邵俊 于興林 馮波 丁華

（吉利汽車(chē)研究院（寧波）有限公司，寧波315336）

1 前言

整車(chē)虛擬匹配作為快速展示、診斷整車(chē)外觀匹配狀態(tài)并指導(dǎo)零部件修模的開(kāi)發(fā)工具，其重要性近年來(lái)在汽車(chē)行業(yè)內(nèi)得到了普遍的認(rèn)識(shí)[1-2]。為達(dá)成提升整車(chē)外觀匹配精度的核心價(jià)值，總成尺寸匹配狀態(tài)計(jì)算和零部件尺寸偏差源識(shí)別是虛擬匹配的關(guān)鍵功能。

基于外觀件普遍非剛性的特點(diǎn)，整車(chē)虛擬匹配需準(zhǔn)確仿真柔性件受力變形。有限元分析法作為汽車(chē)工程主流的數(shù)值分析手段，可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)整車(chē)虛擬匹配尺寸狀態(tài)[3]。但有限元法計(jì)算量大、求解耗時(shí)，無(wú)法滿足當(dāng)前數(shù)字化連接制造環(huán)境下幾何保證和偏差管理的快速響應(yīng)需求。為此，虛擬分析須積極利用數(shù)字化雙胞胎、大數(shù)據(jù)等新支撐技術(shù)的發(fā)展[4]，開(kāi)發(fā)應(yīng)對(duì)實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)化模型或簡(jiǎn)化求解法，突破制約虛擬匹配應(yīng)用于生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)的速度瓶頸。

在獲取總成尺寸匹配狀態(tài)后，為指導(dǎo)零部件修模，需識(shí)別零部件的偏差源變形模式。主成分分析作為汽車(chē)制造中主流的數(shù)據(jù)特征提取統(tǒng)計(jì)方法，可識(shí)別數(shù)據(jù)的主要模式。但由于主成分是原始變量的線性組合，鑒于汽車(chē)柔性件的監(jiān)控變量較多，這種線性組合較復(fù)雜，導(dǎo)致可解釋性差，不利于偏差源的識(shí)別。為此，需尋求簡(jiǎn)化的特征提取法，提升虛擬匹配中的零部件偏差源識(shí)別效率。

目的之一是針對(duì)汽車(chē)柔性件公差分析中缺乏快速計(jì)算帶尺寸偏差零件的受力變形問(wèn)題，提出1種結(jié)合線性疊加原理和有限元法的變形計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)整車(chē)虛擬匹配的實(shí)時(shí)公差分析，這部分研究工作將體現(xiàn)在第2節(jié)中。目的之二為解決零件偏差源識(shí)別中主成分分析數(shù)據(jù)解讀性差的問(wèn)題，提出1種應(yīng)用稀疏主成分分析簡(jiǎn)化分析變量，并減少主成分載荷系數(shù)的偏差源統(tǒng)計(jì)分析法，可快速識(shí)別偏差源的主要變形模式及對(duì)應(yīng)的主導(dǎo)變量，實(shí)現(xiàn)整車(chē)虛擬匹配問(wèn)題的快速診斷，這部分研究工作將體現(xiàn)在第3節(jié)中。

2 汽車(chē)柔性件虛擬匹配實(shí)時(shí)公差分析

2.1 汽車(chē)柔性件受力分析

汽車(chē)柔性件的尺寸匹配狀態(tài)主要受重力和對(duì)手件的載荷反力影響，前者可通過(guò)測(cè)量包含在測(cè)量數(shù)據(jù)中，而載荷反力必須依賴(lài)實(shí)物裝配或仿真。由于來(lái)自對(duì)手件載荷反力通常為變力，如密封條、氣撐桿、卡扣等，其本質(zhì)是彈簧。以車(chē)門(mén)密封條為例，其壓縮反力本質(zhì)是個(gè)非線性彈簧，彈簧剛性系數(shù)隨壓縮量而變化[5]。由于性能曲線靠近設(shè)計(jì)名義值的區(qū)段接近直線，為便于簡(jiǎn)化計(jì)算，將此段的密封條剛性系數(shù)視為常數(shù)。將車(chē)門(mén)鈑金總成通過(guò)鉸鏈和鎖扣安裝上車(chē)身固定后，其受密封條變形后的靜力平衡狀態(tài)若用有限元法進(jìn)行建模，則可以采用公式（1）表征。

