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        相似中的“雙A”型

        2021-05-21 03:59:28李長春特級教師
        初中生世界 2021年23期
        關鍵詞:性質思路解題

        文 李長春(特級教師)

        教材中的例題和習題都是經過專家反復打磨、精心設計而成的,具有很強的針對性和典型性,也是同學們獲取知識和方法、發(fā)展能力的重要載體。在“圖形的相似”這一章中,就有一個大家非常熟悉的基本圖形。

        【原題再現】(蘇科版數學教材九年級下冊第54頁例1)如圖1,在△ABC中,點D、E分別在AB、AC邊上,且DE∥BC。試說明△ADE與△ABC相似的理由。

        圖1

        這是一個基本模型,因為整個圖形像個英文字母A,所以我們稱它為“A”型。很多試題中都有它的身影。我們先來看看這個模型在習題中的變式。

        【習題再現】(蘇科版數學教材九年級下冊第65頁習題6.4第3題)如圖2,在△ABC中,點D、E、F分別在BC、AB、AC上,EF∥BC,交AD于點G。

        (1)圖中有幾對相似三角形?是哪幾對?

        圖2

        【思路分析】(1)將原圖形進行分解,可得到3對“A”型相似三角形,分別是△AEG∽△ABD、△AGF∽△ADC、△AEF∽△ABC;(2)由△AEG∽△ABD,得由△AGF∽△ADC,得所以。

        從圖形的形狀上來看,因為其像兩個并排放置的英文字母A,所以我們不妨稱其為“雙A”型。將第(2)問中的結論變形也可得到我們可以稱之為“雙A”型性質1。

        特別地,當點G為EF的中點時,則點D為BC的中點;反之,當點D為BC的中點時,則點G為EF的中點。我們可以稱之為“雙A”型性質2。

        在解題中若能發(fā)現“雙A”型,并靈活運用這些結論,往往能解決不少看似無從下手的難題。特選出幾例與大家分享。

        一、隱藏在正方形中的“雙A”型

        例1 如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上,連接AG、AF分別交DE于M、N兩點。若AB=AC=9,求MN的長。

        圖3

        【思路分析】由正方形DEFG得DE∥BC,由“雙A”型的性質1可得由正方形DEFG以及AB=AC、∠BAC=90°易得BG=DG=GF,所以DM=MN。同理可得MN=NE,所以。又因為所以MN=。

        【總結提煉】本題兩次運用“雙A”型相似模型,結合正方形和等腰直角三角形的性質,使問題順利得解。由此可見,在解題過程中,我們若能抓住基本的數學模型,往往能化難為易,化繁為簡。

        二、隱藏在圓中的“雙A”型

        例2 如圖4,已知AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,OC平行于弦AD,過點D作DE⊥AB,垂足為E,連接AC與DE交于點P,求證:EP=PD。

        圖4

        【思路分析】如圖4,分別延長BC、AD交于點F。因為OC∥AD,所以則BC=CF。因為AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,所以FB⊥AB。又因為DE⊥AB,所以DE∥FB,而BC=CF,由“雙A”型性質2,可得EP=PD。

        【總結提煉】本題在補全“雙A”型的基礎上,以圓的半徑相等和OC平行于弦AD為依托,在證得BC=CF后,運用“雙A”型性質2找到解題思路。因此,我們要想運用“雙A”型,就需要先根據題意發(fā)現(或構造出)“雙A”型。

        三、隱藏在投影下的“雙A”型

        例3某興趣小組開展課外活動,如圖5,A、B兩地相距12米,小明從點A出發(fā)沿AB方向勻速前進,2秒后到達點D處,此時他(CD)在某一燈光下的影長為AD。繼續(xù)按原速行走2秒到達點F處,此時他在同一燈光下的影子仍落在其身后,并測得這個影長為1.2米。然后他將速度提高到原來的1.5倍,再行走2秒到達點H處,此時他(GH)在同一燈光下的影長為BH(點C、E、G在一條直線上)。

        (1)請在圖中畫出光源O點的位置,并畫出小明位于點F時,在這個燈光下的影長FM(不寫畫法);

        (2)求小明原來的速度。

        圖5

        【思路分析】(1)光源O點的位置及小明位于點F時在這個燈光下的影長FM如圖6所示。(2)設小明原來的速度為v米/秒,由題意得CE=DF=AD=2v,AM=AF-MF=4v-1.2,EG=FH=2×1.5v=3v,MB=AB-AM=12-(4v-1.2)=13.2-4v。因 為CG∥AB,由“雙A”型性質1得所以。解這個方程得v1=0,v2=1.5。經檢驗,v=1.5為方程的解。

        圖6

        【總結提煉】在補全圖形的基礎上,出現了“雙A”型相似模型,因此,只要我們能夠根據已知條件設出小明原來的速度,然后表示出圖中相關線段的長,抓住“雙A”型,運用其性質,問題就會迎刃而解。

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