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        有關(guān)統(tǒng)計(jì)與概率的那些典型題型

        2021-05-21 03:59:30
        初中生世界 2021年23期

        文 王 磊

        專題復(fù)習(xí):統(tǒng)計(jì)與概率

        領(lǐng) 銜 人:王 磊

        組稿團(tuán)隊(duì):江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)

        “統(tǒng)計(jì)與概率”是初中數(shù)學(xué)非常重要的知識(shí)。通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí),我們能增強(qiáng)對(duì)事物的判斷能力,能更科學(xué)地認(rèn)識(shí)世界。在中考中,這部分知識(shí)也是必考的,因此,學(xué)好統(tǒng)計(jì)與概率就顯得更加重要。下面就讓我們一起來看一下相關(guān)典型問題的解題策略。

        一、抽樣的合理性

        這類問題主要考查同學(xué)們的生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),難度不大,注意抽樣的科學(xué)性即可。

        例1為調(diào)查某大型企業(yè)員工對(duì)企業(yè)的滿意程度,以下樣本具有代表性的是( )。

        A.企業(yè)男員工

        B.企業(yè)年滿50歲及以上的員工

        C.用企業(yè)人員名冊,隨機(jī)抽取三分之一員工

        D.企業(yè)新進(jìn)員工

        【解析】關(guān)注數(shù)據(jù)來源的均衡性、廣泛性、一致性即可輕松解決這類問題。故選C。

        二、數(shù)據(jù)分析

        這類問題主要考查數(shù)據(jù)的整理和處理,做好數(shù)據(jù)的分類、排序、計(jì)算,就可以完成問題的解答。

        例2 如圖1是成都市某一周內(nèi)日最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖,關(guān)于這7天的日最高氣溫的說法正確的是( )。

        A.極差是8℃ B.眾數(shù)是28℃

        C.中位數(shù)是24℃ D.平均數(shù)是26℃

        圖1

        【解析】極差是一組數(shù)據(jù)中的最大值減最小值后得到的數(shù)據(jù);眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù);中位數(shù)是把一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小排列后,中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù);平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商。故選B。

        三、摸球試驗(yàn)

        這類問題的典型特征是在一個(gè)不透明的袋子里摸球,球的形狀和大小都相同,顏色不同。這類問題的難度不大,仔細(xì)讀題,看清數(shù)據(jù),按照概率的定義解答即可。

        例3一個(gè)不透明的袋子里裝有4個(gè)紅球和2個(gè)黃球,它們除顏色外其余都相同。從袋中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為( )。

        【解析】本題考查了同學(xué)們對(duì)概率基本定義的理解。袋子中一共有6個(gè)球,其中紅球有4個(gè),因此,從袋子中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率。故選D。

        四、平面圖形類

        這類問題的載體一般是網(wǎng)格。在網(wǎng)格中,利用陰影的面積來計(jì)算某事件發(fā)生的概率。解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地算出陰影部分圖形的面積。

        例4一個(gè)小球在如圖2所示的方格地磚上任意滾動(dòng),并隨機(jī)停留在某塊地磚上。每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同,那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是 。

        圖2

        【解析】將網(wǎng)格的邊長看作單位1,算出每個(gè)小三角形的面積,然后數(shù)一數(shù)有多少個(gè)三角形,或者將兩個(gè)三角形看作一個(gè)正方形,數(shù)一數(shù)正方形的個(gè)數(shù),最后利用P=這個(gè)公式計(jì)算即可。故答案為。

        五、樹狀圖(或表格)探究

        這類問題,需要同學(xué)們在樹狀圖(或表格)的幫助下,科學(xué)地列出所有等可能的結(jié)果,然后計(jì)算出事件發(fā)生的概率。

        例5現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-1、1、2、3的不透明卡片,它們除數(shù)字外其余完全相同。將它們背面朝上洗均勻,隨機(jī)抽取一張,記下數(shù)字后放回;再背面朝上洗均勻,隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字。前后兩次抽取的數(shù)字分別記為m、n,則點(diǎn)P(m,n)在第二象限的概率為________。