將公式(1)整理，可得公式（2）和公式（3）。

式中，([Ks]+[Ka])-1為([Ks]+[Ka])的逆矩陣，設(shè){}A=([Ks]+[Ka])-1{Fs}，[]B=([Ks]+[Ka])-1[Ks]，則公式(3)整理為公式（4）。

當(dāng)門(mén)鈑金總成無(wú)尺寸誤差時(shí)，{Xg}為0，{Xa}為定值，僅受[Ks]、[Ka]和{Fs}影響。

當(dāng)門(mén)鈑金總成有尺寸誤差時(shí)，{Xg}不為0，{Xa}為變值，與{Xg}有線性關(guān)系。

當(dāng)對(duì)理論數(shù)模進(jìn)行有限元建模時(shí)，由于{Xg}為0，因此{(lán)Xa}為定值。當(dāng)獲取1個(gè)車(chē)門(mén)鈑金總成的尺寸測(cè)量樣本時(shí)，由于必然存在制造尺寸誤差，因此{(lán)Xg}不為0，{Xa}為變值，需要按照公式（4）調(diào)用有限元求解器進(jìn)行求解。

2.2 線性疊加原理

考慮到任意線性關(guān)系均適用于線性疊加原理[6]，因此公式（4）中的任意{Xg}對(duì)應(yīng)的響應(yīng){Xa}等效于將{Xg}分解為若干單位偏差向量后，所有單位偏差向量對(duì)應(yīng)響應(yīng)向量的矢量和。

將前述內(nèi)容表示為數(shù)學(xué)關(guān)系，則設(shè){Xg}n、{Xa}n、{Fs}n為n維列向量，表示車(chē)門(mén)有n處網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)受密封條壓縮反力作用，存在內(nèi)間隙尺寸偏差，并在受載后產(chǎn)生變形。[Ks]與[]Ka為n階方陣。根據(jù)向量的表示規(guī)則，將向量{Xg}n改寫(xiě)為公式（5）。

線性疊加原理應(yīng)用于公式（4），并將公式（5）代入，則公式（4）可表示為公式（6）。

式中，[Xgi]nXn為n階純量矩陣，其主對(duì)角線元素均為Xgi，其余位置元素均為零。

根據(jù)公式(6)，只要通過(guò)有限元軟件將單位偏差Ei施加于節(jié)點(diǎn)i（i=1…n），可求得所有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的變形向量。因此通過(guò)n次迭代，可得到所有單位節(jié)點(diǎn)偏差與n個(gè)節(jié)點(diǎn)變形的關(guān)系。

2.3 基于有限元線性疊加的變形計(jì)算方法

事實(shí)上，根據(jù)公式(6)得到的變形位置是密封條，而車(chē)門(mén)虛擬匹配更為關(guān)注的區(qū)域是門(mén)周邊的間隙和面差，因此若車(chē)門(mén)周邊共有m處受關(guān)注的外觀匹配斷面，則這些斷面受密封條壓縮反力后的變形向量為( )C1j C2j…Cmj，m為外觀匹配斷面數(shù)量，Cij(i=1…m)為通過(guò)有限元法計(jì)算得到的j節(jié)點(diǎn)位置的單位偏差導(dǎo)致的i斷面處的變形，因此Cij表示了i節(jié)點(diǎn)對(duì)j節(jié)點(diǎn)位移的傳遞系數(shù)。

當(dāng)密封條變形非單位偏差，且密封條所有斷面位置的偏差線性疊加時(shí)，車(chē)門(mén)周邊m處受關(guān)注斷面的變形總量為向量{X}m，同時(shí)如公式（7）所示。

