江蘇省豐縣中學(xué) (221700) 繆葦偉

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一部分內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查內(nèi)容之一. 通過對立體幾何的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理論證能力. 2020年高考數(shù)學(xué)全國共有13份試卷，每份試卷對立體幾何內(nèi)容都進(jìn)行了考查，尤其是二面角的考查較為突出，以學(xué)生所熟知的立體幾何體為載體，考查學(xué)生對二面角定義的理解及其二面角的求法，進(jìn)而考查學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰瓦\(yùn)算求解能力.

本文結(jié)合徐州市2020高三期中一道模擬題，談?wù)剬αⅢw幾何中二面角的備考，進(jìn)而把握好立體幾何的教學(xué)，更好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).

圖1

題目如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD.

(1)求證：平面PAC⊥平面PBD；

(2)若PA=AB=2,∠BAD=60°，求二面角A-PB-D的余弦值.

一、知識再現(xiàn)

1. 二面角的定義

平面內(nèi)一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分叫做半平面，當(dāng)其中一個半平面繞著這條直線旋轉(zhuǎn)時，兩個半平面就形成了“角度”.一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面.

在《必修二》中，二面角的大小是通過二面角的平面角來刻畫的.一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 ，其范圍為[0,π] .

2. 空間向量與二面角

圖2

圖3

圖4

三、備考策略

1. 借助二面角的平面角來求解

把空間角轉(zhuǎn)化為平面角來研究是求解空間角的大小常用方法，在二面角的平面角定義中，由于O點(diǎn)的選取不改變角的大小(等角定理)，因此對于O點(diǎn)的定位是解題的關(guān)鍵所在.一般的，選取O點(diǎn)常用如下兩種方式：

①定義法(以算定位)

圖5

圖6

②三垂線法(先找其中一個半面平的一條垂線，再一作一連)

圖7

2. 借助空間向量來求解

利用空間向量來解決二面角問題，通常有兩種方式：一種是借助公共棱的垂線所在直線的方向向量的夾角來刻畫，另一種是借助半平面的法向量的夾角來刻畫.解決問題的關(guān)鍵是通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算來求解.

③求公共棱的垂線所在直線的方向向量的夾角(基底法)

圖8

④求法向量的夾角(坐標(biāo)法)

圖9

2020年高考立體幾何試題幾乎都能在教材上找到原型，體現(xiàn)了高考命題回歸教材、貼近高中數(shù)學(xué)教學(xué)的改革思路，進(jìn)而以教材為本，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解；同時，2020年高考立體幾何試題中考查的幾何體基本都能直接建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解，凸顯了向量在解決立體幾何問題中的重要作用，引導(dǎo)學(xué)生平時注重對通性通法的訓(xùn)練. 另外，在計算的問題上，要求學(xué)生能在空間和平面之間相互轉(zhuǎn)化，簡化問題，綜合考查學(xué)生的思維水平.