張 驊 (江蘇省蘇州市第一初級(jí)中學(xué)校 215000)

孫其芳 (江蘇省蘇州市景范中學(xué)校 215000)

1 現(xiàn)狀分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提到：在探索物體的位置關(guān)系、圖形的特征、圖形的變換以及設(shè)計(jì)圖案的過(guò)程中，(要求)進(jìn)一步發(fā)展(學(xué)生的)空間觀念．通過(guò)對(duì)近幾年中考題型的分析也可以發(fā)現(xiàn)，圖形變換在幾何題目中的占比越來(lái)越高．初中數(shù)學(xué)主要的圖形變換有三類：平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)，而圖形的旋轉(zhuǎn)變換是三者中相對(duì)比較復(fù)雜和難以掌握的．初中階段的學(xué)生囿于空間想象力的不足，往往缺乏對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換的整體性理解．大部分學(xué)生還局限于靠識(shí)記和簡(jiǎn)單套用性質(zhì)定理和個(gè)別固定模型去解決問(wèn)題，這與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求是背道而馳的．而且在課堂教學(xué)中教師還僅僅靠黑板、PPT等靜態(tài)演示來(lái)展示圖形的動(dòng)態(tài)變換，這讓學(xué)生無(wú)法建構(gòu)出正確的空間形象，當(dāng)然以此為手段來(lái)發(fā)展學(xué)生的空間觀念也就無(wú)從談起了．

圖1

比如以下這個(gè)例子：如圖1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ABC=60°，E,F分別為BC,BD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且DF=CE，則AE+AF的最小值為．

這是去年8年級(jí)下學(xué)期期末測(cè)試?yán)锏囊坏捞羁諌狠S題，結(jié)果是全軍盡墨，學(xué)生測(cè)試后大多反饋說(shuō)無(wú)從下手，部分成績(jī)較好的學(xué)生認(rèn)為是將軍飲馬問(wèn)題，但又困惑于點(diǎn)E和點(diǎn)F是有關(guān)聯(lián)的雙動(dòng)點(diǎn)，不知該如何處理．問(wèn)題出在哪里？為了了解學(xué)生對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)的掌握程度，筆者設(shè)計(jì)了一些習(xí)題，分別給兩組學(xué)業(yè)水平相近的學(xué)生進(jìn)行測(cè)試．

圖2

題1如圖2，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°，得到△AB1C1．若點(diǎn)B1在線段BC的延長(zhǎng)線上，則∠B的大小是多少度？

題2如圖2，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°，得到△AB1C1．若點(diǎn)B1在線段BC的延長(zhǎng)線上，則∠BB1C1的大小是多少度？

設(shè)計(jì)意圖兩題條件完全一樣，△AB1C1由△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°得到，題1中旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段夾角都應(yīng)該等于旋轉(zhuǎn)角度100°，即∠BAB1=100°，再利用等腰三角形的性質(zhì)就不難得到結(jié)果為40°，從測(cè)試的結(jié)果來(lái)看本題的得分率接近0.90．而題2改為求∠BB1C1的大小，得分率約為0.72，并且通過(guò)答題后詢問(wèn)答對(duì)的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)都是先求出∠BAB1=100°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠BB1A= 40°，接著利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性質(zhì)得到∠C1B1A=∠BB1A=40°，最后通過(guò)相加得到結(jié)果為80°．可是如果學(xué)生對(duì)于圖形旋轉(zhuǎn)能有一個(gè)整體性的感受，就會(huì)發(fā)現(xiàn)線段B1C1是由線段BC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)100°得到，所以∠BB1C1的鄰補(bǔ)角等于100°，馬上可得∠BB1C1=80°．

通過(guò)對(duì)比以上兩個(gè)題目不難發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)圖形中以旋轉(zhuǎn)中心為一端的對(duì)應(yīng)線段夾角等于旋轉(zhuǎn)角比較容易發(fā)現(xiàn)，而遠(yuǎn)離旋轉(zhuǎn)中心的對(duì)應(yīng)線段所在直線夾角等于旋轉(zhuǎn)角這一知識(shí)點(diǎn)往往成了學(xué)生的認(rèn)知盲點(diǎn)．筆者又設(shè)計(jì)了以下這個(gè)問(wèn)題：

圖3

題3如圖3，正方形OABC置于坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-4,4)，點(diǎn)D是邊OA上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)D為邊在第一象限內(nèi)作正方形ODEF．問(wèn)CD與AF有怎樣的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖本題條件中雖然沒(méi)有直接旋轉(zhuǎn)的信息，但如果細(xì)心觀察就可以發(fā)現(xiàn)△AFO是△CDO以點(diǎn)O為中心、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，這樣就可以得到兩條對(duì)應(yīng)線段CD和AF夾角也應(yīng)該是90°．而學(xué)生還是通過(guò)采用延長(zhǎng)線段CD，利用三角形內(nèi)角和計(jì)算的方法得出答案．

