廣州市第九十七中學(xué)510260徐進(jìn)勇

【摘 要】好的數(shù)學(xué)應(yīng)用素材能體現(xiàn)歷史、情境、人文、思想與現(xiàn)實(shí)，能有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)應(yīng)用素材開發(fā)的多條路徑，以求創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用素材，實(shí)現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)與生動(dòng)現(xiàn)實(shí)間的溝通，突破數(shù)學(xué)因高度抽象概括產(chǎn)生的理解障礙，為改善數(shù)學(xué)的教與學(xué)提供極大可能.

【關(guān)鍵詞】 應(yīng)用素材;路徑;案例

中國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》匯集了246個(gè)數(shù)學(xué)問題及其解法，問題解決過程帶動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與理解;《數(shù)術(shù)九章》作者秦九韶，主張“數(shù)術(shù)之傳，以實(shí)為本”，就是在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用.1993年4月北京師范大學(xué)召開“在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中貫徹應(yīng)用性原則的研討會(huì)”，嚴(yán)士鍵、張奠宙兩位教授率先提出要在高考試題中增加數(shù)學(xué)應(yīng)用內(nèi)容.2003年，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》將“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”作為課程的十大理念之一.2018年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下稱為《新課標(biāo)》）提出教育要“立德樹人”，并把數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為課程內(nèi)容的四條主線之一.教育部考試中心命題專家總結(jié)說：“新的高考數(shù)學(xué)試題注重考查數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)，試卷設(shè)置的情境真實(shí)、貼近生活，同時(shí)具有深厚的文化底蘊(yùn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)原理和方法在解決問題中的價(jià)值和作用.”

數(shù)學(xué)應(yīng)用包括兩個(gè)方面：一是在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，即運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決新的數(shù)學(xué)問題，這類問題多歸結(jié)為“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的邏輯化”;二是在數(shù)學(xué)外部的應(yīng)用，即運(yùn)用數(shù)學(xué)理論解決有關(guān)實(shí)際問題，可分為把含有實(shí)際背景和非數(shù)學(xué)學(xué)科背景的問題變成數(shù)學(xué)問題即建立數(shù)學(xué)模型，這類問題可歸結(jié)為“現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化”;另一方面是怎樣把數(shù)學(xué)理論廣泛地應(yīng)用于各種具體情境，這類問題可歸結(jié)為“數(shù)學(xué)理論應(yīng)用化”.分類如下：

數(shù)學(xué)應(yīng)用內(nèi)部應(yīng)用：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)邏輯化外部應(yīng)用現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)理論應(yīng)用化

數(shù)學(xué)應(yīng)用的研究包含：激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī);從知識(shí)的情境性、邏輯性、文化性、綜合性開展數(shù)學(xué)應(yīng)用;在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用思想，開展數(shù)學(xué)建模教學(xué);增加數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)，進(jìn)行有效的知識(shí)應(yīng)用拓展等，這其中體現(xiàn)歷史、情境、人文、思想、現(xiàn)實(shí).數(shù)學(xué)應(yīng)用素材的開發(fā)就是創(chuàng)設(shè)具有上述特征的教學(xué)材料，為教學(xué)服務(wù).教學(xué)中，學(xué)習(xí)他人經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，自己也創(chuàng)設(shè)了很多有意義的應(yīng)用素材，總結(jié)了素材開發(fā)的8條路徑，實(shí)現(xiàn)了抽象的數(shù)學(xué)與生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)間的溝通，突破數(shù)學(xué)因高度抽象概括產(chǎn)生的“難以意會(huì)、無法言傳”的障礙，為改善數(shù)學(xué)的教與學(xué)提供極大可能.

1 創(chuàng)設(shè)邏輯建構(gòu)素材

數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯縝密，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展相互聯(lián)系，前后一致.教師備課的主要任務(wù)是要站在系統(tǒng)的高度為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的思維鏈，并提供恰當(dāng)材料，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷感知、抽象、概括它們的共同本質(zhì)屬性的過程.

