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        一類由多項式絕對值不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題解法的來龍去脈

        2021-05-20 03:56:09甘志國
        中學數(shù)學雜志(高中版) 2021年1期
        關鍵詞:恒成立

        【摘 要】 2015年北京大學自主招生數(shù)學試題第8題,是由多項式絕對值不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題.這類問題的解法是賦值法,但如何賦值?有何玄機?文章闡釋了其來龍去脈,并給出了其一般情形的結論及更一般情形的猜想.

        【關鍵詞】 多項式;絕對值不等式;恒成立;求參數(shù)取值范圍;賦值法;來龍去脈

        1 題1的解法有何玄機?

        題1 (2015年北京大學自主招生數(shù)學試題第8題)若x∈[1,5],x2+px+q≤2(p,q是常數(shù)),則不超過p2+q2的最大整數(shù)是.

        解 分別令x=1,3,5,可得-2≤1+p+q≤2,-2≤9+3p+q≤2,-2≤25+5p+q≤2.

        在平面直角坐標系pOq中作出以上不等式組表示的區(qū)域后,可得p=-6,q=7.

        又因為當p=-6,q=7時,x∈[1,5],x2-6x+7=(x-3)2-2≤2,所以

        [KF(]p2+q2[KF)]的最大值是85,再得所求答案是9.

        注 該解答的關鍵是求出“p=-6,q=7”,解決這一關鍵的核心步驟又是“分別令x=1,5,3,……”.讀者自然會問:為什么要令x=1,5,3這三個值呢?令其他值也能求出答案嗎?

        令區(qū)間[1,5]的兩個端點值1與5這是自然的,令x=3又有何玄機?容易看出3是兩個端點值1與5的平均數(shù),這是一般規(guī)律嗎?

        2 題1的另解——破解玄機

        題1的另解 可得題設即x∈[1,5],-x2-2≤px+q≤-x2+2.如圖1所示,可得線段y=px+q(1≤x≤5)夾在兩條曲線段y=-x2-2(1≤x≤5),y=-x2+2(1≤x≤5)之間.

        可得曲線段y=-x2+2(1≤x≤5)的兩個端點分別為A(1,1),B(5,-23),還可證得線段AB:y=-6x+7(1≤x≤5)與曲線段y=-x2-2(1≤x≤5)切于點C(3,-11),再由數(shù)形結合思想可得p,q的值分別是-6,7.

        圖1

        但還需要作嚴格證明:分別令x=1,3,5,可得

        -2≤1+p+q≤2,-2≤9+3p+q≤2,-2≤25+5p+q≤2.

        在平面直角坐標系pOq中作出以上不等式組表示的區(qū)域后,可得p=-6,q=7.

        也可這樣證明:分別令x=1,5,3,可得p+q≤1,5p+q≤-23,6p+2q≥-22,所以-22≤6p+2q=(p+q)+(5p+q)≤1-23=-22.

        因而p+q=1,5p+q=-23,6p+2q=-22,即p=-6,q=7.

        同原解法,還可驗證p=-6,q=7滿足題設,所以滿足題設的p,q的值分別是-6,7.

        因而[KF(]p2+q2[KF)]=[KF(]85[KF)],進而可得所求答案是9.

        3 題1的一般情形

        定理1 若α,β(α<β)是已知數(shù),則x∈[α,β],x2+ax+b≤(α-β)28(a,b是常數(shù))的充要條件是a=-α-β,b=α2+6αβ+β28.

        證明 可得題設即x∈[α,β],-x2-(α-β)28≤ax+b≤-x2+(α-β)28.

        (請讀者自己畫圖)可得線段y=ax+b(α≤x≤β)夾在另兩條曲線段y=-x2-(α-β)28(α≤x≤β),y=-x2+(α-β)28(α≤x≤β)之間.

