沈惠平 聶亞彪 李 菊 楊廷力

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016)

0 引言

實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩平衡是高速機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)必須考慮的問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩完全平衡的一些理論和研究方法[1-7]。

BERKOF等[8]提出了線性獨(dú)立矢量法，并給出了一般平面機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力完全平衡條件的求解步驟；文獻(xiàn)[9]提出了質(zhì)量靜替代法，通過(guò)對(duì)機(jī)構(gòu)各桿件質(zhì)量的重新分配，實(shí)現(xiàn)了一平面四桿機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力完全平衡；BAGCI[10]通過(guò)在機(jī)構(gòu)中附加桿組或子機(jī)構(gòu)的方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)某些特殊機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力平衡；文獻(xiàn)[11-12]提出了質(zhì)量矩替代法，通過(guò)將機(jī)構(gòu)中所有連枝構(gòu)件的質(zhì)量矩均轉(zhuǎn)換為與之相鄰的樹(shù)枝構(gòu)件的質(zhì)量矩，推導(dǎo)了所有樹(shù)枝構(gòu)件擺動(dòng)力平衡條件；BRIOT等[13]提出一種基于機(jī)構(gòu)總質(zhì)心最優(yōu)控制的方法，求解了高速機(jī)械手的擺動(dòng)力平衡問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)不同運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)值模擬，驗(yàn)證了該方法的有效性；OUYANG等[14-15]提出一種通過(guò)調(diào)整機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)使機(jī)構(gòu)總質(zhì)心靜止不動(dòng)的方法，從而實(shí)現(xiàn)其擺動(dòng)力的完全平衡。CHAUDHARY等[16]以機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩為目標(biāo)函數(shù)，基于遺傳進(jìn)化算法(GA)得到了一組最優(yōu)解，并驗(yàn)證了該解的有效性；GENG等[17]在不增加機(jī)構(gòu)整體質(zhì)量的前提下，通過(guò)優(yōu)化機(jī)構(gòu)總質(zhì)心軌跡，使機(jī)構(gòu)達(dá)到了較好的擺動(dòng)力平衡效果。上述擺動(dòng)力完全平衡的方法幾乎都是基于解析法導(dǎo)出機(jī)構(gòu)平衡條件，以適應(yīng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的任意位置。而有限位置法[18-20]的思路是：如機(jī)構(gòu)在有限個(gè)位置(一般為v+f+1，v為獨(dú)立回路數(shù)，f為自由度)上擺動(dòng)力完全平衡，則機(jī)構(gòu)在任意位置上的擺動(dòng)力也一定完全平衡。

本文應(yīng)用有限位置法對(duì)降耦優(yōu)化得到的一種含3個(gè)回路的零耦合度平面高速?zèng)_壓機(jī)構(gòu)進(jìn)行擺動(dòng)力完全平衡設(shè)計(jì)與分析。

1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析及樹(shù)系統(tǒng)劃分

1.1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

圖1為零耦合度(κ=0)平面八桿沖壓機(jī)構(gòu)，是針對(duì)文獻(xiàn)[21]中耦合度κ=1的平面八桿沖壓機(jī)構(gòu)(只能求得數(shù)值型位置正解)，根據(jù)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣雕钤O(shè)計(jì)方法[22-24]進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)得到的。

該高速?zèng)_壓機(jī)構(gòu)主要由驅(qū)動(dòng)構(gòu)件1和3個(gè)平面Ⅱ級(jí)桿組(2、3)、(4、5)、(6、7)組成，其中，機(jī)架為0，移動(dòng)副P1為主沖壓頭，移動(dòng)副P2為輔助推料器，其余7個(gè)關(guān)節(jié)(A～G)均為轉(zhuǎn)動(dòng)副。機(jī)構(gòu)中每一構(gòu)件都存在一條只由轉(zhuǎn)動(dòng)副組成的通路，滿足通路定理[15]，因此，該機(jī)構(gòu)可用配重法實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力完全平衡。

顯然，該機(jī)構(gòu)包含3個(gè)獨(dú)立回路，每個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξLi=3(i=1，2，3)，根據(jù)全周自由度公式[25]可得