案例 在學(xué)習(xí)“零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪”時(shí)，學(xué)生已有知識(shí)：an表示n個(gè)a相乘的積，am÷an=am-n（a≠0，m，n∈Z*，m>n）.之所以規(guī)定m>n，是因?yàn)?個(gè)a相乘、-1個(gè)a相乘是沒有意義的.隨著數(shù)集學(xué)習(xí)范圍的擴(kuò)大，如何突破認(rèn)識(shí)負(fù)指數(shù)冪含義這道“坎”呢？

首先確定當(dāng)m≤n時(shí)，am÷an是有意義的，如23÷23=1，23÷24=12.那么它又為何可以寫成20和2-1呢？20和2-1又有何含義呢？

為此，石志群老師創(chuàng)設(shè)素材：有1個(gè)細(xì)胞分裂1次變成2個(gè)，分裂2次變?yōu)?2個(gè)，分裂3次變?yōu)?3個(gè)，分裂4次變?yōu)?4個(gè)，…….當(dāng)這個(gè)細(xì)胞沒有分裂（即分裂次數(shù)為0）時(shí)，細(xì)胞個(gè)數(shù)是多少？

生：20=1.

師：可見，20還是有道理的！于是我們可以規(guī)定a0=1，從而同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則在m=n時(shí)就可以成立了.

追問：請(qǐng)學(xué)生在數(shù)軸上依次標(biāo)出20，21，22，23，24，…所表示的點(diǎn)，并研究這些點(diǎn)有何關(guān)系？

生：它們與原點(diǎn)的距離分別是1，2，4，8，16，…，后一段距離是前一段距離的2倍.

師：反向觀之，有何發(fā)現(xiàn)？（如圖1）

生：指數(shù)每減少1，冪所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為原點(diǎn)與前一個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn).

師：按這個(gè)趨勢(shì)，因?yàn)?0=1，如果2-1有意義的話，那么它所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)該在哪里？對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是哪個(gè)？

生：2-1=12.

師：你能理解2-2=？ 2-n=？

通過構(gòu)建這樣的素材，在學(xué)生已有知識(shí)“正整數(shù)指數(shù)冪”的基礎(chǔ)上，抓住對(duì)于2n當(dāng)指數(shù)增加1時(shí)（正向變化），冪變?yōu)樵瓉淼?倍，并借以數(shù)軸直觀，提出逆向思考與觀察：指數(shù)減少1時(shí)（負(fù)向變化），冪所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與前一個(gè)點(diǎn)有何聯(lián)系，從而產(chǎn)生新結(jié)果，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上質(zhì)的飛躍，拓展了乘方運(yùn)算的意義.正如石志群老師所說：數(shù)學(xué)的“規(guī)定”不是那么隨意的，它需要有數(shù)學(xué)賦于的權(quán)利，也要有現(xiàn)實(shí)的合理性，還要符合數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧一致[1].

事實(shí)上，教材內(nèi)容的編排是很重視知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)的.如選修23回歸分析的基本思想是在明確了如何研究線性回歸的基礎(chǔ)上，將非線性回歸方程問題通過換元轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，形成“作散點(diǎn)圖→選?！鷵Q元確定線性方程→得到曲線回歸方程→利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)”的回歸分析思路.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是類比反證法原理：將“在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立.”類比為“在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率.”揭示了確定性關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別，打通知識(shí)間的聯(lián)系.這些教學(xué)內(nèi)容的安排順?biāo)浦郏岔樌沓烧?，突出了知識(shí)間的內(nèi)部聯(lián)系與結(jié)構(gòu)打通，為我們的教學(xué)提供研究“套路”的示范.

2 創(chuàng)設(shè)數(shù)形結(jié)合素材

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，“數(shù)”讓“形”更精確，“形”讓“數(shù)”更直觀，二者“比翼雙飛”，共同促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展.

直觀想象素養(yǎng)就是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.

案例 在學(xué)習(xí)數(shù)列一章中，常會(huì)遇到12+22+32+…+n2=？教材只是給出公式，并沒有推導(dǎo)與證明，在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上，如何推導(dǎo)這個(gè)公式呢？

創(chuàng)設(shè)素材 高斯根據(jù)“三角形數(shù)”（如圖2）解決了1+2+3+…+n=n（n+1）2，你知道他是怎么

計(jì)算的嗎？同樣，畢達(dá)哥拉斯從“正方形數(shù)”中也得到了一個(gè)結(jié)論（如圖3），你能寫出這個(gè)結(jié)論嗎？

學(xué)生可以寫出結(jié)論：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

師：如果我們把三角形數(shù)中的點(diǎn)擴(kuò)大到一個(gè)小圓圈，再在每個(gè)小圓圈按規(guī)律填上數(shù)字：第1行填1，第2行都填2，…，第n行都填n（如圖4（a）），這個(gè)三角形所有小圓圈的數(shù)字和怎樣表示？

生：1+2×2+3×3+…+n×n=12+22+32+…+n2.