當(dāng)車(chē)門(mén)總成變形較小，即Xgj較小時(shí)，材料的應(yīng)力應(yīng)變處于線性段，上述公式（7）一直成立。

通過(guò)n次有限元迭代計(jì)算，即通過(guò)密封條n個(gè)斷面的單位偏差仿真計(jì)算得到上述傳遞系數(shù)矩陣后，就可以應(yīng)用此矩陣快速的在現(xiàn)場(chǎng)預(yù)測(cè)車(chē)門(mén)鈑金總成受密封條壓縮反力的變形尺寸狀態(tài)。

只要通過(guò)測(cè)量手段獲取鈑金車(chē)門(mén)總成與側(cè)圍的內(nèi)間隙偏差向量，即密封條各斷面壓縮量的偏差值向量{Xg}n，通過(guò)公式（7）的矩陣運(yùn)算即可得到外觀匹配斷面的變形向量{X}m。而有限元法則必須根據(jù)各密封條匹配斷面的尺寸偏差測(cè)量值轉(zhuǎn)換為實(shí)際載荷，然后修改仿真模型的載荷邊界條件，最后利用求解器計(jì)算受載變形并手工采集所有外觀匹配斷面的變形量。表1對(duì)比了利用純有限元法和傳遞系數(shù)矩陣法計(jì)算對(duì)資源的要求，顯然后者更經(jīng)濟(jì)高效，有助于突破制約虛擬匹配應(yīng)用于生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)的速度瓶頸。

表1 預(yù)測(cè)方法的資源要求對(duì)比

2.4 實(shí)時(shí)公差分析實(shí)例計(jì)算

2.4.1 問(wèn)題定義

分析案例為采用點(diǎn)焊與包邊工藝制造的車(chē)門(mén)鈑金總成，關(guān)注其在受密封條壓縮反力后的變形。實(shí)例的幾何與材料屬性、板件連接設(shè)置、約束邊界條件見(jiàn)參考文獻(xiàn)[7]。已知密封條剛度系數(shù)為每100 mm長(zhǎng)度4 N/mm，因此在有限元模型的密封條安裝截面每間隔100 mm設(shè)置一處載荷，合計(jì)38處。密封條匹配斷面尺寸偏差狀態(tài)如圖1a所示，結(jié)合剛度系數(shù)可得到外力邊界條件。同時(shí)，門(mén)框輪廓均勻布置了9處變形測(cè)點(diǎn)，位置如圖1b所示。

圖1 密封條匹配偏差狀態(tài)和測(cè)點(diǎn)位置示意

2.4.2 傳遞系數(shù)推導(dǎo)

根據(jù)前文傳遞系數(shù)矩陣的定義，此實(shí)例需推導(dǎo)1個(gè)9×38的矩陣矩陣的每列Cij表示通過(guò)有限元法計(jì)算得到的j節(jié)點(diǎn)(j=1…38)處單位載荷導(dǎo)致的i測(cè)點(diǎn)(i=1…9)處的變形。由于整車(chē)匹配的常見(jiàn)最小單位是0.1 mm，根據(jù)密封條剛度系數(shù)4 N/mm，因此單位載荷設(shè)置為0.4 N。通過(guò)在Hy?permesh中設(shè)置38個(gè)載荷步并用Optistruct求解器計(jì)算，匯總得到傳遞系數(shù)矩陣，如表2所示。

2.4.3 公差分析仿真結(jié)果

a.純有限元法，根據(jù)2.4.1節(jié)的問(wèn)題定義，直接采用Optistruct求解器計(jì)算得到圖2的計(jì)算結(jié)果。

表2 傳遞系數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖2 有限元仿真結(jié)果

3 基于稀疏主成分的虛擬匹配問(wèn)題快速診斷

3.1 虛擬匹配偏差源統(tǒng)計(jì)分析

汽車(chē)柔性件經(jīng)過(guò)多道工序的加工，必然存在累計(jì)誤差。即使在制造現(xiàn)場(chǎng)對(duì)每個(gè)樣本均采用傳遞系數(shù)矩陣法快速計(jì)算受力變形，由于樣本偏差的隨機(jī)性，導(dǎo)致各樣本虛擬匹配仿真結(jié)果存在差異，無(wú)法直接指導(dǎo)修模，因此有必要尋找偏差源的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

