欒金鳳

【摘要】不定積分的計算是積分學(xué)內(nèi)容常用的基本工具.除了多做題以外，如何方便快捷地提升學(xué)生計算不定積分的能力呢？這是一線教師，教材編寫工作者，以及各類參考書編寫工作者一直思考的問題.為此，本文提出了計算不定積分的結(jié)論1、結(jié)論2、結(jié)論3、結(jié)論4和結(jié)論5.這些結(jié)論不僅通俗易懂，而且方便記憶，并且每個結(jié)論對應(yīng)一個典型的例子.筆者希望本文對學(xué)生解題水平能力的提升和一線教師的教學(xué)工作有所幫助.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);不定積分;被積函數(shù);原函數(shù)

以函數(shù)作為主要研究對象的高等數(shù)學(xué)課程是大部分高等院校的必修基礎(chǔ)課程之一，也是多數(shù)報考理工科專業(yè)的考研學(xué)生必考的學(xué)科.高等數(shù)學(xué)建立在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，首先研究函數(shù)的極限，計算極限的方法，然后應(yīng)用極限先后分別給函數(shù)的連續(xù)性、間斷點、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分和積分下了定義和推導(dǎo)出了它們的性質(zhì)、計算公式和定理.在某區(qū)間上定義的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，不定積分只是積分學(xué)中尋找原函數(shù)的一種常用的主要工具.計算不定積分最簡便快捷的方法是使用計算機的數(shù)學(xué)軟件，如MATLAB數(shù)學(xué)軟件、maple數(shù)學(xué)軟件、mathematic數(shù)學(xué)軟件等，學(xué)生只需懂得數(shù)學(xué)軟件的命令程序，便能很快且準確地計算出被積函數(shù)所對應(yīng)的原函數(shù).然而，從實際情況出發(fā)，一方面學(xué)生往往面臨的是考試，另一方面一線教師往往面臨的是板書（或PPT）教學(xué)，他們只能用手算.另外，學(xué)生只有很好地掌握了不定積分的計算技巧和方法才能計算出原函數(shù)，才能掌握后續(xù)應(yīng)用牛頓—萊布尼茨公式求定積分、二重積分、三重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分的方法.可見，不定積分是積分學(xué)的常用的基本工具.然而，不定積分的被積函數(shù)的表達式多種多樣，課本上通常會介紹第一類換元法，第二類換元法，分部積分法，有理函數(shù)積分法，積分表的使用等.總之，由于被積函數(shù)種類多，計算不定積分的方法不確定，因此，初學(xué)者做不定積分題時往往會出現(xiàn)以下的問題：當看到被積函數(shù)時，不知用什么方法，無從下手;計算不定積分時，起初方法不對，這樣不僅導(dǎo)致運算煩瑣，計算量增大，而且還得不出原函數(shù).解決這些問題，只靠盲目做題顯然是行不通的，目前歸納總結(jié)是最有效的辦法.筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，以結(jié)論的形式提出五個通俗易懂、簡明扼要的求解不定積分題的歸納小結(jié)方法，與同行分享.

結(jié)論1 當被積函數(shù)表達式中含有x，3x等無理式時，通常首先進行變量代換，把無理式變成有理式，然后進行積分運算

例1 計算不定積分∫dx（x+3x）x.

解題分析 被積函數(shù)中不僅含有x，而且含有3x，令x=t3，則3x=t2，此時可以把兩個無理式變成有理式.

解 令x=t6（t>0），則dx=6t5dt.

∫dx（x+3x）x=∫6t5dt（t3+t2）t3

=6∫dtt+1

=6ln（t+1）+C

（由于x=t6，因此把t=6x代入上式）

=6ln（6x+1）+C.

除此之外，如果被積函數(shù)中含有a2-x2，那么可作變量代換x=asin t去掉根號;如果被積函數(shù)中含有x2+a2，那么可作變量代換x=atan t去掉根號;如果被積函數(shù)中含有x2-a2，那么可作變量代換x=asec t去掉根號.這些總結(jié)在多數(shù)高等數(shù)學(xué)課本中出現(xiàn)過，這里就不再贅述.

結(jié)論2 當被積函數(shù)表達式為基本初等函數(shù)乘積時用分部積分法

例2 計算不定積分∫eaxsin bxdx（a≠0）.

解題分析 被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)eax和正弦函數(shù)sin bx的乘積，因此用分部積分法.