師：將這個(gè)三角形按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到第二個(gè)三角形（如圖4（b））;再將這第二個(gè)三角形按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到第三個(gè)三角形（如圖4（c）），將這三個(gè)三角形對(duì)應(yīng)位置的小圓圈里的數(shù)相加，得到第四個(gè)三角形（如圖4（d）），則第四個(gè)三角形中所有數(shù)字之和是多少呢？

生：算出第4個(gè)三角形各小圓圈數(shù)字和為（1+2+3+…+n）（2n+1）=12n（n+1）（2n+1），結(jié)合上面結(jié)論，可得：12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）.

素材的創(chuàng)建，使學(xué)生正確認(rèn)識(shí)課本“傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在海灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)”的含義，揭示科學(xué)家們?cè)谘芯繒r(shí)，不是簡(jiǎn)單地?cái)?shù)一下就完事，而是把小石子擺成某些形狀來研究，這在數(shù)學(xué)史上稱為“數(shù)形理論”.材料也是對(duì)“數(shù)形理論”的創(chuàng)新與拓展，彰顯數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，拓寬學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，饒有興趣中解決了公式的推導(dǎo)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀與數(shù)學(xué)計(jì)算能力.

3 創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)引素材

《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在學(xué)生與情境、問題的有效互動(dòng)中得到提升的”.如何幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看，用數(shù)學(xué)的思維想，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說”，離不開數(shù)學(xué)情境的默化和增潤(rùn).

案例 在講兩角和差的正切函數(shù)公式時(shí)，結(jié)合廣州市學(xué)生可以創(chuàng)設(shè)如下情境素材.

廣州塔身是由兩個(gè)向上旋轉(zhuǎn)的橢圓形鋼外殼變化生成，兩個(gè)橢圓扭轉(zhuǎn)在腰部收縮變細(xì)，俗稱“小蠻腰”，是中國(guó)第一高電視塔.周日學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組到戶外測(cè)量廣州塔高度，如圖5，他們實(shí)地測(cè)量在A處到塔尖C處仰角為15°，步行1200米到達(dá)B地，又測(cè)得塔尖C處仰角為30°，據(jù)此，你能測(cè)算出電視塔高度嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考：可先設(shè)塔的高度為h，列等式：htan15°-htan30°=1200.如能求出tan15°的值，就能計(jì)算出塔的高度了.

教師提出問題：如何求tan15°？

從而引發(fā)學(xué)生尋求已有知識(shí)tan60°，tan45°，tan30°及兩角和差的正余弦公式，利用三角函數(shù)間結(jié)構(gòu)聯(lián)系推導(dǎo)出tan（α±β）公式.圖6

公式推導(dǎo)后可提供2010年全國(guó)高考江蘇卷17題作為變式訓(xùn)練：某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖6，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）該小組已測(cè)得一組α，β的值，算出了tanα=1.24，tanβ=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值.

（2）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精確度.若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，α-β最大？

情境材料引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從知識(shí)結(jié)構(gòu)聯(lián)系中分析問題、解決問題，變式材料提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力（可用基本不等式或方程根的判別式等）.教學(xué)過程通過“情境化”“去情境化”“再情境化”形成了研究一般性概念、公式的基本“套路”.同時(shí)也能讓學(xué)生通過查找有關(guān)“小蠻腰”資料感受兩個(gè)橢圓是如何扭轉(zhuǎn)在腰部收縮變細(xì)的，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值和數(shù)學(xué)藝術(shù)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)欣賞，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué).理想的數(shù)學(xué)情境應(yīng)該包括“境”與“情”兩個(gè)不可分割的部分，講究“以境啟知，由知怡情”[2].情境素材的創(chuàng)設(shè)需要將學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、情緒、體驗(yàn)、美感等方面擺放在應(yīng)有位置.

4 創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)操作素材

數(shù)學(xué)最大的特點(diǎn)是“抽象”.數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)世界，現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系通過抽象進(jìn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部并通過推理得以發(fā)展.