在生產(chǎn)中常用的變量統(tǒng)計(jì)指標(biāo)為均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分別體現(xiàn)了偏差的集中性和離散性。若生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)受控，可將樣本各變量均值輸入虛擬匹配仿真模型，仿真結(jié)果可作為指導(dǎo)修模的參數(shù)。但當(dāng)變量標(biāo)準(zhǔn)差過(guò)大時(shí)，僅靠修模無(wú)法達(dá)到匹配合格率要求，為此需識(shí)別變量波動(dòng)的偏差源并進(jìn)行工藝整改。

圖3 傳遞系數(shù)矩陣法計(jì)算結(jié)果

公差分析通常假設(shè)變量間相互獨(dú)立，均值和標(biāo)準(zhǔn)差均未考慮測(cè)點(diǎn)變量間的相關(guān)性。但相關(guān)研究顯示柔性鈑金不符合變量獨(dú)立性假設(shè)[8]。從汽車(chē)柔性鈑金件的連接工藝分析，隨著點(diǎn)焊數(shù)的增加，焊點(diǎn)間距變小，獨(dú)立性假設(shè)將迫使幾何上相鄰測(cè)點(diǎn)往反方向運(yùn)動(dòng)，這顯然與焊點(diǎn)增多導(dǎo)致的剛性增加矛盾。統(tǒng)計(jì)學(xué)中將多變量的相關(guān)特性用協(xié)方差描述，上述源自材料彈性耦合的相關(guān)性稱(chēng)為材料協(xié)方差。

Merkley的研究[9]指出，由于零件表面特征的連續(xù)性，在非微觀尺度，存在如圖4的連續(xù)性特征，這種統(tǒng)計(jì)上變量間的相關(guān)性稱(chēng)為幾何協(xié)方差。當(dāng)表面兩端產(chǎn)生了變形δ1和δ2，零件傾向于按第1種情況連續(xù)性扭曲。汽車(chē)柔性件的尺寸測(cè)量屬于宏觀尺寸，因此測(cè)量結(jié)果也傾向于第1種情況。

圖4 由于表面連續(xù)性產(chǎn)生的幾何協(xié)方差

3.2 主成分分析

基于上述材料協(xié)方差和幾何協(xié)方差，可運(yùn)用多元統(tǒng)計(jì)中的主成分分析法解釋偏差源測(cè)量信息，即從原始變量中導(dǎo)出若干主成分，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且主成分間互不相關(guān)[10]。若運(yùn)用在尺寸偏差分析領(lǐng)域，則每個(gè)主成分對(duì)應(yīng)零件的某種偏差模式，如平移、旋轉(zhuǎn)或扭曲。

主成分分析有利于抓住零件變形的主要模式，忽略占比小的隨機(jī)波動(dòng)噪聲，實(shí)現(xiàn)測(cè)量數(shù)據(jù)降維的目的。例如1個(gè)柔性零件原本有幾十個(gè)測(cè)點(diǎn)變量，通過(guò)多樣本的主成分分析，可識(shí)別零件的主要偏差變形模式，用若干個(gè)變形模式包含原零件90%以上的變形信息。

按主成分定義，它識(shí)別多變量向量空間中數(shù)據(jù)方差最大的方向作為第一主成分，并按各主成分正交的原則依公差貢獻(xiàn)排序依次計(jì)算其它主成分，n個(gè)變量可計(jì)算n個(gè)主成分。若m個(gè)主成分（m≤n）可表示零件90%的偏差信息，則前m個(gè)主成分向量PCm表示為公式（8）。

式中，Xj（j=1…n）為原始變量構(gòu)成的向量；Sij表示第j個(gè)（j=1…n）原始變量對(duì)第i個(gè)（i=1…m）主成分的載荷，即影響程度系數(shù)。上述向量是對(duì)樣本多變量的相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行主成分分析后得到的特征向量i，表示零件的1種偏差模式。計(jì)算中同時(shí)會(huì)得到特征值λi，代表此偏差模式的方差。