        【解析】本題考查了概率的計(jì)算和各象限內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)的特征,列表表示所有等可能的結(jié)果如下:

        -1 1 2 3-1(-1,-1)(1,-1)(2,-1)(3,-1)1(-1,1)(1,1)(2,1)(3,1)2(-1,2)(1,2)(2,2)(3,2)3(-1,3)(1,3)(2,3)(3,3)

        由上表可知,共有16種等可能的結(jié)果,其中點(diǎn)P(m,n)在第二象限的結(jié)果有3種,即(-1,1),(-1,2),(-1,3),所以點(diǎn)P(m,n)在第二象限的概率為。故答案為。

        六、概率設(shè)計(jì)

        這類問題調(diào)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)(常見的載體主要是骰子和轉(zhuǎn)盤),仔細(xì)推敲,運(yùn)用概率的基本定義,認(rèn)真計(jì)算即可解決。

        例6如圖3,可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被它的兩條直徑分成了四個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字的扇形區(qū)域,其中標(biāo)有數(shù)字“1”的扇形圓心角為120°。轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,待轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后,指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部,則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字,此時(shí)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次(若指針指向兩個(gè)扇形的交線,則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù),重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止)。

        (1)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,求轉(zhuǎn)出的數(shù)字是-2的概率;

        (2)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次,用畫樹狀圖或列表法求這兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之積為正數(shù)的概率。

        圖3

        【解析】(1)分別求出標(biāo)號(hào)為1、-2和3的三個(gè)扇形圓心角的度數(shù)即可判斷是否是等可能性的,然后求出概率為;(2)三個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等,故可直接列表把所有結(jié)果列出,找出其中積為正數(shù)的情況,再求概率。

        1-2 3 1 1-2 3-2-2 4-6 3 3-6 9

        由表格可知,共有9種等可能的結(jié)果,其中積為正數(shù)的有5種,所以兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之積為正數(shù)的概率。

        七、統(tǒng)計(jì)與概率綜合題

        在各地的中考題中,統(tǒng)計(jì)與概率的綜合題經(jīng)常出現(xiàn)。同學(xué)們用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題,可以提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

        例7某校舉行了“防溺水”知識(shí)競賽,八年級(jí)兩個(gè)班各選派10名同學(xué)參加預(yù)賽。依據(jù)各參賽選手的成績(均為整數(shù))繪制了折線統(tǒng)計(jì)圖(如圖4)和統(tǒng)計(jì)表。

        (1)統(tǒng)計(jì)表中,a=________,b=________,c=________;

        (2)若從兩個(gè)班的預(yù)賽選手中選四名學(xué)生參加決賽,其中兩個(gè)班的第一名直接進(jìn)入決賽,另外兩個(gè)名額在成績?yōu)?8分的學(xué)生中任選,求另外兩個(gè)決賽名額落在不同班級(jí)的概率。

        圖4

        班級(jí)最高分眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)八(1)班100 a 96 c八(2)班99 98 b 94.5

        【解析】(1)由折線統(tǒng)計(jì)圖分別寫出八(1)班和八(2)班各10名同學(xué)的參賽成績,再根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的概念得出a=96,b=96,最后求出八(1)班成績的平均數(shù)c=94.5。(2)找出兩個(gè)班級(jí)中成績?yōu)?8分的學(xué)生,利用列表法或畫樹狀圖求出另外兩個(gè)決賽名額落在不同班級(jí)的概率。設(shè)(1)班學(xué)生為A1、A2,(2)班學(xué)生為B1、B2、B3,畫出樹狀圖如下:

        圖5

        一共有20種等可能的結(jié)果,其中2人來自不同班級(jí)的情況共有12種,所以這兩個(gè)人來自不同班級(jí)的概率。

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