        可得曲線段y=-x2+(α-β)28(α≤x≤β)的兩個端點分別為Aα,-7α2-2αβ+β28,Bα,α2-2αβ-7β28,還可證得線段AB:y=(-α-β)x+α2+6αβ+β28(α≤x≤β)與曲線段y=-x2-(α-β)28(α≤x≤β)切于點Cα+β2,-3α2+2αβ+3β28,再由數(shù)形結合思想可得欲證結論成立.

        但還需要作嚴格證明:

        分別令x=α,β,α+β2,可得

        αa+b≤-7α2-2αβ+β28,βa+b≤α2-2αβ-7β28,(α+β)a+2b≥-3α2+2αβ+3β24.

        所以

        -3α2+2αβ+3β24≤(α+β)a+2b=(αa+b)+(βa+b)≤-7α2-2αβ+β28+α2-2αβ-7β28=-3α2+2αβ+3β24.

        因而αa+b=-7α2-2αβ+β28,βa+b=α2-2αβ-7β28,(α+β)a+2b=-3α2+2αβ+3β24,即a=-α-β,b=α2+6αβ+β28.

        又因為當a=-α-β,b=α2+6αβ+β28 時,可得x∈[α,β],x2+ax+b=x-α+β22-(α-β)28≤(α-β)28,所以欲證結論成立.

        推論1 x∈[-1,1],x2+ax+b≤12(a,b是常數(shù))的充要條件是a=0,b=-12.

        證明 在定理1中選α=-1,β=1,可得欲證結論成立.

        注 在推論1中設x=tα(α>0),可得結論:t∈[-α,α],t2+pt+q≤α22(p,q是常數(shù))的充要條件是p=0,q=-α22.

        在該結論中設t=x-α′+β′2,α=β′-α′2(α′<β′),可得定理1.所以定理1與推論1是等價的.也可用證明定理1的方法證得推論1.

        題2 (2017年清華大學領軍計劃數(shù)學試題第23題,不定項選擇題)若對于任意滿足|x|≤1的實數(shù)x,均有|x2+ax+b|≤12成立,則().

        A.實數(shù)a有唯一取值B.實數(shù)a的取值不唯一

        C.實數(shù)b有唯一取值D.實數(shù)b的取值不唯一

        解 由推論1可得答案是AC.

        題3 已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(-1≤x≤1),是否存在實數(shù)b,c使得|f(x)|max=12?若存在,求出b,c的值;若不存在,請說明理由.

        解 由推論1可得存在實數(shù)b,c滿足題設,且b=0,c=-12.

        題4 若x∈[1,2],4x2+ax+b≤12(a,b是常數(shù)),則b=.

        解 可得題設即x∈[1,2],x2+a4x+b4≤18a4,b4是常數(shù),再由定理1可求得答案9.

        4 對題1的再研究

        題5 若x∈[-1,1],x3+ax2+bx+c≤14(a,b,c是常數(shù)),則a,b,c的取值范圍分別

        是.圖2

        解 可得題設即x∈[-1,1],-x3-14≤ax2+bx+c≤-x3+14.

        如圖2所示,可得曲線段y=-x3-14(-1≤x≤1)的左端點是A-1,34,曲線段y=-x3+14(-1≤x≤1)的右端點是B1,-34,線段AB:y=-34x(-1≤x≤1)夾在兩條曲線段y=-x3-14(-1≤x≤1),

        y=-x3+14(-1≤x≤1)

        之間且分別切于點D12,-38,C-12,38.

        由圖2可知,a=0,b=-34,c=0滿足題設.下面由此思路,給出本題的完整解答:

        分別令x=-1,1,-12,12,可得

        -a+b-c≤-34,①a+b+c≤-34, ②a-2b+4c≤32,③-a-2b-4c≤32,④

        ①+②,可得b≤-34;③+④,可得b≥-34.所以b=-34.

        再把b=-34代入①②,可得a+c=0;又把b=-34代入③④,可得a+4c=0.所以a=c=0.