案例 學(xué)習(xí)“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”時(shí)，由于函數(shù)的零點(diǎn)定理敘述的是“存在性”問題，較為抽象，高一學(xué)生剛接觸，理解困難，可安排如下操作：

學(xué)生準(zhǔn)備一支筆芯和一條細(xì)線，放在桌面上，保持筆芯固定不動(dòng)，并當(dāng)成x軸，細(xì)線當(dāng)成函數(shù)圖象，活動(dòng)細(xì)線的兩個(gè)端點(diǎn)A，B，觀察細(xì)線與筆芯的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).并思考以下問題：

問題1 如果A，B在筆芯的兩端，則細(xì)線與筆芯所在的直線有幾個(gè)交點(diǎn)？交點(diǎn)會(huì)在何處？

待學(xué)生獨(dú)立思考有結(jié)論時(shí)，提出下面問題：

（1）如圖7（a），算不算一種情況？（復(fù)習(xí)函數(shù)概念）;（2）如圖7（b），算不算一種情況？

問題2 如果A，B在筆芯的同側(cè)，則細(xì)線與筆芯所在的直線有幾個(gè)交點(diǎn)？

問題3 什么條件下，細(xì)線和筆芯所在直線一定有交點(diǎn)？

問題4 如果細(xì)線斷了，還能保證一定有交點(diǎn)嗎？

《易經(jīng)》中說：“形而上者謂之道，形而下者謂之器.”史寧中教授說：“形是一種抽象的存在.”素材的創(chuàng)設(shè)從“器”入手，讓學(xué)生感悟“形”的存在，進(jìn)而抽象一般規(guī)律.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具，可以改變學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)形態(tài)，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

5 創(chuàng)設(shè)技術(shù)支持素材

現(xiàn)代技術(shù)應(yīng)用于教學(xué)能促使數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程與結(jié)果的教育得到更好的結(jié)合，使數(shù)學(xué)興趣、情感與數(shù)學(xué)的理性思維教育得到有機(jī)的融合.《新課標(biāo)》要求“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性.”信息技術(shù)能發(fā)揮人工操作無法達(dá)到的效果.

案例 多種版本的教材在圓錐曲線一章中都有讓學(xué)生折紙的實(shí)驗(yàn)來體會(huì)拋物線、橢圓、雙曲線定義.（1）如圖8（a）將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD的一只角斜折，使D點(diǎn)總是落在對(duì)邊AB上，然后展開紙片，就得到一條折痕L（為了看清楚，可把直線L畫出來）.這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？為什么？（2）將長(zhǎng)方形紙片改為圓形紙片，如圖8（b），在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)F，將紙片折起，使圓周過點(diǎn)F，然后將紙片展開，就得到一條折痕L，這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？（3）如果在圓外任取一定點(diǎn)F，如圖8（c），同樣操作觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成了什么曲線？

在實(shí)際操作中學(xué)生很難畫出這些折痕，也就無法“勾勒”出三條曲線.但如果我們借助通過幾何畫板，就很容易得到無數(shù)條折痕圍成輪廓所形成的圖形，而且圖形形成過程所保留的痕跡也容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，進(jìn)而形成對(duì)定義的理解（如圖9）.

現(xiàn)代信息技術(shù)是人類頭腦的延伸，除了計(jì)算、作圖、統(tǒng)計(jì)、證明，還可以模擬實(shí)驗(yàn)，拓展想象，促進(jìn)理解.信息技術(shù)的運(yùn)用，無疑增大了課堂的容量，使很多探究性教學(xué)成為可能，使學(xué)生從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)、局部和整體、圖形和數(shù)值、具體和抽象、理論和應(yīng)用的各個(gè)側(cè)面去研究和探索數(shù)學(xué)中的各種問題.充分開發(fā)信息技術(shù)“抽象問題具體化”“隱性問題顯性化”“靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化”功能，可以讓學(xué)生真實(shí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索過程，真切體驗(yàn)到數(shù)變化對(duì)形變化的影響以及形變化帶來的規(guī)律揭示，能較好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺和洞察力，開拓和發(fā)展學(xué)生的想象力與創(chuàng)造力.6 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化素材

化學(xué)家傅鷹指出：“一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)最寶貴的一部分，因?qū)W科學(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻給我們智慧”.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，并存著三種思維活動(dòng)，即數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)、教師的思維活動(dòng)、學(xué)生的思維活動(dòng).教學(xué)中應(yīng)將三種思維過程盡量開放，使它們水乳交融、相應(yīng)成輝，形成一個(gè)和諧互補(bǔ)的有機(jī)整體，從而有效促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.