解 ∫eaxsin bxdx

=1a∫sin bxdeax

（首先，用一次分部積分法）

=1aeaxsin bx-ba∫eaxcos bxdx

=1aeaxsin bx-ba2∫cos bxdeax

（然后，再用一次分部積分法）

=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx-b2a2∫eaxsin bxdx，

上述等式左、右兩端都出現(xiàn)∫eaxsin bxdx，移項整理，得

∫eaxsin bxdx=asin bx-bcos bxa2+b2eax+C.

除此之外，一些不定積分題的被積函數(shù)需要首先通過變量代換后把被積函數(shù)化簡為基本初等函數(shù)的乘積，然后再用分部積分法，如∫arctan xdx，∫e3x+1dx等.

結(jié)論3 被積函數(shù)為分式結(jié)構(gòu)，分母復(fù)雜，通過變量代換后變得簡單些

例3 計算不定積分∫dxx（x+1）3（x>0）.

解題分析 被積函數(shù)1x（x+1）3的分母x（x+1）3比較復(fù)雜，為此，令x=tan 2t0

解 令x=tan 2t，則dx=2tan tsec2tdt，

∫dxx（x+1）3

=2∫tan tsec2ttan tsec3tdt

=2∫cos tdt

=2sin t+C.

由于x=tan 2t，因此把sin t=x1+x代入上式，得

原式=2x1+x+C.

除此之外，多數(shù)不定積分的被積函數(shù)經(jīng)過化簡分母后，分母同樣會保留，如∫dxex+e-x，∫x2（x+2）3dx等.

結(jié)論4 被積函數(shù)為冪函數(shù)xn（x∈Z+）和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或指數(shù)函數(shù)乘積時，以降低冪函數(shù)次數(shù)的方式采用分部積分法

例4 計算不定積分∫x2exdx.

解題分析 被積函數(shù)是冪函數(shù)x2和指數(shù)函數(shù)ex的乘積，用分部積分法只能采用降低冪函數(shù)次數(shù)的方式.

解 ∫x2exdx=∫x2dex

（首先，用一次分部積分法）

=x2ex-2∫xexdx

（上述被積函數(shù)由x2ex變?yōu)閤ex，冪函數(shù)的次數(shù)降低一次）

=x2ex-2∫xdex

（然后，再用一次分部積分法）

=x2ex-2xex-∫exdx

（上述被積函數(shù)由xex變?yōu)閤0ex，冪函數(shù)的次數(shù)又降低一次）

=ex（x2-2x+2）+C.

除此之外，如∫xnsin xdx，∫xncos xdx等形式的不定積分只能以降低冪函數(shù)次數(shù)的方式采用分部積分法.

結(jié)論5 被積函數(shù)為冪函數(shù)xn（x∈Z+）和對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)乘積時，以增加冪函數(shù)次數(shù)的方式采用分部積分法

例5 計算不定積分∫x2ln xdx.

解題分析 被積函數(shù)是冪函數(shù)x2和對數(shù)函數(shù)ln x的乘積，用分部積分法只能采用增加冪函數(shù)次數(shù)的方式.

解 ∫x2ln xdx=13∫ln xdx3

x2ln xdx=13ln xdx3，冪函數(shù)的次數(shù)升高，應(yīng)用分部積分法

=13x3ln x-13∫x2dx

=13x3ln x-19x3+C.

除此之外，如∫xnarcsin xdx，∫xnarctan xdx等形式的不定積分只能以增加冪函數(shù)次數(shù)的方式采用分部積分法.

數(shù)學(xué)題本身具有靈活性、多樣性的特點，有些題需用綜合上述五個結(jié)論中的若干個才能計算出原函數(shù).這就需要學(xué)生通過做題來靈活體驗.

結(jié)束語

本文建立在高等數(shù)學(xué)教材的基礎(chǔ)上.本文給出了五個結(jié)論及與其相應(yīng)的典型例子，以歸類的形式介紹了解不定積分題的若干容易掌握的方法.學(xué)生在記住基本積分表，掌握兩類換元積分法，分部積分法和有理函數(shù)積分法的基礎(chǔ)上，繼續(xù)掌握本文的五個結(jié)論，并通過勤練，很容易就能達到求解中等難度或者偏難的不定積分題的水平.對于大學(xué)生或者考研的學(xué)生來說，他們掌握了本文就在積分學(xué)中獲得了尋找原函數(shù)的有力工具.學(xué)無止境，本文作者將在以后的工作中繼續(xù)探究求解不定積分的方法.

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]劉海軍.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2019.

[3]宋顯花.幾類三角函數(shù)的不定積分[J].高等數(shù)學(xué)研究，2018（06）：16-19.

[4]徐英杰，范海寧.一類有理函數(shù)不定積分的求解[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2020（10）：6-7.