        當a=0,b=-34,c=0時,可得x3+ax2+bx+c=x3-34x.用導數(shù)可求得函數(shù)f(x)=x3-34x(0≤x≤1)的值域是-14,14,所以奇函數(shù)y=x3-34x(-1≤x≤1)即y=x3+ax2+bx+c(-1≤x≤1)的值域也是-14,14,因而x∈[-1,1],x3+ax2+bx+c≤14.

        綜上所述,可得所求a,b,c的取值范圍分別是{0},-34,{0}.

        定理2 若ε,α(α>0)是已知數(shù),則x∈[ε-α,ε+α],x3+ax2+bx+c≤α34(a,b,c是常數(shù))的充要條件是a=-3ε,b=3ε2-34α2,c=34α2ε-ε3.

        證明 在題5的結論中設x=tα(α>0),可得結論:t∈[-α,α],t3+pt2+qt+r≤α34(p,q,r是常數(shù))的充要條件是p=0,q=-34α2,r=0.

        在該結論中設t=x-ε,可得t3+pt2+qt+r=(x-ε)3+p(x-ε)2+q(x-ε)+r=x3+(p-3ε)x2+(3ε2-2pε+q)x+(r-qε+pε2-ε3).

        進而可得欲證結論成立.

        注 在定理2中選ε=0,α=1,可得題4的結論.所以題4的結論與定理2是等價的,也可用證明題4的結論的方法證得定理2.題6 已知x∈[1,5],|x3+px2+qx+r|≤2,求實數(shù)p,q,r的取值范圍.

        解 在定理2中令ε=3,α=2,可得所求實數(shù)p,q,r的取值范圍分別是{-9},{24},{-18}.

        題7 若x∈[-1,1],|x4+ax3+bx2+cx+d|≤18(a,b,c,d是常數(shù)),則a,b,c,d的取值范圍分別是.

        解 分別令x=-1,1,-22,22,0,可得

        -a+b-c+d≤-78,a+b+c+d≤-78,a-2b+2c-22d≤322,-a-2b-2c-22d≤322,d≤18.

        所以18≥d=-12(-a+b-c+d)-12(a+b+c+d)-122(a-2b+2c-22d)-122(-a-2b-2c-22d)≥-12·-78-12·-78-122·322-122·322=18.

        因而以上不等式組中的“≥”全取等號,進而可求得a=0,b=-1,c=0,d=18.

        當a=0,b=-1,c=0,d=18時,可證得x∈[-1,1],x4+ax3+bx2+cx+d≤18,即證x∈[-1,1],x4-x2+18≤18.設x2=t,即證t∈[0,1],t2-t+18≤18,而這容易獲證.

        綜上所述,可得所求答案是{0},{-1},{0},18.

        猜想 若恒等式cosnθ=ancosnθ+an-1cosn-1θ+…a1cosθ+a0(an,an-1,…,a1,a0是與θ無關的常數(shù),由文獻[1]的定理可得an-1=an-3=an-5=…=0,

        an-2=-n·2n-3,an-4=n(n-3)·2n-6),則x∈[-1,1],|xn+pn-1xn-1+…+p1x+p0|≤12n-1(pn-1,…,p1,p0是常數(shù))的充要條件是pn-1=an-12n-1,…,p1=a12n-1,p0=a02n-1.

        注 易知當n=1時猜想成立,由推論1、題5、題7的結論可知當n=2,3,4時猜想均成立(證明時所賦的值是區(qū)間端點值及所得多項式的極值點);同定理2的證明還可把猜想的結論予以推廣;由本文的結論還可編擬出一些難度較大的題目.

        參考文獻

        [1] 甘志國.談談這道“合情推理”高考題[J].中學數(shù)學(高中),2011(8):46-48.

        作者簡介 甘志國(1971—),正高級教師、特級教師、湖北名師.對高考數(shù)學題及重點大學強基計劃??迹〝?shù)學)兩方面研究較多較深:發(fā)表了多篇文章,出版了多冊著作,針對教師培訓作了多場講座.

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