案例 高中數(shù)學(xué)“基本不等式”一節(jié)，為引出算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)及其關(guān)系，在原有的學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)上可以創(chuàng)設(shè)如下問題素材：中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明.最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽.趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股弦方圖”（后稱趙爽弦圖，如圖10），用形數(shù)結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明.

問題1 你了解趙爽對(duì)勾股定理的“弦圖”證明嗎？

問題2 你能從中找出不等關(guān)系嗎？

問題3 當(dāng)中間小正方形面積逐漸縮小為零時(shí)，說明什么？

以我國(guó)科學(xué)家的偉大發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造性證明為材料創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)素材，激發(fā)了學(xué)生很大興趣，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生變換視角再發(fā)現(xiàn)，完成從等量到不等量及從不等量再到等量的自然轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了等與不等的辯證的統(tǒng)一.素材既能喚起學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)和生活體驗(yàn)，又能自覺發(fā)現(xiàn)新問題，建立起新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，使新知識(shí)學(xué)習(xí)水到渠成.

胡浩老師在“平面”教學(xué)中引用數(shù)學(xué)家傅里葉對(duì)平面定義“平面由經(jīng)過直線上一點(diǎn)且與直線垂直的所有直線構(gòu)成.”（教師用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示如圖11）成功地利用直線的無限延伸來突破學(xué)生對(duì)平面無限延展理解上的難點(diǎn)[3]，是一個(gè)很好的案例.

融歷史于教育，使數(shù)學(xué)史材料不再是冷冰冰的陳列品，數(shù)學(xué)歷史和教育現(xiàn)實(shí)不再是兩個(gè)彼此隔離的世界，數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生和教師的價(jià)值不再是蒼白無力.數(shù)學(xué)史回答了“為何”和“如何”的問題，揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的動(dòng)因，呈現(xiàn)了前人概念理解的困難或概念發(fā)展過程中的認(rèn)識(shí)障礙，溝通了不同數(shù)學(xué)主題之間的聯(lián)系.數(shù)學(xué)史本身就是一種課程資源.

7 創(chuàng)設(shè)學(xué)科融通素材

對(duì)新概念獲得，一般有概念同化和概念形成兩種方法.學(xué)生學(xué)習(xí)新概念時(shí)，用定義的方式向?qū)W生直接揭示，學(xué)生利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的概念與新概念建立起的聯(lián)系，從而理解和掌握新概念的本質(zhì)屬性，這種獲得新概念的方法稱為概念的同化[4].新舊概念的聯(lián)系可以是數(shù)學(xué)內(nèi)部概念的聯(lián)系，也可以是跨學(xué)科概念間的聯(lián)系.

案例 “充要條件”一節(jié)概念較多，邏輯關(guān)系容易混淆，我們可以借助物理中的電路圖來理解.

請(qǐng)同學(xué)們看這兩張電路圖（如圖12）有什么特點(diǎn)？

問題1 如果把“p開關(guān)閉合”作為條件，“q燈亮”作為結(jié)論，條件p對(duì)結(jié)論q有何影響？

圖12（a），p開關(guān)閉合保證了q燈亮，也就是條件p充分保證了結(jié)論q成立，稱p是q的充分條件;圖12（b），要使q燈亮，p開關(guān)必須閉合，條件p是保證結(jié)論q成立的一個(gè)必不可少條件，稱p是q的必要條件.

問題2 如圖13，A開關(guān)閉合是B燈亮的什么條件？試從“充分性”和“必要性”兩個(gè)方面考慮.

通過學(xué)生熟悉的電路圖，為學(xué)生提供“可視性”情境，以形象直觀為手段，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用豐富多樣的視覺表征手段呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，為學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)、產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為創(chuàng)建易于同化的境脈場(chǎng)域，促進(jìn)學(xué)生對(duì)新概念的理解.數(shù)學(xué)中的向量、數(shù)量積概念也可以從物理中的矢量、力的做功同化而來.其他學(xué)科的知識(shí)、方法和手段可以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供資源供給和智力支持，并能豐富和拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)資源和認(rèn)知視野.圖13如中學(xué)對(duì)極限的學(xué)習(xí)，可以借助我國(guó)的詩(shī)詞加以理解：《莊子》中的一段話“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”;數(shù)學(xué)名家徐利治先生在課堂上講極限的時(shí)候，總要引用李白的《送孟浩然之廣陵》詩(shī)：故人西辭黃鶴樓，煙花三月下?lián)P州.孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長(zhǎng)江天際流.“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”一句，讓大家體會(huì)一個(gè)變量趨向于0的動(dòng)態(tài)意境，煞是傳神.在講函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，為說明學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性、周期性的意義，我常吟誦戰(zhàn)國(guó)時(shí)期呂不韋《察今》中“有道之士，貴以近知遠(yuǎn)，以今知古，以益所見，知所不見.故審堂下之陰，而知日月之行、陰陽(yáng)之變;見瓶水之冰，而知天下之寒、魚鱉之藏也;嘗一脟肉，而知一鑊之味、一鼎之調(diào).”

