【摘 要】 教、學(xué)、測(cè)中，習(xí)題選擇做到“準(zhǔn)”“精”“簡(jiǎn)”，才能有效達(dá)成鞏固“四基”、提升“四能”、查缺補(bǔ)漏、發(fā)展素養(yǎng)的解題目的.“準(zhǔn)”即試題應(yīng)正確，知識(shí)及能力考查目標(biāo)明確，能切中學(xué)生認(rèn)知方面的薄弱點(diǎn);“精”即習(xí)題應(yīng)與核心概念與性質(zhì)相關(guān)，能反映數(shù)學(xué)基本思想方法，不糾纏于枝節(jié)末梢;言簡(jiǎn)意賅，流暢、易懂、具有啟發(fā)性謂之“簡(jiǎn)”.

關(guān)鍵詞：精選習(xí)題;解題目的

使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的基本技能和思維能力，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教和學(xué)中的遺漏和不足，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)，是解題練習(xí)的基本目的.是否所有試題的解答訓(xùn)練及教學(xué)都能較好地達(dá)成上述目的？章建躍博士曾建言，須建立在“解好題”的基礎(chǔ)上.并總結(jié)出“好題”應(yīng)具有以下“品質(zhì)”：與重要的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長(zhǎng)能力等;從培養(yǎng)思維能力的角度，則應(yīng)有：?jiǎn)栴}是自然的，對(duì)學(xué)生的智力有適度的挑戰(zhàn)性，題意明確，不糾纏于細(xì)枝末節(jié)，表述形式簡(jiǎn)潔、流暢、好懂等[1].這就要求我們?cè)诮獭W(xué)和測(cè)試中，習(xí)題的遴選應(yīng)慎之又慎，唯有選出“好題”，才能事半功倍地有效達(dá)成解題訓(xùn)練的目的.

我校高三二輪復(fù)習(xí)近日的模擬測(cè)試中，一道試題的學(xué)生解答、課堂點(diǎn)評(píng)、同事討論、網(wǎng)絡(luò)搜索和求助結(jié)果，誘發(fā)筆者對(duì)解題目的達(dá)成與“好題”之間關(guān)聯(lián)性的思考.

1 試題及參考答案呈現(xiàn)

（2019 珠海二模）若函數(shù)f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個(gè)極值點(diǎn)，則k的取值范圍為（）.

A. （-∞，e）B. [0，e]C. （-∞，-2）D. （0，2]

命題者提供的參考答案過程如下：

解 f′（x）=ex（x-2）-kx2+2kx=（x-2）（ex-kx），若函數(shù)f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，則f′（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.所以ex-kx≥0，即ex≥kx，令u（x）=ex、h（x）=kx，同一坐標(biāo)系中分別作出它們的圖象，如圖1所示，當(dāng)兩函數(shù)圖象相切時(shí)k=e，此時(shí)k的值最大.注意到，k<0時(shí)，不成立，故k的取值范圍是[0，e]，選B.

作業(yè)幫、小猿搜題、數(shù)學(xué)群組求助以及網(wǎng)頁(yè)搜索到的本題解答方法也基本如上述過程.

從試題和參考答案，我們嘗試對(duì)命題者的初衷及考查目的作如下分析.極值點(diǎn)概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值點(diǎn)求解、零點(diǎn)存在性定理，是試題考查的基本概念及原理;信息提取和轉(zhuǎn)化、邏輯推理、導(dǎo)數(shù)求解、函數(shù)圖象切線的求解、函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的判斷、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值點(diǎn)等，是試題求解所需程序性技能;上述知識(shí)和技能中所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論是試題考查的基本數(shù)學(xué)思想.

更為重要的是，在知識(shí)考查、技能訓(xùn)練、思想升華的過程中，通過上述試題的解答訓(xùn)練使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)“更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考[2]”，努力提升學(xué)生思維的整體性與靈活性、自覺性與創(chuàng)造性.