2 對(duì)策研究

通過(guò)上面的兩個(gè)例題可以發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)膱D形的旋轉(zhuǎn)變換訓(xùn)練對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和空間想象力是非常重要的．要想培養(yǎng)幾何直觀想象力，光靠傳統(tǒng)的淺層訓(xùn)練只能是紙上談兵，教師還需要幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在做中學(xué)，領(lǐng)悟蘊(yùn)含其中的基本數(shù)學(xué)思想．下面就來(lái)介紹一下筆者借助幾何畫板針對(duì)此類題型所開(kāi)展的一系列教學(xué)活動(dòng)．

圖4

題4如圖4，在網(wǎng)格圖內(nèi)有一條線段AB及線段外一點(diǎn)O，試過(guò)點(diǎn)O作線段AB的垂線．

畫板操作具體步驟如下：

第一步：過(guò)點(diǎn)A,B作格點(diǎn)上的線段，構(gòu)造直角三角形△ABC；

第二步：使用旋轉(zhuǎn)功能，將△ABC繞著任一點(diǎn)(比如點(diǎn)C)旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C；

第三步：把A′B′按照向量B′O平移到點(diǎn)O，得到線段OP．

完成后再提問(wèn)：

(1)圖中的兩個(gè)三角形中哪些線段是相等的？為什么？

生1：AC=A′C，BC=B′C，AB=A′B′．因?yàn)樾D(zhuǎn)前后的圖形是全等的．嗯，OP也等于AB，因?yàn)槠揭撇桓淖兙€段長(zhǎng)度．

(2)這些對(duì)應(yīng)線段的位置關(guān)系是什么？

生2：對(duì)應(yīng)線段都是垂直的．

(3)產(chǎn)生的原因是什么？

生3：旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段相等，旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段所夾角等于旋轉(zhuǎn)角．

(4)OP和AB的位置關(guān)系是什么？

生4：應(yīng)該也是垂直關(guān)系，可以通過(guò)平移的傳遞性證明．

設(shè)計(jì)意圖筆者通過(guò)這幾個(gè)問(wèn)題試圖讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)變換前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，借助網(wǎng)格圖可以讓學(xué)生更直觀地發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)線段的相關(guān)關(guān)系，在解決問(wèn)題的同時(shí)讓學(xué)生感受到利用幾何畫板研究幾何的價(jià)值和樂(lè)趣．

題5指導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形△AB′C′．

畫板操作具體步驟如下(已知△ABC)：

第一步：以旋轉(zhuǎn)中心(點(diǎn)A)為圓心，以點(diǎn)B,C到圓心的距離為半徑各畫一個(gè)圓；

第二步：在大圓上取一點(diǎn)C′，以點(diǎn)C′為圓心、BC長(zhǎng)為半徑作圓，與小圓有交點(diǎn)，其中之一為點(diǎn)B′；

第三步：連結(jié)AB′,AC′,B′C′，就得到了與△ABC成旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的△AB′C′．

完成作圖后，還是給學(xué)生留幾個(gè)問(wèn)題去思考：

(1)請(qǐng)使用度量長(zhǎng)度的功能觀察兩個(gè)三角形有哪些線段是始終相等的？

生1：AC=AC′，BC=B′C′，AB=AB′．

圖5

(2)請(qǐng)使用度量角度的功能觀察兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角大小是什么關(guān)系？

生2：對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角都相等．

(3)產(chǎn)生的原因是什么？你還能得到哪些結(jié)論？

生3：旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段相等，旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．

(4)試著拖動(dòng)點(diǎn)C′看看會(huì)有什么變化？以上的結(jié)論是否成立？

生4：會(huì)發(fā)現(xiàn)△AB′C′在繞著點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)；但不管如何變化，以上結(jié)論始終成立．

(5)旋轉(zhuǎn)角度為90°，60°時(shí)你又會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生5：會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)線段組成的三角形是直角三角形或等邊三角形．

設(shè)計(jì)意圖幾何畫板本身具有旋轉(zhuǎn)菜單，可以直接做出三角形旋轉(zhuǎn)的效果，但借助幾何畫板采取畫圓的方式作圖，主要的目的是：(1)加強(qiáng)旋轉(zhuǎn)和圓的聯(lián)系，為學(xué)生之后圓的學(xué)習(xí)增加興趣、埋下伏筆；(2)培養(yǎng)學(xué)生用尺規(guī)作圖的眼光來(lái)繪制圖形，用數(shù)學(xué)的原理(全等判定中的邊邊邊原理)反思和理解繪圖的相關(guān)做法；(3)點(diǎn)C′是圓上的自由點(diǎn)，學(xué)生選擇這個(gè)點(diǎn)任意拖動(dòng)的同時(shí)，整個(gè)圖形也隨之任意地繞著選擇的中心旋轉(zhuǎn)，學(xué)生就可以利用這一性質(zhì)通過(guò)隨意調(diào)整旋轉(zhuǎn)角度，去發(fā)現(xiàn)不同的旋轉(zhuǎn)角度會(huì)帶來(lái)哪些不同的性質(zhì)；也便于從中總結(jié)出一些不因旋轉(zhuǎn)而改變的規(guī)律．

