張海強(qiáng) (江蘇省宜興中學(xué) 214200)

2020年12月17日，筆者應(yīng)邀參加江陰市教師發(fā)展中心和江陰市高級(jí)中學(xué)聯(lián)合舉辦的對(duì)外公開教學(xué)，執(zhí)教“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”(第1課時(shí))，采用人教版教材，學(xué)生為江陰市高級(jí)中學(xué)高一平行班，學(xué)生基礎(chǔ)好，反應(yīng)敏捷．

1 大概念和大概念提取

大概念(Big idea)是一種高度形式化、兼具認(rèn)識(shí)論與方法論意義、普適性極強(qiáng)的概念；它已經(jīng)不再僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)單詞匯，它背后潛藏著一個(gè)意義的世界，它超出了一個(gè)普通概念的應(yīng)有內(nèi)涵與外延,作為一種深刻思想、學(xué)說的載體，已成為“思想之網(wǎng)”的聯(lián)接樞紐．“大概念”好比“車轄”．其表述方式可以是相關(guān)的概念、主題、有爭(zhēng)議的結(jié)論或觀點(diǎn).[1]大概念的提取是“大概念教學(xué)”的前提，浙江大學(xué)教育學(xué)院劉徽[2]總結(jié)了大概念提取的八條路徑，即課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科核心素養(yǎng)、專家思維、概念派生、知能目標(biāo)、生活價(jià)值、學(xué)習(xí)難點(diǎn)和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，其中，前四種是自上而下提取的，這種方式提取的大概念往往是“現(xiàn)成”的，難點(diǎn)在于教師能否準(zhǔn)確理解大概念；后四種是自下而上提取的，難點(diǎn)在于是否能沿正確的方向上升到大概念的層面.

課程標(biāo)準(zhǔn)是國(guó)家課程的基本綱領(lǐng)性文件，因此，原則上所有大概念的提取都要參照課程標(biāo)準(zhǔn)，甚至從課程標(biāo)準(zhǔn)可以直接提煉大概念.[2]高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出：函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具．[3]此即為一個(gè)大概念，函數(shù)研究的一般方法可以概括為：背景→概念(具體函數(shù))→圖象→性質(zhì)→應(yīng)用．

知能目標(biāo)，即知識(shí)和技能目標(biāo)也可以向上提煉為大概念.[2]函數(shù)作圖教學(xué)從初三開始，學(xué)生積累了大量的作圖經(jīng)驗(yàn)，但這些作圖經(jīng)驗(yàn)是零散的、碎片化的，經(jīng)過提煉，可以將它們上升為“函數(shù)作圖關(guān)注基本形狀(描大量的點(diǎn))和具體位置(抓關(guān)鍵的點(diǎn))”這一大概念．

綜上，本教學(xué)設(shè)計(jì)涉及兩個(gè)大概念：(1)函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具；(2)函數(shù)作圖關(guān)注圖象的基本形狀(描大量的點(diǎn))和具體位置(抓關(guān)鍵的點(diǎn))．

2 大概念視角下的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)作圖教學(xué)從初三開始，分別學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，進(jìn)入高中，又學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，學(xué)生對(duì)函數(shù)作圖積累了大量的經(jīng)驗(yàn)，三角函數(shù)的作圖則是對(duì)學(xué)生函數(shù)作圖經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)與提煉，以形成函數(shù)作圖的方法論．

活動(dòng)1 請(qǐng)回顧研究函數(shù)的一般方法．

函數(shù)研究的一般方法為由背景抽象出數(shù)學(xué)概念(具體函數(shù))，再畫出函數(shù)圖象，進(jìn)而由圖象得出函數(shù)性質(zhì)，最后將具體函數(shù)作為模型加以應(yīng)用．其結(jié)構(gòu)圖如圖1所示．

圖1

前面我們感受了周期現(xiàn)象，并抽象出了刻畫周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型——三角函數(shù)，今天一起來學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)——正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象．(引出課題)

設(shè)計(jì)理由在單元層面進(jìn)行“大概念”教學(xué)是由其性質(zhì)所決定的．一個(gè)抽象概念(觀念)要通過一定數(shù)量的具體案例才能得以支撐，如“函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具”這一大概念，其研究方法需要多次強(qiáng)化，才能為學(xué)生所掌握，并形成獨(dú)特的思維方式，最終積淀為數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