2 學(xué)生應(yīng)試時(shí)的解法與命題人初衷契合度分析

此題測(cè)試后，學(xué)生得分率并不低，選擇題無(wú)法獲知學(xué)生的思維過程和解決方法，通過和部分學(xué)生交流后，發(fā)現(xiàn)他們的解法如下：

解 注意到，四個(gè)選項(xiàng)中，e是特殊值.令k=e，則f（x）=ex（x-3）-13ex3+ex2，所以f′（x）=（x-2）（ex-ex）.如圖1所示，注意到ex-ex≥0，故x∈（-∞，2）時(shí)，f′（x）≤0;x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）>0.所以當(dāng)k=e時(shí)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)極小值點(diǎn)2，即k=e符合條件，四個(gè)選項(xiàng)中只有B中含有e，所以選B.

結(jié)合選擇題的特點(diǎn)，在四個(gè)選擇支中確定一個(gè)特殊值，代入已知函數(shù)，檢驗(yàn)是否符合題設(shè)條件，避開含參數(shù)函數(shù)性質(zhì)的討論.作為一種特殊技巧，應(yīng)試過程中合理應(yīng)用，能夠快速、正確解答本題，獲得分?jǐn)?shù)，此法無(wú)可厚非.

學(xué)生解法能否達(dá)到命題者的對(duì)學(xué)生考查和訓(xùn)練的目的？在解題過程中，零點(diǎn)存在性定理、導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)極值之間的本質(zhì)聯(lián)系、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想并未涉及.試題沒有達(dá)到對(duì)重要概念、原理的本質(zhì)及其蘊(yùn)含思維方法的有效考查和訓(xùn)練.

3 對(duì)試題及參考答案的質(zhì)疑

疑點(diǎn)1 轉(zhuǎn)化的等價(jià)性

①函數(shù)f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個(gè)極值點(diǎn)與f′（x）=（x-2）（ex-kx）只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)嗎？

② 函數(shù)f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，一定是2嗎？

③ f′（x）=（x-2）（ex-kx）只有一個(gè)零點(diǎn)與ex-kx≥0是否等價(jià)？

④ 兩函數(shù)圖象相切時(shí)，k=e，f′（x）=（x-2）（ex-kx）有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)f（x）為什么只有一個(gè)極值點(diǎn)？答案沒有解釋.（學(xué)生的求解從幾何直觀角度回答了這個(gè)問題）

疑點(diǎn)2 [0，e]之外的值

① 當(dāng)k<0時(shí)為什么不符合條件？顯然嗎？此時(shí)函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)嗎？有幾個(gè)？

② 當(dāng)k>e時(shí)，比如，k=e22時(shí)，f′（x）=（x-2）ex-e22x，2也是方程ex-e22x=0的根.函數(shù)f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2此時(shí)只有一個(gè)極值點(diǎn)嗎？如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，還是2嗎？疑點(diǎn)3 幾何直觀與演繹推理

賦予抽象的數(shù)學(xué)問題以幾何直觀，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，提供解題思路，是數(shù)學(xué)問題解決的基本思維方法.但是，用幾何直觀代替嚴(yán)密的演繹推理行得通嗎？4 對(duì)試題正確性的推敲

函數(shù)f（x）是定義域上的可導(dǎo)函數(shù)，所以“函數(shù)f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個(gè)極值點(diǎn)”等價(jià)于“f′（x）=（x-2）（ex-kx）存在唯一異號(hào)零點(diǎn).”（即零點(diǎn)兩側(cè)f′（x）符號(hào)相反）設(shè)函數(shù)h（x）=ex-kx，作如下討論.

（1）h（x）=ex-kx無(wú)零點(diǎn)

若h（x）無(wú)零點(diǎn)，則有h（x）>0或h（x）<0恒成立.注意到h（0）=1>0，所以h（x）<0恒成立不可能.對(duì)于h（x）>0恒成立，可按以下方法求k的取值范圍.方法1 分類討論、參變分離

當(dāng)x>0時(shí)，ex-kx>0轉(zhuǎn)化為k

當(dāng)x=0時(shí)，k∈R，均有ex-kx>0恒成立;

當(dāng)x<0時(shí)，ex-kx>0轉(zhuǎn)化為k>exx.注意到此時(shí)exx<0，所以k≥0.

綜上所述，當(dāng)k∈[0，e）時(shí)，不等式ex-kx>0恒成立.方法2 參變混合、分類討論

h（x）>0恒成立，等價(jià)于h（x）min>0，h′（x）=ex-k.