3 實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用

筆者發(fā)現(xiàn)通過(guò)以上幾題的訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)于圖形旋轉(zhuǎn)變換的理解已經(jīng)有了一定的提高，接下來(lái)就可以入手幾個(gè)更有深度的幾何最值問(wèn)題．比如將軍飲馬問(wèn)題，這一直是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，其主要的解決方案是結(jié)合軸對(duì)稱圖形性質(zhì)和“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)求出兩條線段和的最小值．它的特點(diǎn)是兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上提高難度就會(huì)出現(xiàn)一些雙動(dòng)點(diǎn)的將軍飲馬問(wèn)題，例如下面幾題需要利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)換．

題6如圖6，已知在正三角形△ABC中，AB=2，CD為AB邊上的高，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，且滿足CF=CE，求AE+AF的最小值．

圖6 圖7

題7如圖8，已知在正方形ABCD中，AB=1，點(diǎn)E,F分別在邊AC,AD上，且滿足DF=AE，連結(jié)BE,BF，求BE+BF的最小值．

圖8 圖9

圖10

最后回到本文開(kāi)篇的問(wèn)題，由于之前的鋪墊，很多學(xué)生已經(jīng)有了足夠的信心來(lái)解決這個(gè)難題了．這里主要還是通過(guò)圖形的變換來(lái)解題，介紹兩種方法．第一種方法：如圖10(這是學(xué)生在用幾何畫板畫題圖時(shí)發(fā)現(xiàn)的)，因?yàn)橐骶€段DF=CE，根據(jù)尺規(guī)作圖的原理作半徑為EC的⊙D，觀察易得DG=CE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)不難得到AG=AE，這樣本題就可以劃歸為題4的解法了.第二種方法：如 圖11、圖12，把△AFD沿向量DC平移，得到△BF′C，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為CE=CF′，求AE+BF的最小值．再把△B′C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△B″EC，最后還是通過(guò)將軍飲馬模型得到結(jié)果．

圖11 圖12

4 研究反思

幾何畫板是一種非常適合教師日常進(jìn)行解題、命題和備課的工具，而在課堂教學(xué)中經(jīng)常使用它也往往會(huì)引發(fā)學(xué)生的濃厚興趣.在初次經(jīng)歷幾何畫板在幾何學(xué)習(xí)中的方便、強(qiáng)大和趣味性后，會(huì)有很多學(xué)生想要接觸使用這個(gè)軟件，筆者就順?biāo)浦鄣貙⑺扑]給學(xué)生，教會(huì)這些學(xué)生一些基本操作后，結(jié)果學(xué)生們回饋了很多奇思妙想，這也讓筆者不禁反思該如何更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)．因而當(dāng)筆者看到一個(gè)能充分利用圖形變換的難題時(shí)，就認(rèn)為這是一個(gè)激發(fā)學(xué)生興趣、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索能力的機(jī)會(huì).如果僅僅將這道題目的解法簡(jiǎn)單地灌輸給學(xué)生，那學(xué)生的思維只能停留在淺層，達(dá)不到深層思考的目的．通過(guò)本題的相關(guān)教學(xué)活動(dòng)，筆者對(duì)于使用幾何畫板輔助教學(xué)有了一些思考，供大家指正：

(1)幾何畫板的強(qiáng)項(xiàng)是動(dòng)態(tài)展示，這一點(diǎn)正好貼合了新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)圖形變換的重視，所以在畫圖時(shí)要盡量展現(xiàn)出這一點(diǎn)．

(2)作圖時(shí)盡量使用尺規(guī)作圖的技巧，適當(dāng)減少使用變換菜單，這樣可以讓學(xué)生找到圖形變換的基本規(guī)律．在上文中，旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)并不是在整個(gè)平面內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，而是在一個(gè)確定的圓周上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)整個(gè)旋轉(zhuǎn)圖形在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)各個(gè)點(diǎn)、各條線也有其關(guān)聯(lián)性，而且是始終保持不變的．

(3)及時(shí)歸類翻新，對(duì)于日常研究的作品應(yīng)認(rèn)真歸類，方便日后時(shí)時(shí)回味，添添線、變變角，不經(jīng)意間可能一個(gè)新的題型思路就被探索發(fā)現(xiàn)了．

總之，幾何畫板作為一款輔助教學(xué)軟件功能強(qiáng)大，適合初中階段的學(xué)生用來(lái)探索幾何問(wèn)題，其中的規(guī)律性和開(kāi)放性可以幫助學(xué)生去猜想、實(shí)驗(yàn)、探索、總結(jié)，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性和想象力．