單元具有拓展性結(jié)構(gòu)，既包括在集中一段時(shí)間內(nèi)教學(xué)的單元，也包括不集中時(shí)間教學(xué)，分布在各個(gè)不同的學(xué)時(shí)(甚至學(xué)段)中的，但指向同一個(gè)(組)大概念的單元．如大概念“函數(shù)作圖關(guān)注基本形狀和具體位置”橫跨初、高中，即使在高中，內(nèi)容涉及必修課程主題二函數(shù)、選擇性必修主題一函數(shù)中的“一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”和選修課程A,B類課程中的微積分．

本案例為學(xué)生描繪了一幅學(xué)習(xí)地圖，讓學(xué)生既知道自己所處的位置，更知道要去向何方．

活動(dòng)2 回顧從初三以來函數(shù)圖象繪制的過程，總結(jié)函數(shù)作圖的經(jīng)驗(yàn)，并提煉為一般方法．

經(jīng)過學(xué)生討論，最終得出函數(shù)作圖的一般方法大致可分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：探求基本形狀(描大量的點(diǎn))和確定具體位置(抓關(guān)鍵的點(diǎn))．

設(shè)計(jì)理由將學(xué)生零散的、碎片化的作圖經(jīng)驗(yàn)加以提煉，形成大概念：函數(shù)作圖關(guān)注圖象的基本形狀(描大量的點(diǎn))和具體位置(抓關(guān)鍵的點(diǎn))，為后續(xù)的三角函數(shù)作圖作必要的準(zhǔn)備．

活動(dòng)3 由三角函數(shù)的定義和解析式y(tǒng)= sinx，你能描述正弦函數(shù)圖象有什么特征嗎？

圖2

圍繞定義域、值域、周期性、單調(diào)性等部分性質(zhì)展開,并指出這些性質(zhì)對(duì)研究圖象有什么幫助.由三角函數(shù)的定義可知，正弦函數(shù)具有周期性(周而復(fù)始)，它可以簡(jiǎn)化三角函數(shù)的作圖過程，只需考慮一個(gè)周期的函數(shù)圖象；值域從縱向限制了圖象的范圍；單調(diào)性則粗略地描述了圖象的大致走向，幫助學(xué)生直觀想象三角函數(shù)圖象的整體圖形特征．從解析式的角度，由誘導(dǎo)公式sin(-x)=-sinx知，函數(shù)y=sinx為奇函數(shù)．

設(shè)計(jì)理由研究函數(shù)的思路一般有兩種：一是根據(jù)定義畫函數(shù)圖象，再結(jié)合圖象研究性質(zhì)；二是根據(jù)定義推導(dǎo)性質(zhì)，再由性質(zhì)畫圖象．在具體實(shí)踐中，往往需要將兩者有機(jī)結(jié)合起來．此處借助單位圓，從定義、性質(zhì)等角度對(duì)正弦函數(shù)的圖象作大致的描述，有利于學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)圖象的整體把握，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展了學(xué)生邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)．這一設(shè)計(jì)突破了“先畫圖象，再由圖象得出性質(zhì)”的習(xí)慣思維，成為本課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)．

至此，建議讓學(xué)生描繪正弦函數(shù)的大致圖象，由于學(xué)生對(duì)圖象的凹凸性把握不準(zhǔn)，所以可為引入描點(diǎn)法作應(yīng)有的鋪墊．

活動(dòng)4 如何作出正弦函數(shù)y=sinx圖象上的點(diǎn)T(x0,sinx0)？請(qǐng)你嘗試用描點(diǎn)法畫出y=sinx，x∈[0,2π]的圖象．

圖3

如圖3，將點(diǎn)A繞著點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn)x0弧度至點(diǎn)B，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y0=sinx0，由此，以x0為橫坐標(biāo)，y0為縱坐標(biāo)畫點(diǎn)，即得到函數(shù)圖象上的點(diǎn)T(x0,sinx0)．

圖4

借助信息技術(shù)描出任意多的點(diǎn)，并連續(xù)成線．

設(shè)計(jì)理由圖象上任意一點(diǎn)的作法，蘊(yùn)含了函數(shù)圖象整體的構(gòu)成原理．以單位圓為腳手架，從定義出發(fā)描出正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)T(x0, sinx0)，這一方法比直接描點(diǎn)法更精確，更為重要的是它揭示了函數(shù)圖象與三角函數(shù)定義之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，體現(xiàn)了知識(shí)的整體性和聯(lián)系性．

掌握了任意一點(diǎn)的作法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點(diǎn)進(jìn)行描點(diǎn)，是從感性認(rèn)識(shí)的積累飛躍到理性認(rèn)識(shí)不可或缺的步驟．這12個(gè)等分點(diǎn)的選取不僅操作簡(jiǎn)便，而且包含了函數(shù)中零點(diǎn)和最值點(diǎn)以及一些常用的特殊角，有利于對(duì)圖象特征的把握．