當(dāng)k<0時(shí)，h′（x）>0，即h（x）為增函數(shù)，且x→-∞時(shí)，h（x）→-∞，h（x）不存在最小值，所以k<0時(shí)不符合條件;

當(dāng)k=0時(shí)，h（x）=ex>0恒成立，符合條件;

當(dāng)k>0時(shí)，h′（x）=ex-k存在唯一零點(diǎn)lnk，x∈（-∞，lnk）時(shí)，h′（x）<0，h（x）為減函數(shù)，x∈（lnk，+∞）時(shí)，h′（x）>0，h（x）為增函數(shù)，所以h（x）min=h（lnk）=k-klnk，h（x）min>0，得k

綜上，k∈[0，e）時(shí)，不等式ex-kx>0恒成立.

（2）h（x）=ex-kx有零點(diǎn)圖2

若h（x）=ex-kx存在零點(diǎn)，即k∈（-∞，0）∪[e，+∞）.

情形1 若k<0時(shí)，h′（x）>0，h（x）=ex-kx單調(diào)遞增.h（0）=1>0，且x→-∞時(shí)，h（x）→-∞，所以h（x）存在唯一負(fù)零點(diǎn)x0.f′（x）的簡(jiǎn)圖如圖2.此時(shí)函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，x0是極大值點(diǎn)，2是極小值點(diǎn).

情形2 當(dāng)k=e時(shí)，h（x）=ex-ex，h′（x）=ex-e.所以h（x）在（-∞，1）遞減，（1，+∞）遞增，即h（x）≥h（1）=0，f′（x）的簡(jiǎn)圖如圖3，f′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，但零點(diǎn)1的兩側(cè)，導(dǎo)函數(shù)值符號(hào)相同，所以其不是極值點(diǎn)，故k=e時(shí)，f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn).

情形3 當(dāng)k>e時(shí)，h′（x）=ex-k，所以h（x）在（-∞，lnk）遞減，在（lnk，+∞）遞增，其中l(wèi)nk>1.

注意到h（lnk）=k（1-lnk）<0，h（0）=1>0，所以h（x）在區(qū)間（0，lnk）上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為x1.

又h（2lnk）=e2lnk-2klnk=k（k-2lnk）.令φ（x）=x-2lnx（x>e），則φ′（x）=1-2x>0，所以φ（x）在（e，+∞）為增函數(shù)，則有φ（x）>φ（e）=e-2>0，故h（2lnk）=k（k-2lnk）>0.所以區(qū)間（lnk，2lnk）上，h（x）有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x2.

綜上h（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，滿足0

① 若x2=2時(shí)，即e2-2k=0，k=e22，f′（x）簡(jiǎn)圖見圖4.

此時(shí)，f′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，但x2=2的兩側(cè)，f′（x）符號(hào)相同，所以其不是f（x）的極值點(diǎn)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)極小值點(diǎn)x1.

② 若x2≠2時(shí)，即k∈e，e22∪e22，+∞，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)k∈e，e22時(shí)，有x2<2，見圖5，此時(shí)f（x）有兩個(gè)極小值點(diǎn)，分別是x1、2，一個(gè)極大值點(diǎn)為x2;當(dāng)k∈e22，+∞時(shí)，有x2>2，見圖6，此時(shí)f（x）有兩個(gè)極小值點(diǎn)，分別是x1、x2，一個(gè)極大值點(diǎn)為2.

綜上，若f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個(gè)極值點(diǎn)，k∈[0，e]∪e22，四個(gè)選項(xiàng)均不符合條件.所以，本題是一道錯(cuò)誤的考題.

5 準(zhǔn)選、精考、簡(jiǎn)述

試題考查的基本原理有兩個(gè).一是對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，其導(dǎo)函數(shù)的異號(hào)零點(diǎn)是原函數(shù)的極值點(diǎn)，左正右負(fù)為極大值點(diǎn)，左負(fù)右正為極小值點(diǎn).二是函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，該定理只能判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)作嚴(yán)密的討論.函數(shù)零點(diǎn)問題與方程根問題等價(jià)，除了存在性定理外，也可從兩相關(guān)函數(shù)圖象交點(diǎn)的視角認(rèn)識(shí)，獲得結(jié)論，提供解題思路，但無(wú)法替代存在性定理與單調(diào)性結(jié)合的嚴(yán)密推理過程.函數(shù)f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2極值點(diǎn)個(gè)數(shù)即f′（x）=（x-2）（ex-kx）異號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，2顯然是一個(gè)零點(diǎn)，問題集中于函數(shù)h（x）=ex-kx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和特征的研究上.

