施長燕

“數(shù)與式”是初中數(shù)學的核心內容之一，它融合在諸多的知識之中。“數(shù)與式”既是重點知識，也是同學們易錯的內容。為了讓同學們能更好地規(guī)避錯誤，掌握所學，下面將“數(shù)與式”中的易錯點進行整理，并結合易錯題型讓大家思考易錯的源頭，感悟糾錯之道。

一、概念本質要心中有數(shù)

易錯點1：無理數(shù)的概念理解不到位。

例1 （2020·四川遂寧）下列各數(shù)3.1415926，[9]，1.212212221…，[17]，2-π，

-2020，[43]中，無理數(shù)的個數(shù)是。

【錯解】在所列實數(shù)中，無理數(shù)有[9]，1.212212221…，2-π，[43]這4個。

故答案為4。

【錯因分析】本題考查的是無理數(shù)的概念，錯誤的主要原因是沒有真正理解無理數(shù)的概念，只看形式，而沒有化簡后再判斷。無理數(shù)的常見類型有：①根號型，如[3]、[5]等開方開不盡的數(shù);②定義型，如1.010010001…（相鄰兩個1之間依次多一個0）等;③含“π”型，如π+2等。而且在判斷之前要先化簡，再結合無理數(shù)的常見類型去判斷。

【正解】∵[9]=3，

∴3.1415926、[9]、[17]和-2020都是有理數(shù)。

∵[43]屬于根號型，2-π屬于含“π”型，1.212212221…屬于定義型，∴這三個都是無理數(shù)。故答案為3。

易錯點2：相反數(shù)、倒數(shù)的概念易混淆。

例2 （2020·江蘇無錫）-7的倒數(shù)是（）。

A.[17]B.7C.[-17]D.-7

【錯解】B。

【錯因分析】本題考查的是倒數(shù)的概念，乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。但有些同學對倒數(shù)的概念把握不到位，易把倒數(shù)與相反數(shù)的概念混淆。絕對值相等、符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù)。有的同學誤認為-7的倒數(shù)是7，而非根據(jù)倒數(shù)的概念，用1去除以這個數(shù)來得到這個數(shù)的倒數(shù)。

【正解】根據(jù)倒數(shù)的定義，-7的倒數(shù)是[-17]。故選C。

易錯點3：平方根與算術平方根的區(qū)別。

例3 （2020·江蘇南京）3的平方根是（）。

A.9B.[3] C.[-3] D.[±3]

【錯解】B。

【錯因分析】本題考查的是平方根，但有同學往往會錯選這個數(shù)的算術平方根。正數(shù)a的平方根為[±a]，是正負兩個值，而其中正值[a]是這個正數(shù)的算術平方根。

【正解】∵（[±3]）2=3，∴3的平方根是[±3]。故選D。

二、解決問題要挖掘條件

易錯點4：實數(shù)的大小比較。

例4 （2020·山東臨沂）下列溫度比-2℃低的是。

A.-3℃ B.-1℃ C.1℃ D.3℃

【錯解】B。

【錯因分析】本題考查的是實數(shù)的大小比較，做錯的原因往往是沒有抓住兩個實數(shù)如何比較大小的本質。任意兩個實數(shù)比較大小要遵循：（1）在數(shù)軸上表示的兩點，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大;（2）正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù);（3）兩個正數(shù)中，絕對值大的數(shù)大;（4）兩個負數(shù)中，絕對值大的反而小。

【正解】根據(jù)兩個負數(shù)，絕對值大的反而小可知。故選A。

易錯點5：代數(shù)式有意義。

例5 （2020·湖南常德）若代數(shù)式[22x-6]在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是。

【錯解】由2x-6≥0，可得x≥3。

【錯因分析】本題考查的是二次根式和分式有意義的條件，關鍵是要掌握：（1）分式分母不為0;（2）被開方數(shù)是非負數(shù)。而在解決本題的過程中，有的同學只考慮了被開方數(shù)是非負數(shù)，而忽略了分母不為0。本題的被開方數(shù)還在分母上，因考慮不周全而導致求取值范圍時出錯。

【正解】根據(jù)題意，得[2x-6≥0，2x-6≠0，]

解得[x≥3，x≠3，]

∴x的取值范圍是x>3。

故答案為x>3。

易錯點6：分式的值為0時，易忽視分母不能為0。

例6 （2019·山東聊城） 如果分式[x-1x+1]的值為0，那么x的值為（）。

A.-1B.1C.-1或1 D.1或0

【錯解】由[x]-1=0， 解得x=±1。故選C。

【錯因分析】本題考查的是分式的值為0。分式的值為0的條件應是滿足分子為0且分母不為0。本題之所以解錯，是因為只考慮到分子為0，即[x-]1=0，而忽視了分式有意義的條件：分母不為0，即x+1≠0。

【正解】根據(jù)題意，得[x-1=0，x+1≠0，]

解得[x=±1，x≠-1，]

∴x=1。故選B。

三、綜合運算要步步為營

易錯點7：運算時要把好符號關。

例7 （2020·江蘇徐州）計算：（-1）2020

+[2-2]-（[12]）-1。

【錯解】原式=-1+[2]-2-2

=[2]-5。

【錯因分析】本題考查的是實數(shù)的運算，要正確進行實數(shù)的運算，就要掌握好與實數(shù)有關的概念、性質，靈活地運用各種運算律，關鍵是把好符號關。如遇到去絕對值問題，就要思考絕對值里的是正數(shù)還是負數(shù)。正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)。本題出錯是因為去絕對值時，未處理好符號問題，同時求（-1）2020時，符號也出現(xiàn)問題，導致出現(xiàn)計算錯誤。

【正解】原式=1-（[2-2]）-2

=1-[2]+2-2

=1-[2]。

易錯點8：分式運算要綜合考慮。

例8 （2020·山東德州）先化簡：（[x-1x-2]-[x+2x]）÷[4-xx2-4x+4]，然后選擇一個合適的x值代入求值。

【錯解】原式=[[x（x-1）x（x-2）-（x+2）（x-2）x（x-2）]]

÷[4-x（x-2）2]

=[x2-x-x2+4x（x-2）]?[（x-2）24-x]

=[4-xx（x-2）]?[（x-2）24-x]

=[x-2x]。

當x=4時，原式=[12]。

【錯因分析】本題考查的是分式的運算。進行分式的運算時，要綜合考慮：①運算法則和符號的變化;②分子或分母是多項式時，要分解因式且要分解到不能分解為止;③結果應化為最簡分式。本題出錯的原因是在取值時沒有考慮“分母不為0”，即x≠0和x-2≠0，同時忽視了除數(shù)不能為0的條件，即4-x≠0。故x≠0，x≠2，x≠4。

【正解】原式=[[x（x-1）x（x-2）-（x+2）（x-2）x（x-2）]]

÷[4-x（x-2）2]

=[x2-x-x2+4x（x-2）]?[（x-2）24-x]

=[4-xx（x-2）]?[（x-2）24-x]

=[x-2x]。

由分式有意義知x≠0，x≠2，x≠4，

當x=3時，原式=[13]。

總之，同學們想要在“數(shù)與式”的應用中減少錯誤，就必須注重基礎知識的理解和基本技能的掌握，真正做到心中有“數(shù)”。

（作者單位：江蘇省常熟市濱江實驗中學）