利用信息技術(shù)的連續(xù)動(dòng)畫功能，可以得到更多的圖象上的點(diǎn)，達(dá)到點(diǎn)動(dòng)成線的直觀效果，使學(xué)生進(jìn)一步理解任意一點(diǎn)與整體圖象之間的關(guān)系，理解圖象形成的內(nèi)在道理．

活動(dòng)5 畫出y=sinx，x∈[0,2π]的圖象，并作出正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象．

從區(qū)間[0,2π]到實(shí)數(shù)集R的延伸．從數(shù)的角度：sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z,k≠0)可知，函數(shù)y=sinx，x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈R且k≠0的圖象與y=sinx，x∈[0,2π]的圖象形狀完全一致．因此將函數(shù)y=sinx，x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移2π個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象(圖5)．

圖5

設(shè)計(jì)理由從區(qū)間[0,2π]的局部圖象到實(shí)數(shù)集R上的整體圖象，是從有限到無限的推廣過程，是數(shù)形結(jié)合思想的集中體現(xiàn)，是訓(xùn)練邏輯推理和直觀想象的絕佳素材．

圖6

活動(dòng)6 請(qǐng)你找出確定正弦函數(shù)圖象的一些關(guān)鍵點(diǎn)．(“五點(diǎn)法”作圖)

設(shè)計(jì)理由當(dāng)函數(shù)圖象的基本形狀確定后，如何較快作出其簡(jiǎn)圖呢？這就涉及函數(shù)作圖關(guān)注的第二個(gè)環(huán)節(jié):具體位置(抓關(guān)鍵的點(diǎn))．至此，大概念：函數(shù)作圖關(guān)注圖象的基本形狀(描大量的點(diǎn))和具體位置(抓關(guān)鍵的點(diǎn))得到進(jìn)一步強(qiáng)化．

活動(dòng)7 請(qǐng)你作出余弦函數(shù)的圖象,你有哪些不同的思考角度？

設(shè)計(jì)理由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)是一對(duì)密切關(guān)聯(lián)的函數(shù)，借助已知的正弦函數(shù)的圖象來畫余弦函數(shù)的圖象，可以加強(qiáng)對(duì)兩者聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，也體現(xiàn)了化歸思想．

活動(dòng)8 請(qǐng)你作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：

(1)y=1+sinx,x∈[0,2π]；

(2)y=-cosx,x∈[0,2π]．

設(shè)計(jì)理由通過畫兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的簡(jiǎn)圖，加深對(duì)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖形特征的認(rèn)識(shí)，熟練掌握“五點(diǎn)法”作圖的操作步驟．

在畫出兩個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖后，引導(dǎo)學(xué)生從圖象間的關(guān)系感知函數(shù)解析式的變換和圖象變換之間的內(nèi)在聯(lián)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象變換作準(zhǔn)備．同時(shí)提升學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度看問題的意識(shí)和能力．

活動(dòng)9 請(qǐng)你談?wù)劚竟?jié)課的收獲、體會(huì)和感受．

宏觀角度：知曉了研究函數(shù)的一般方法；明晰了函數(shù)作圖關(guān)注的兩個(gè)環(huán)節(jié).中觀角度：數(shù)形結(jié)合思想，著重突出數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換與印證.微觀角度：會(huì)畫出正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象．

其結(jié)構(gòu)圖如圖7所示．

圖7

設(shè)計(jì)理由讓學(xué)生從反思與分享中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，以改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，充分展示學(xué)生的個(gè)性．

圖形思維能夠加深理解程度，讓思考更清晰．結(jié)構(gòu)圖依據(jù)圖形思維繪制，堪稱思維導(dǎo)圖的升級(jí)版，該圖以兩個(gè)大概念為底色，包含了三個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng):抽象、推理和模型.函數(shù)的圖象與性質(zhì)通過數(shù)形結(jié)合來貫通，經(jīng)緯交錯(cuò)，一目了然．

3 結(jié)語(yǔ)

大概念能反映學(xué)科的主要觀點(diǎn)和思維方式，是學(xué)科結(jié)構(gòu)的骨架和主干部分，有助于教師準(zhǔn)確定位教學(xué)價(jià)值，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；大概念是對(duì)眾多知識(shí)概念的篩選與融合，有利于教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，提倡“少而精”；大概念能提供對(duì)于理解知識(shí)、研究和解決問題的思想方法或關(guān)鍵工具，可運(yùn)用于新的情境，有助于對(duì)學(xué)習(xí)知識(shí)的遷移應(yīng)用．