王瑞琦 (江蘇省太倉市明德高級中學 215400)

1 基本情況分析

1.1 學情分析

本節(jié)課授課對象為太倉市明德高中高二理科普通班學生，學生具有一定的自主探究和合作能力．在日常生活中，學生對橢圓的大致形狀從感性的角度有了一定的認識，但是不清楚橢圓上點滿足的幾何特征．本節(jié)課借助阿波羅尼奧斯壓縮圓、旦德林雙球模型從幾何角度來研究橢圓上的點滿足的幾何特征．盡管學生已經(jīng)學習了立體幾何，但是旦德林雙球模型構造巧妙、數(shù)量關系較多，所以學生不易從該模型中直接觀察到橢圓上點所滿足的幾何特征．

1.2 內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容安排在選擇性必修課“幾何與代數(shù)”這一主題中，立足“圓錐曲線之橢圓定義”，如章引言中提到橢圓的起源，深入挖掘教材中的數(shù)學史材料，滲透數(shù)學文化，尤其是“探究與發(fā)現(xiàn)”中介紹的用旦德林雙球證明橢圓上的點滿足的幾何性質．本節(jié)課從多角度探究橢圓的可操作性定義，目的是使學生對橢圓的定義形成全面的認識．

1.3 教學目標

(1)了解圓錐曲線來由，體驗其中蘊含的數(shù)學文化，重點提升直觀想象等核心素養(yǎng)；(2)經(jīng)歷對旦德林雙球模型的探究以及動手畫橢圓的過程，抽象出橢圓的定義，重點提升邏輯推理和數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)．

教學重點 抽象橢圓的模型，掌握橢圓的定義．

教學難點 用旦德林雙球發(fā)現(xiàn)橢圓的特性，形成橢圓的定義．

1.4 課前準備

沙漏、磁性圓錐曲線截面模型、軟木板、白紙、工字釘、定長細線、直尺等．

2 教學過程

2.1 問題情境，抽象圓錐曲線模型

問題1(請幾位學生上臺操作)旋轉錐形瓶，觀察沙漏中沙子的水平面呈現(xiàn)什么樣的圖形？

(設計預想學生實驗)

情形1 將沙漏放置在水平面上時，沙漏中的沙子呈現(xiàn)出的圖形——圓形；

情形2 將沙漏稍微傾斜一定角度，沙漏中的沙子呈現(xiàn)出的圖形——扁圓；

情形3 將沙漏的傾斜程度變大，沙漏中的沙子又會呈現(xiàn)出什么樣的圖形？

情形4 將沙漏水平放置，沙漏中的沙子呈現(xiàn)的圖形又是怎樣的？

教師引導：對于情形3和情形4兩種情況，形成的曲線很難想象，我們可以從實物模型中抽象出數(shù)學模型，使其進一步優(yōu)化，方便我們研究其結構．我們可以把沙漏看成圓錐，它是通過一條直線繞著某個軸旋轉出來的旋轉體．而旋轉出來的幾何體是圓錐，直線上的點留下的軌跡就形成了圓錐面．(此處用動態(tài)圖來演示)

如果拿一個垂直于圓錐的軸(或者平行于沙漏底面的平面)截圓錐面，我們可以得到一個封閉的圖形——圓．把截面稍微傾斜一點角度，沙漏中的沙子仍然呈現(xiàn)出封閉的圖形——扁圓，即橢圓(“橢”字早在創(chuàng)作于公元前2世紀的中國古代哲學著作《淮南子》中就有記載)．將平面再傾斜，我們發(fā)現(xiàn)將得到不封閉的圖形，很像我們之前學過的一個函數(shù)圖形——拋物線．最后，我們將圖形傾斜，與圓錐曲面的兩邊都相交，最后形成的也是一個不封閉的圖形(得到兩條曲線，同學們給這個曲線起個名字吧)——雙曲線．(暫時命名，課后進一步研究)

師：通過模型展示，平面截圓錐面可以得到這些曲線．那么我們不妨統(tǒng)一起一個名字，同學們試試看？

生1：圓錐曲線．

師：圓錐曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著緊密的關系，開普勒就發(fā)現(xiàn)行星繞著太陽運行的軌跡是一個橢圓；探照燈反射鏡面是拋物線繞著其對稱軸旋轉所成的拋物面；發(fā)電廠冷卻塔的外形是雙曲線．本節(jié)課我就和同學們來研究一下橢圓的定義．