8 創(chuàng)設(shè)應(yīng)用探究素材

《新課標(biāo)》指出數(shù)學(xué)建模過程包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.

案例 等差、等比數(shù)列在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)完數(shù)列知識(shí)后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生作研究性學(xué)習(xí)：貸款問題與我們的生活密切相關(guān)，貸款有單利和復(fù)利之分，還款也有等額本金還款法和等額本息還款法.請(qǐng)同學(xué)調(diào)查一下銀行存款相關(guān)信息并搞清楚兩種還款法有何區(qū)別？具體操作中如何作出選擇？并具體解決：現(xiàn)有某人從銀行購(gòu)房貸款100萬元，貸款期限10年，兩種還款法的利息有何差別？并完成調(diào)查評(píng)估報(bào)告.

開展此次研究性學(xué)習(xí)，學(xué)生可以通過訪談銀行工作人員了解存款、貸款、還款相關(guān)信息，經(jīng)歷較為完整的數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：調(diào)查現(xiàn)實(shí)情況，搜集數(shù)據(jù)信息，提出數(shù)學(xué)問題，抽象數(shù)學(xué)理論，探求內(nèi)在規(guī)律，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，給出合理解釋，完成評(píng)估報(bào)告，使學(xué)生切身感受“做數(shù)學(xué)”的樂趣.可見，要更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，尋找一個(gè)好的數(shù)學(xué)建模問題是關(guān)鍵.徐青華老師撰文《基于線性回歸的行為預(yù)測(cè)研究》，用線性規(guī)劃模型分析教學(xué)樓學(xué)生撤離所需時(shí)間，并根據(jù)建立的模型選擇最佳撤離方案，還引導(dǎo)學(xué)生如何書寫建模論文[5].生活中處處充滿著數(shù)據(jù)，數(shù)學(xué)建模正是通過大量數(shù)據(jù)的匯總處理，把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為模型，并通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡臄?shù)學(xué)方法定量分析、解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)本質(zhì)是模式的建構(gòu)與研究，數(shù)學(xué)模式包括量化模式與思維模式，量化模式是人類關(guān)于客觀世界的認(rèn)識(shí)結(jié)果，思維模式是人類關(guān)于客觀世界的認(rèn)識(shí)過程[6].

新課程的實(shí)施關(guān)注教師和學(xué)生的生命體驗(yàn)，呼喚創(chuàng)新研究型素材的啟示.好的數(shù)學(xué)應(yīng)用素材能啟迪思維，形成技能，感受數(shù)學(xué)思想，體悟理性精神，欣賞數(shù)學(xué)之美，讓學(xué)生覺得學(xué)數(shù)學(xué)有意思、有智慧、有價(jià)值.讓我們一起努力，用智、情、美創(chuàng)建數(shù)學(xué)應(yīng)用素材點(diǎn)亮課堂，為學(xué)生成長(zhǎng)而教！

參考文獻(xiàn)

[1] 石志群.合理設(shè)計(jì)教學(xué)過程 發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（01）：1315.

[2] 李三平，郭夢(mèng)敏.數(shù)學(xué)情境教學(xué)中啟“知”策略探討[J].當(dāng)代教師教育，2016，9（03）：5659.

[3] 胡浩.“平面”教學(xué)設(shè)計(jì)的理性突圍[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（01）：1618.

[4] 孔企平，張維忠，黃榮金.數(shù)學(xué)新課程與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] 徐青華.基于線性回歸的行為預(yù)測(cè)研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（12）：3436.

[6] 徐利治，鄭毓信. 數(shù)學(xué)模式論[M] .南寧： 廣西教育出版社，1993.

作者簡(jiǎn)介 徐進(jìn)勇（1970—），男，江蘇連云港人，正高級(jí)教師，高中數(shù)學(xué)特級(jí)教師;主要研究方向：課堂教學(xué)研究.