因此，機(jī)構(gòu)僅需一個(gè)原動(dòng)件，當(dāng)沖壓機(jī)頭P1向下沖壓時(shí)，輔助推料器P2完成自左向右的沖壓料自動(dòng)推送，從而完成沖壓，保證了操作人員人身安全。

3個(gè)回路A-B-C(P1)、F-E-D、E-G-P2的約束度分別為

因此，上述3個(gè)回路分別構(gòu)成3個(gè)子運(yùn)動(dòng)鏈(SKC)，分別為SKC1、SKC2、SKC3，它們耦合度[25]分別為

因機(jī)構(gòu)耦合度為零，機(jī)構(gòu)具有解析式位置正解。

1.2 樹(shù)系統(tǒng)劃分

因每個(gè)SKC可看作一個(gè)完整的樹(shù)系統(tǒng)，根據(jù)連枝構(gòu)件選取原則，可將每個(gè)SKC的構(gòu)件進(jìn)行劃分。

SKC1: A-B-C(P1)中，選取構(gòu)件3為連枝構(gòu)件，構(gòu)件1、2為樹(shù)枝構(gòu)件。

SKC2: F-E-D中，選取構(gòu)件5為連枝構(gòu)件，構(gòu)件4為樹(shù)枝構(gòu)件。

SKC3: E-G-P2中，選取構(gòu)件7為連枝構(gòu)件，構(gòu)件6為樹(shù)枝構(gòu)件。

由圖1可知，樹(shù)枝構(gòu)件4、6與連枝構(gòu)件5通過(guò)一個(gè)復(fù)合鉸鏈RE連接，因此，樹(shù)枝構(gòu)件6和連枝構(gòu)件7又可看作樹(shù)枝構(gòu)件4的子樹(shù)系統(tǒng)。

2 位置分析與驗(yàn)證

應(yīng)用有限位置法進(jìn)行機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力完全平衡計(jì)算時(shí)，需要對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置分析，故將圖2機(jī)構(gòu)在SolidWorks中建立三維模型。

2.1 參數(shù)設(shè)置

桿件長(zhǎng)度：lAB=l1=40 mm，lBC=l2=113.14 mm，lDE=l3=170 mm，lEF=l4=109 mm，lEG=l5=109 mm。機(jī)架長(zhǎng)度：lm=235 mm，ln=205 mm。

設(shè)平衡前各桿為質(zhì)量均勻分布，即除三副桿2之外，其余各桿質(zhì)心都位于其連桿直線上，即質(zhì)心參數(shù)qi(i=1,3，4，…，7)均為零。

由建立的SolidWorks模型可知，各桿件其他質(zhì)心位置參數(shù)為p1=20 mm，p2=56.83 mm，q2=11.59 mm，p3=0，p4=48 mm，p5=79 mm，p6=48 mm，p7=0。各桿件質(zhì)量為m1=0.001 kg，m2=0.007 kg，m3=0.006 kg，m4=0.003 kg，m5=0.004 kg，m6=0.003 kg，m7=0.006 kg。其他參數(shù)：三副桿2為等腰直角(α=45°)，且lBC=lCD=80 mm，θ3表示構(gòu)件3與機(jī)架的夾角，恒為90°；θ7表示構(gòu)件7與機(jī)架的夾角，恒為0°，未在圖中標(biāo)出。

2.2 位置參數(shù)求解

由圖2可知，點(diǎn)A、B、C、E、G坐標(biāo)為A=(lm，ln)、B=(lm+l1cosθ1，ln+l1sinθ1)、C=(lm，By-l2sinθ2)、E=(Fx+l4cosθ4，F(xiàn)y+l4sinθ4)、G=(2l4cosθ4，0)。

已知θ1為驅(qū)動(dòng)角，易求得構(gòu)件2、4、5、6的角位置θ2、θ4、θ5、θ6分別為

其中

利用Matlab編程計(jì)算和ADAMS仿真計(jì)算，驗(yàn)證了上述位置求解公式的正確性，為求解各樹(shù)枝構(gòu)件的配重參數(shù)奠定了基礎(chǔ)。