2.2 數(shù)學發(fā)現(xiàn)，提出橢圓的直觀性

師：我們來看看圓的定義：在平面內(nèi)把線段OP繞著端點O旋轉一周，端點P運動所形成的圖形叫作圓，其中點O叫做圓心，線段OP叫做半徑.(蘇科版九年級上冊第38頁)

問題2我們能否給橢圓下一個定義呢？

師：直觀來看，圓與橢圓之間是否存在某種關聯(lián)？

生2：直觀感覺把圓壓扁了就是橢圓．

師：隨便壓就可以得到橢圓？一個圓圈，對上半圓的兩個點給不同的壓力，會變成橢圓嗎？

生(眾)：不會.

生3：對圓的每個點均勻施力．

師：均勻這個詞在數(shù)學上如何體現(xiàn)？

生4：可以用等比例來刻畫．

師：(用幾何畫板演示圓沿縱軸方向等比例壓縮)是否可以把這個性質作為判斷的依據(jù)呢？

生5：應該可以，只要比值不等于1．

師：從嚴謹?shù)慕嵌任覀儜撨M行論證．早在公元前200年，古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯就發(fā)現(xiàn)了橢圓的這一幾何性質，他曾歷經(jīng)千辛萬苦寫出了《圓錐曲線論》，該書是古代世界光輝的科學成果，將圓錐曲線的性質網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地，作者是非常了不起的一位數(shù)學家．

師：所以我們以后畫橢圓，只要把每個點按照比例壓縮就可以畫出橢圓？

生6：太繁了！要找到很多點．

師：我們可以把這位同學說的理解為可操作性差，那么橢圓是否存在操作性強的定義？

2.3 探究與發(fā)現(xiàn)，給出橢圓定義

歷史上，許多人從純幾何角度進行研究，下面我們再來介紹一位著名的德國數(shù)學家旦德林，他在吃冰激凌后突然領悟(圖1)．下面我們看看旦德林是如何研究橢圓的定義的．

圖1

首先介紹旦德林雙球模型，熟悉模型特點．研究對象是：圓錐、大球、小球、截面；它們之間關系是大球、小球均與圓錐面以及截面相切．

問題3球與圓錐的側面相切，切點構成的圖形是什么？切點構成的圖形與圓錐底面有什么位置關系？

生7：切點構成的圖形是圓，與圓錐底面的位置關系是平行．

師：回答得非常到位．

問題4過曲線上任意一點M作圓錐的一條母線，使它與兩個切點圓分別相交于點P，Q，請問PQ的長度會隨著母線的不同而改變嗎？

圖2 圖3

生8：不會．我們可以把大小球與圓錐曲面截得的圖形看成一個圓臺(圖2)，直線PQ正好是圓臺的母線，在立體幾何里我們知道圓臺的母線長相等．

師：回答得很好！我們知道一旦橢圓對應截面確定，那么該截面與大小球的相切的切點隨之確定，記為F1,F2，那么橢圓上任意一點M與F1,F2兩點之間又會存在怎樣的關系(圖3)？

圖4

要回答上述問題，我們先觀察圖4，類比圓的一些性質來先思考下面幾個問題：

問題5當球與平面相切時，在相切平面內(nèi)過切點F任作一直線，它和球會有怎樣的位置關系？(相切)

問題6那么過球外一點M作球的兩條切線，可以作出幾條？切線長是否相等？

生9：可以作無數(shù)條切線，根據(jù)全等三角形，這無數(shù)條切線均相等．

師：根據(jù)以上思考，橢圓上任意一點M與F1,F2兩點之間又會存在怎樣的關系？

圖5

生10：因為MF1=MP,MF2=MQ，且MP+MQ=PQ，PQ為定長，所以MF1+MF2=PQ(圖5)．

師：總結得非常好！那么你可以用文字語言來表述你所得到的結論嗎？

生10：一個點到兩個定點的距離之和為定值．

師：這個點在哪里？

生10：在橢圓上！

師：在圖5中的橢圓上，只有點M滿足這樣的條件嗎？

生：這個點可以是橢圓上的任意一點！

師：觀察得非常仔細！所以我們可以得出結論：橢圓上任意一點到兩個定點的距離之和為定值．那么請同學們思考這樣一個問題：平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之和為定長的點所畫出來的圖形一定是橢圓嗎？

師生協(xié)作，拿出事先準備好的軟木板進行操作：①將細線固定在兩個工字釘上；②將兩個工字釘在軟木板上；③用筆尖把繩子拉緊并移動.