3.3 稀疏主成分分析

主成分分析雖可以達(dá)到數(shù)據(jù)特征提取和變量降維的目的，但由于主成分是原變量的線性組合，當(dāng)變量數(shù)量眾多時(shí)，線性組合的載荷Sij數(shù)量較多，即線性組合的復(fù)雜性過(guò)高。另外，有相關(guān)研究[11]論證了在多變量和小樣本的情況下，樣本估計(jì)的第一主成分特征向量和總體的第一主成分特征向量極不一致。而在汽車(chē)制造業(yè)領(lǐng)域，小樣本多變量是工業(yè)4.0環(huán)境下快速響應(yīng)面對(duì)的普遍挑戰(zhàn)，因此需更優(yōu)化的方法。

基于彈性網(wǎng)約束改良后的稀疏主成分分析法，通過(guò)可調(diào)約束將部分載荷系數(shù)變?yōu)?，達(dá)到稀疏載荷的目的[12]。這有助于分析者在載荷系數(shù)數(shù)量和偏差信息完整度中尋求平衡，既保留了主成分分析降維的優(yōu)點(diǎn)，又減少了主成分的構(gòu)成變量數(shù)，令解讀主成分的物理含義變得更容易。以虛擬匹配為例，若原始n個(gè)偏差變量需要m個(gè)主成分（m＜n）進(jìn)行降維處理，由于每個(gè)主成分由n個(gè)變量線性表示，此線性變換的物理含義難以解讀。若通過(guò)舍棄小部分信息使得主成分構(gòu)成變量數(shù)顯著減少，則有利于理解變換的物理含義，即識(shí)別尺寸的偏差模式。這有助于虛擬匹配問(wèn)題的快速診斷。

深入分析載荷稀疏化的各類(lèi)數(shù)學(xué)工具[13]，如制定1個(gè)強(qiáng)制置零的閾值或?qū)⑾∈柚迪薅?、-1、1，綜合考慮計(jì)算速度與問(wèn)題的普適性[14]，最終應(yīng)用集成在R軟件[15]的ElasticNet擴(kuò)展包作為稀疏主成分分析的工具。R軟件作為開(kāi)源跨平臺(tái)的數(shù)學(xué)計(jì)算環(huán)境，集成大量科研前沿的統(tǒng)計(jì)算法包，且數(shù)據(jù)可視化方面豐富的生態(tài)也有助于洞察數(shù)據(jù)的本質(zhì)。

3.4 虛擬匹配問(wèn)題快速診斷實(shí)例計(jì)算

3.4.1 問(wèn)題定義

分析案例為車(chē)門(mén)鈑金總成的尺寸制造偏差。測(cè)量對(duì)象為門(mén)內(nèi)板密封條匹配部位的輪廓度，共19個(gè)測(cè)點(diǎn)，位置如圖5中按順時(shí)針?lè)植?。根?jù)門(mén)總成的制造工藝，假定測(cè)點(diǎn)相關(guān)的制造誤差包括門(mén)內(nèi)板沖壓誤差2項(xiàng)和焊接變形誤差6項(xiàng)，均符合正態(tài)分布。使用3維公差分析軟件3DCS仿真上述誤差，分布位置如圖6所示。其中沖壓誤差2為隨機(jī)誤差，涉及的各區(qū)域尺寸波動(dòng)獨(dú)立，其余7個(gè)誤差為相關(guān)性公差，涉及的各區(qū)域尺寸波動(dòng)正相關(guān)。

圖5 測(cè)點(diǎn)分布

3.4.2 基于主成分分析的公差分析

應(yīng)用3DCS的蒙特卡洛法按上節(jié)所述的輸入公差仿真，得到100個(gè)樣本，各含19個(gè)變量的測(cè)量值。

使用R軟件的基礎(chǔ)函數(shù)prcomp對(duì)樣本進(jìn)行主成分分析，得到圖7的主成分累計(jì)貢獻(xiàn)度信息。

圖6 制造公差信息

圖7 主成分分析累積貢獻(xiàn)度信息

前8個(gè)主成分累計(jì)方差貢獻(xiàn)度93.0%，即可代表原始19個(gè)變量93%的總成偏差信息，降維效果顯著。

由于前2個(gè)主成分累積方差占比較高（60%），可進(jìn)一步采用R語(yǔ)言的數(shù)據(jù)可視化工具包ggbiplot對(duì)第1和第2主成分作散點(diǎn)圖，分別對(duì)應(yīng)圖8中的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。圖中的點(diǎn)代表樣本，橢圓代表按±2σ置信區(qū)間設(shè)置的核心區(qū)域。箭頭代表原始變量，共19個(gè)，箭頭長(zhǎng)度表示原始變量的方差大小，箭頭方向表示與各主成分的相關(guān)性。

圖8 第1和第2主成分散點(diǎn)

為優(yōu)化整改匹配問(wèn)題，需識(shí)別對(duì)第1及第2主成分起主導(dǎo)作用的變量。由于近一半箭頭對(duì)橫坐標(biāo)的投影長(zhǎng)度接近，難以識(shí)別主導(dǎo)性影響變量，給整改帶來(lái)了較大困難。第2主成分也存在相似的現(xiàn)象，其根本原因在于各主成分中的非0載荷過(guò)多。

3.4.3基于稀疏主成分分析的公差分析

為了將主成分的載荷稀疏化，應(yīng)用R軟件的spca()函數(shù)，得到圖9的稀疏主成分貢獻(xiàn)度信息。前8個(gè)稀疏主成分累計(jì)貢獻(xiàn)度78.1%，即可代表原始19個(gè)變量超過(guò)78%的總成偏差信息。

圖9 稀疏主成分分析貢獻(xiàn)度信息

通過(guò)表3比較可見(jiàn)，前8個(gè)稀疏主成分對(duì)應(yīng)的非0載荷數(shù)量合計(jì)21個(gè)，相比主成分分析前8個(gè)主成分的152個(gè)載荷數(shù)大幅減少。此外，簡(jiǎn)化后的載荷直觀顯示第1主成分主要涉及原始變量1～5，對(duì)應(yīng)圖5的門(mén)框。由于載荷系數(shù)接近，此偏差模式為局部移動(dòng)。第2主成分涉及原始變量16～17，對(duì)應(yīng)于圖5的門(mén)鎖區(qū)域，偏差模式也為局部移動(dòng)。更重要的是，由于第1和第2主成分的主導(dǎo)變量明確，解釋性較好，可進(jìn)一步針對(duì)性排查測(cè)點(diǎn)相關(guān)的工位和工藝環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)虛擬匹配問(wèn)題的快速診斷，有助于問(wèn)題整改。

4 結(jié)論和展望

4.1 結(jié)論

a.通過(guò)結(jié)合線性疊加原理和有限元法的傳遞系數(shù)矩陣法，可快速計(jì)算帶尺寸偏差汽車(chē)柔性件的變形。通過(guò)實(shí)例證明方法的有效性，為整車(chē)虛擬匹配的生產(chǎn)線實(shí)時(shí)公差仿真提供了1種解決方案。

b.通過(guò)基于稀疏主成分的偏差源統(tǒng)計(jì)分析法，可從樣本數(shù)據(jù)中快速識(shí)別占主要作用的變形模式及對(duì)應(yīng)的稀疏化的主導(dǎo)變量，提升了偏差源物理意義的解讀能力。通過(guò)實(shí)例證明方法的有效性，為整車(chē)虛擬匹配零部件尺寸偏差源的快速診斷提供了1種解決方案，有利于整車(chē)虛擬匹配狀態(tài)的高效整改。

表3 主成分分析和稀疏主成分分析載荷系數(shù)對(duì)比

4.2 展望

a.傳遞系數(shù)矩陣法中傳遞系數(shù)的獲取需耗費(fèi)一定的有限元建模、求解計(jì)算和后處理時(shí)間，有必要通過(guò)流程梳理和軟件二次開(kāi)發(fā)提高這部分工作的自動(dòng)化效率，進(jìn)一步降低此方法的應(yīng)用門(mén)檻。

b.結(jié)合聚類(lèi)分析和稀疏主成分分析，實(shí)現(xiàn)樣本分類(lèi)，并分析變量隨時(shí)間的變化特征，將有助于虛擬匹配整改階段偏差源的動(dòng)態(tài)診斷和監(jiān)控。