3 擺動(dòng)力完全平衡求解

3.1 有限位置法的基本原理及求解步驟

對(duì)于基本回路數(shù)為v、自由度為f的平面機(jī)構(gòu)，為實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力完全平衡，需對(duì)該機(jī)構(gòu)中(v+f)個(gè)樹(shù)枝構(gòu)件添加配重；機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力完全平衡時(shí)，機(jī)構(gòu)在任意位置上總質(zhì)量矩為同一常量，故任取機(jī)構(gòu)(v+f+1)個(gè)位置上總質(zhì)量矩，便可建立(v+f)個(gè)線性方程組，則機(jī)構(gòu)中(v+f)個(gè)配重參數(shù)便可求解。

通過(guò)有限個(gè)位置上的質(zhì)量矩導(dǎo)出的平衡參數(shù)，也同樣適用于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的其他任意位置。該方法的特點(diǎn)在于，完成機(jī)構(gòu)位置分析后，取有限個(gè)(v+f+1)位置的數(shù)值結(jié)果建立線性方程組，即可求解得擺動(dòng)力平衡條件。

為便于理解，給出有限位置法的主要求解步驟，如圖3所示。

3.2 各構(gòu)件參數(shù)fi、gi

(1)SKC1: A-B-C(P1)的質(zhì)量矩求解

構(gòu)件1、2、3質(zhì)量矩分別為

(1)

(2)

(3)

由式(1)～(3)相加，可得SKC1質(zhì)量矩為

(4)

式中M1——SKC1總質(zhì)量

R1x、R1y——SKC1在x、y方向上的質(zhì)心位置

(2)SKC2:F-E-D的質(zhì)量矩求解

構(gòu)件4、5質(zhì)量矩分別為

(5)

(6)

由式(5)、(6)相加，可得SKC2質(zhì)量矩為

(7)

其中M2=m4+m5Cs2x=0Cs2y=0

式中M2——SKC2總質(zhì)量

R2x、R2y——SKC2在x、y方向上的質(zhì)心位置

(3)SKC3:E-G-P2的質(zhì)量矩求解

構(gòu)件6、7質(zhì)量矩分別為

(8)

(9)

由式(8)、(9)相加，可得SKC3質(zhì)量矩為

(10)

其中M3=m6+m7Cs3x=0Cs3y=0

fi=2l4cosθ4+mipigi=2l4sinθ4+miqi

式中M3——SKC3總質(zhì)量

R3x、R3y——SKC3在x、y方向上的質(zhì)心位置

進(jìn)一步，由式(4)、(7)、(10)，得到整個(gè)機(jī)構(gòu)質(zhì)量矩為

(11)

其中

Cx=∑CsxCy=∑Csy

式中M——機(jī)構(gòu)總質(zhì)量

Rx、Ry——機(jī)構(gòu)總質(zhì)心位置

各個(gè)構(gòu)件的平衡參數(shù)fi、gi(單位:kg·mm)為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

由式(15)可知，構(gòu)件4的f4、g4，除了與本身質(zhì)量參數(shù)有關(guān)，同時(shí)還會(huì)受到構(gòu)件5、6、7的影響，這也表明，在樹(shù)系統(tǒng)劃分中，樹(shù)枝構(gòu)件6和樹(shù)枝構(gòu)件7組成的SKC3，被看作是樹(shù)枝構(gòu)件4的子樹(shù)系統(tǒng)，其子樹(shù)系統(tǒng)質(zhì)量矩會(huì)影響其質(zhì)量矩。

3.3 配重參數(shù)求解

機(jī)構(gòu)動(dòng)力平衡時(shí)，機(jī)構(gòu)在任意位置上總質(zhì)量矩相等，由式(11)可知，該機(jī)構(gòu)總質(zhì)量矩是一個(gè)關(guān)于θi(i=1,2，…,7)的函數(shù)，取機(jī)構(gòu)在5個(gè)不同運(yùn)動(dòng)位置(v+f+1=5)，各構(gòu)件角位置記為θik(i表示構(gòu)件編號(hào)，k表示機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位置編號(hào)，k=0,1，2，3，4)，將θik代入式(11)，可得

(19)

式中MRxk、MRyk——第k個(gè)運(yùn)動(dòng)位置上機(jī)構(gòu)總質(zhì)量矩x、y方向上的分量

若取機(jī)構(gòu)中(v+f)個(gè)合適的構(gòu)件((v+f)指整個(gè)機(jī)構(gòu)中所有樹(shù)枝構(gòu)件的數(shù)目)，并附加以適當(dāng)?shù)呐渲?，使機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力完全平衡，即其總質(zhì)量矩為常量，則由式(19)可知

(20)

將式(19)代入式(20)，可得

(21)

其中 ΔCik=cosθik-cosθi0ΔSik=sinθik-sinθi0

為便于計(jì)算機(jī)編程和求解，將式(21)改寫(xiě)成矩陣形式

(22)

其中

ΔCⅡ、ΔSⅡ的形式類比于ΔCⅠ、ΔSⅠ，下標(biāo)Ⅰ表示樹(shù)枝構(gòu)件的位置參數(shù)，下標(biāo)Ⅱ表示連枝構(gòu)件的位置參數(shù)。

(23)

其中

FⅠ=[f1f2f4f6]T

3.4 數(shù)值求解

任取機(jī)構(gòu)5個(gè)(v+f+1=5)運(yùn)動(dòng)位置，即當(dāng)主動(dòng)輸入角θ1分別為10°、20°、30°、40°、50°時(shí)，可求得各構(gòu)件的角位置變化，并將其代入ΔCⅠ、ΔSⅠ、ΔCⅡ、ΔSⅡ中，可得

將式(12)～(18)及上述求得的ΔCⅠ、ΔSⅠ、ΔCⅡ、ΔSⅡ代入式(23)中，即可求得所有樹(shù)枝構(gòu)件的配重參數(shù)為

(24)

(25)

(26)

(27)

當(dāng)主動(dòng)輸入轉(zhuǎn)角θ1分別為30°、60°、90°、120°、150°時(shí)，得到各樹(shù)枝構(gòu)件的配重參數(shù)，和式(24)～(27)計(jì)算結(jié)果一致，證明了有限位置法的正確性。

4 配重參數(shù)敏感度分析及機(jī)構(gòu)平衡分析

敏感度用來(lái)衡量機(jī)構(gòu)中某個(gè)變量對(duì)最終結(jié)果的影響程度，敏感度越大表示該變量對(duì)最終結(jié)果影響較大；一般選擇敏感度大的變量進(jìn)行優(yōu)化和調(diào)整。

4.1 配重參數(shù)對(duì)總質(zhì)心軌跡的影響

機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力完全平衡的充要條件是：機(jī)構(gòu)總質(zhì)心靜止不動(dòng)，即質(zhì)心軌跡所圍成的面積越小，則表示機(jī)構(gòu)質(zhì)心越穩(wěn)定。

4.2 配重參數(shù)對(duì)總慣性力的影響

機(jī)構(gòu)總慣性力為

(28)

4.3 設(shè)計(jì)變量選取及部分平衡設(shè)計(jì)

由圖8a可知，平衡前后x軸方向的質(zhì)心軌跡波動(dòng)極差(最大值與最小值之間的差距)分別為23.4、13 mm，后者比前者優(yōu)化了44.44%。由圖8b可知，平衡前后y軸方向的質(zhì)心軌跡波動(dòng)極差為42.04、16.91 mm，后者比前者優(yōu)化了59.78%。由圖8c可知，平衡前機(jī)構(gòu)總質(zhì)心軌跡所圍成面積較大，而平衡后的面積卻很小，表明了平衡后機(jī)構(gòu)總質(zhì)心更加穩(wěn)定，特別是在y軸方向上波動(dòng)明顯減小。

由圖9a可知，平衡前后機(jī)構(gòu)總慣性力在x軸方向的極差分別為0.654、0.177 kg·mm，后者比前者波動(dòng)減小72.94%。由圖9b可知，平衡前后機(jī)構(gòu)總慣性力在y軸方向的最大極差分別為0.37、0.35 kg·mm，后者比前者波動(dòng)減小5.40%。由圖9c可知，平衡前后機(jī)構(gòu)總慣性力的最大極差分別為0.426、0.293 kg·mm，后者比前者波動(dòng)減小31.22%。

可見(jiàn)，有限位置法的擺動(dòng)力平衡效果較為有效。

5 結(jié)論

(1)采用有限位置法對(duì)具有兩個(gè)末端執(zhí)行器的零耦度平面高速?zèng)_壓機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)平衡計(jì)算，得到了機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力完全平衡條件，并對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值求解驗(yàn)證。