師：畫出的圖形是什么？

生11：是橢圓！

生12：是線段！

師：為什么有的組畫出的是橢圓，有的是線段呢？

生13：兩定點的距離要比定長的距離短才能畫出橢圓，否則畫不出來！

師：這位同學不僅觀察入微，反應也很快，回答得非常好！所以我們可以完善橢圓的定義了，哪位同學愿意來描述下？

生14：平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離的和等于定值(大于F1,F2之間的距離)的點的軌跡叫做橢圓．

師：得到橢圓定義以后，我們?yōu)榱嗽诂F(xiàn)實生活中更好地應用這樣的圖形，還要進一步去研究它，同學們可以在課后結合圓形的研究，思考下你可以從怎樣的角度去研究這個圖形．

2.4 課堂小結(略)

3 教學感悟

3.1 立足于基礎，有序推進概念教學

數(shù)學概念在高中數(shù)學學習中有著基礎性的作用，但實際教學中正是因為這種基礎性，往往使得數(shù)學概念的教學被簡化，這種急于求成的教學心理背后隱藏著對數(shù)學概念教學重要性的漠視．數(shù)學教師在教學中必須思考數(shù)學概念如何生成及其功能定位，必須加強數(shù)學概念的研究，滲透數(shù)學概念背后的數(shù)學文化．

3.2 立足于研究，多維度看待問題

高中數(shù)學教學需要突破以往的知識教學，重視學生思維能力與智力方面的培養(yǎng)，使其具備多維度看問題的能力，進而實現(xiàn)高中生綜合素質的全面發(fā)展．本節(jié)課在探索橢圓概念時并未開門見山地使用旦德林雙球模型，而是聯(lián)系圓和橢圓的關系，從直觀的幾何特征入手和學生嘗試得出橢圓概念．這樣不僅有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，更有利于提高學生的綜合素質，適應社會發(fā)展需求．

3.3 立足于學生，凸顯課堂主體

尊重學生、了解學生、把握學情，一切教學開展都要從學生角度出發(fā)．處于青春期的高中生好奇心旺盛，對事物保持較高求知欲，因而課堂上教師應盡量結合教學內(nèi)容使其自主探索事物發(fā)展規(guī)律．本節(jié)課通過環(huán)節(jié)設計，教師以啟發(fā)為主，有效抓住了學生注意力，引發(fā)了學生的主觀能動性．

3.4 立足于文化，提升課堂品味

數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關系是數(shù)學教育的重要研究領域之一，其以喜聞樂見的形式呈現(xiàn)數(shù)學知識的來龍去脈，在科學嚴謹?shù)臄?shù)學邏輯體系中滲透豐富多彩的數(shù)學文化．本節(jié)課基于數(shù)學史、數(shù)學發(fā)展過程而開展數(shù)學教學．包括在數(shù)學概念產(chǎn)生的最初時期，數(shù)學家是如何一步步研究，從理論上升到實踐，再從實踐歸結到規(guī)律、定理和公式的.關于概念的形成，有怎樣振奮人心、精彩有趣的故事.在高中數(shù)學課堂中，教師要善于立足數(shù)學史、數(shù)學發(fā)展過程，講授數(shù)學家精彩的研究史，激發(fā)學生的興趣，引導學生投入到對概念、公式、原理的學習中．如果教師可以在教學中滲透數(shù)學文化，教學過程將變得生動有趣，教學效率也將大大提升．因此教師要善于挖掘“數(shù)學美”“數(shù)學史”等數(shù)學文化類型，更全面地實施文化教育．

3.5 立足于技術，形成有效融合

隨著信息技術的發(fā)展，多媒體技術在教學中得到越來越廣泛的使用，特別在探索幾何問題中，適應運動變化思想給出由靜到動的情境，課堂上學生通過觀察、分析、推理和歸納，在其中理解問題本質.這種方式也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，并在變化的幾何圖形中開展靈活教學，豐富了教學內(nèi)容，利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣．