與等效應(yīng)變?chǔ)舉的關(guān)系式：

P=4t0C(b+εe)n[exp(-c-2.5εe)

-exp(-2c-3εe)a2]1/2

(19)

利用式(19)可將封頭所受壓力P與等效應(yīng)變?chǔ)舉繪制出關(guān)系曲線(見圖10)，可知曲線上最高點(diǎn)的壓力為塑性垮塌壓力。

(20)

對(duì)式(9)求導(dǎo)并與式(20)比較得：

(21)

(22)

式(22)可以直接求得碟形封頭的塑性垮塌壓力。對(duì)于一個(gè)確定的封頭，t0,C,b,n,c,a均為常量，其中a只是理論上的概念，如何獲得a是下一步計(jì)算的關(guān)鍵。

主要考慮D,Ri,r,sy,su對(duì)a的影響，記Ri/D=m,r/D=l，引入強(qiáng)度常數(shù)Q=100 MPa對(duì)sy和su進(jìn)行無(wú)量綱處理，記sy/Q=syQ,su/Q=suQ。希望得到a=f(D,m,l,syQ,suQ)的表達(dá)式，為此利用有限元對(duì)不同條件下a的值進(jìn)行仿真分析。尺寸方面考慮歐盟規(guī)范EN 13445-3UnfiredPressureVessel、ASME規(guī)范ASME BPVC.Ⅷ.2—2019Rulesforconstructionofpressurevessels,division2,alternativerules和我國(guó)GB/T 150—2011《壓力容器》中關(guān)于m,l的規(guī)定，在D=200～5 000 mm,m=0.7～1.0，l=0.05～0.35范圍內(nèi)進(jìn)行有限元仿真；材料的sy,su則參考GB 713—2014《鍋爐和壓力容器用鋼板》中常見牌號(hào)的sy和su，并為了研究規(guī)律適當(dāng)擴(kuò)大范圍，取sy=230～650 MPa，su/sy=1.1～2.6。仿真結(jié)果顯示a和D,m,l,syQ,suQ存在著極強(qiáng)的規(guī)律性。將所有仿真結(jié)果用SPSS(Statistical Product and Service Solutions)軟件進(jìn)行非線性回歸，選擇Levenberg-Marquardt方法對(duì)回歸參數(shù)進(jìn)行最小二乘估計(jì)，得到：

-0.011syQ+0.008suQ

(23)

該式可以在D=200～5000 mm，m=0.7～1.0，l=0.05～0.35，sy=230～650 MPa，su/sy=1.1～2.6的范圍內(nèi)使用。將仿真得到的a與公式計(jì)算得到的a對(duì)比，如圖9所示，兩者平均誤差僅為-0.14%，標(biāo)準(zhǔn)差為1.94%。式(23)可以獨(dú)立于有限元獲得支撐環(huán)半徑a的值，使本節(jié)得到的理論公式具備了使用價(jià)值。

圖9 仿真得到的a與公式計(jì)算得到的a的比較

K3封頭模型和CBI1封頭模型等效球冠半徑a(以內(nèi)徑為基準(zhǔn))、材料參數(shù)C,b和n見表2。圖10示出了K3封頭模型和CBI1封頭模型的壓力-等效應(yīng)變曲線，從而得到K3封頭和CBI1封頭模型的塑性垮塌壓力分別為53.44和2.15 MPa。

表2 等效球冠參數(shù)

圖10 K3和CBI1封頭的塑性垮塌壓力

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證碟形封頭塑性垮塌壓力預(yù)測(cè)的有限元法和公式計(jì)算法，從文獻(xiàn)中查閱總結(jié)16個(gè)碟形封頭的爆破試驗(yàn)數(shù)據(jù)，見表3。對(duì)表中的碟形封頭分別按第1章的預(yù)測(cè)模型和第2章的公式法計(jì)算塑性垮塌壓力的有限元解和公式解，并與封頭爆破壓力試驗(yàn)值進(jìn)行比較。

表3 碟形封頭試驗(yàn)數(shù)據(jù)匯總及誤差對(duì)比

從表3可以看出，碟形封頭塑性垮塌壓力的有限元解與公式解的相對(duì)誤差范圍為-9.6%～8.7%，平均誤差僅為2.47%，表明碟形封頭塑性垮塌壓力的有限元解與公式解的吻合程度很高，驗(yàn)證了本文預(yù)測(cè)方法的可靠性。且公式法只需知道碟形封頭的D,Ri,r,t0,sy,su，便可完成計(jì)算，效率遠(yuǎn)高于有限元，當(dāng)面臨大量碟形封頭需要預(yù)測(cè)其塑性垮塌壓力時(shí)，公式法無(wú)疑會(huì)是一種便捷、高效的方法。

Blachut系列封頭(編號(hào)為K)，有限元解比試驗(yàn)值高20%左右，公式解比試驗(yàn)值高20%以上。該系列封頭采用鋼錠機(jī)加工制造，而鋼錠中心存在縮孔殘余，即封頭頂部存在縮孔缺陷，導(dǎo)致試驗(yàn)封頭承載性能大大降低[14,19]。另3個(gè)Blachut系列封頭(編號(hào)為1,2,3)的縮孔缺陷相對(duì)較小，有限元解、公式解均與試驗(yàn)值吻合較好。CBI系列封頭分瓣加工，封頭存在較多焊接接頭，且CBI1封頭在過(guò)渡段焊縫處破裂、CBI2封頭破口平行于球冠拼焊縫,在焊接接頭熱影響區(qū)破裂，導(dǎo)致分瓣加工的封頭爆破壓力試驗(yàn)值低于有限元解和公式解。對(duì)于冷沖壓和冷旋壓的封頭，封頭質(zhì)量較高，塑性垮塌壓力的有限元解、公式解與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好?？傮w來(lái)說(shuō)，碟形封頭塑性垮塌壓力的有限元解、公式解與試驗(yàn)值吻合良好，驗(yàn)證了碟形封頭塑性垮塌壓力有限元計(jì)算和計(jì)算公式在理想條件下的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

(1)采用基于弧長(zhǎng)法的非線性有限元技術(shù)，建立了考慮應(yīng)變硬化的碟形封頭塑性垮塌壓力有限元預(yù)測(cè)數(shù)值模型。推導(dǎo)出碟形封頭塑性垮塌壓力的公式計(jì)算方法，并使之能夠獨(dú)立使用。碟形封頭塑性垮塌壓力的有限元模型和公式計(jì)算的預(yù)測(cè)結(jié)果吻合良好，表明預(yù)測(cè)方法可靠。

(2)匯總了16個(gè)不同碟形封頭爆破試驗(yàn)數(shù)據(jù)。公式法、有限元法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了碟形封頭塑性垮塌壓力的有限元計(jì)算和公式計(jì)算在理想條件下的準(zhǔn)確性。為建立考慮材料應(yīng)變硬化的、防止碟形封頭塑性垮塌的設(shè)計(jì)方法提供技術(shù)支撐。