在對(duì)問題本質(zhì)準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，遵循“準(zhǔn)”選、“精”考、“簡(jiǎn)”述原則，我們嘗試對(duì)試題作以下調(diào)整.

（1）函數(shù)f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為（）.

A. 0個(gè)B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)

注評(píng) 考查極值點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)概念、函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系.結(jié)合選擇支的特征，借助ex與kx圖象關(guān)系，能直觀地判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，避開了復(fù)雜的討論和運(yùn)算等枝節(jié)，集中考查極值點(diǎn)的概念，特別是可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系.

（2）若函數(shù)f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2只有一個(gè)極值點(diǎn)，則k的取值范圍為（）.

A. （0，e） B. [0，e]C. （0，e）∪e22 D. [0，e]∪e22

注評(píng) 對(duì)知識(shí)、技能、思想考查目的和原題一致，基于試題正確性作上述調(diào)整.但對(duì)學(xué)生求解方法的期望，并非命題者提供參考答案那樣.保留原試題設(shè)置形式，是期望學(xué)生能結(jié)合選擇支特征，對(duì)k=e和k=e22兩個(gè)特殊值驗(yàn)證的基礎(chǔ)之上，選出正確答案.這種設(shè)置對(duì)學(xué)生的能力要求較題⑴而言要高，僅由幾何直觀無(wú)法解決問題，需作必要的邏輯推理才能判斷.

（3）已知函數(shù)f（x）=ex（x-3）-13kx3+kx2，f′（x）表示函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù).

① 若函數(shù)y=f′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍;

② 討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

注評(píng) 函數(shù)f（x）極值點(diǎn)情況的綜合討論，對(duì)核心概念及其蘊(yùn)含技能、思想要求更高.以具體問題載體，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.以解答題形式呈現(xiàn)，能夠展現(xiàn)學(xué)生問題求解的思維過程，準(zhǔn)確觀察學(xué)生是否會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述具體問題[3].

按所考查的知識(shí)量從少到多、聯(lián)系性從單線到交叉;程序性技能要求從低級(jí)到高級(jí);貫穿著對(duì)蘊(yùn)含在知識(shí)中的思維方法、學(xué)科一般觀念、數(shù)學(xué)思想的考查和訓(xùn)練，旨在超越具體的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、自覺性、聯(lián)系性、嚴(yán)密性、整體性.

6 結(jié)語(yǔ)

“講了n遍，考試還是錯(cuò)”的現(xiàn)象司空見慣，導(dǎo)致這種現(xiàn)象的因素主要有：教師對(duì)習(xí)題和學(xué)生理解不到位，導(dǎo)致命題、選題、講題不準(zhǔn)，習(xí)題沒有圍繞核心概念及其蘊(yùn)含的技能和思想展開，沒有真正抓住學(xué)生的問題所在，或者習(xí)題本身就是錯(cuò)的;由此連帶的問題則是不“精”，讓學(xué)生在知識(shí)外圍反復(fù)訓(xùn)練，耗費(fèi)學(xué)生大量的時(shí)間和精力，卻達(dá)不到對(duì)知識(shí)的真正理解、對(duì)思維的有效訓(xùn)練、對(duì)能力切實(shí)提升的目的;所謂不“簡(jiǎn)”，就是在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化.

命題、選題、講題是教師日常教學(xué)工作的重要組成部分.在習(xí)題的命制、改編、選擇和教學(xué)過程中，達(dá)成掌握“四基”、發(fā)展“四能”、查缺補(bǔ)漏、培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、提升思維品質(zhì)的解題目的，遵循“準(zhǔn)”、“精”、“簡(jiǎn)”的原則是有效之舉.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介 祝峰（1974—），男，安徽濉溪人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué).