季葉紅

考點一 因式分解的定義

例1 （2019·廣西柳州）下列式子是因式分解的是（）。

A.x（x-1）=x2-x B.x2-x=x（x+1）

C.x2+x=x（x+1） D.x2-x=x（x+1）（x-1）

【分析】根據(jù)因式分解的定義即可作出判斷。

解：A.x（x-1）=x2-x是整式的乘法，不是分解因式，故本選項錯誤;

B、D左邊的式子≠右邊的式子，故均錯誤;

C.x2+x=x（x+1）是整式積的形式，是分解因式，故本選項正確。

故選C。

【點評】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫作把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。

考點二 因式分解的直接應(yīng)用

例2 （2020·江蘇無錫）因式分解：ab2-2ab+a=。

【分析】本題有公因式，可先提公因式a，再對余下的多項式進行觀察，有3項，可利用完全平方公式繼續(xù)分解。

解：原式=a（b2-2b+1）=a（b-1）2。

故答案為a（b-1）2。

【點評】因式分解的一般步驟是“一提二看三查”。首先提取公因式，如有則提取;然后看項數(shù)，兩項考慮平方差或立方和、差公式，三項考慮完全平方公式或十字相乘法，四項及以上考慮分組分解;最后檢查是否分解徹底。

考點三 因式分解在分式運算中的應(yīng)用

例3 （2020·江蘇揚州）計算或化簡：[x-1x]÷[x2-1x2+x]。

【分析】直接將分式的分子與分母分解因式，進而化簡得出答案。

解：原式=[x-1x]?[x（x+1）（x-1）（x+1）]=1。

【點評】本題考查了分式的化簡求值，能正確進行因式分解是解題的關(guān)鍵。

考點四 因式分解在解一元二次方程中的應(yīng)用

例4 （2020·江蘇南京）解方程：x2-2x-3=0。

【分析】通過觀察方程形式，本題可用因式分解法進行解答。

解：原方程可以變形為（x-3）（x+1）=0，

∴x-3=0或x+1=0，

∴x1=3或x2=-1。

【點評】在運用十字相乘法分解因式時應(yīng)注意：若二次項系數(shù)為1，則常數(shù)項應(yīng)分解成兩個數(shù)的積，且這兩個數(shù)的和應(yīng)等于一次項系數(shù);若二次項系數(shù)不為1，還要注意二次項系數(shù)的分解。

（作者單位：江蘇省常熟市實驗中學(xué)）