段劉宇

在“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”中，我們用從特殊到一般的方法，依據(jù)“三角形的內(nèi)角和是180°”得出多邊形內(nèi)角和的一般結(jié)論：180°?（n-2）（其中n為多邊形的邊數(shù)）。教材上是從四邊形開始，通過添加輔助線，把四邊形分成2個(gè)三角形，把五邊形分成3個(gè)三角形，把六邊形分成4個(gè)三角形……然后一般化，把n邊形分成（n-2）個(gè)三角形，最終獲得結(jié)論（當(dāng)然分割轉(zhuǎn)化的方法不唯一）。

教材上研究的都是凸多邊形。凸多邊形指如果把多邊形的任意一條邊向兩方無限延長(zhǎng)成為一直線時(shí)，其他各邊都在此直線的同一旁的多邊形。凸多邊形的內(nèi)角沒有一個(gè)是優(yōu)角（大于180°且小于360°的角），如圖1。凹多邊形指把一個(gè)多邊形的某條邊向兩方無限延長(zhǎng)成為一直線時(shí)，其他各邊不全在此直線的同一旁的多邊形。凹多邊形的內(nèi)角中至少有一個(gè)優(yōu)角，如圖2。凹多邊形的內(nèi)角和也是一樣的結(jié)論嗎？

我們可以先回顧一下探究凸多邊形內(nèi)角和的方法，然后將同樣的辦法遷移到探究凹多邊形的內(nèi)角和中。

以凹四邊形為例，如圖3。連接點(diǎn)A和點(diǎn)C，線段AC把這個(gè)凹四邊形分為兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的內(nèi)角和就是這個(gè)凹四邊形的內(nèi)角和，即2×180°=360°?？吹竭@個(gè)結(jié)果，我們不由自主地猜想：凹多邊形的內(nèi)角和公式會(huì)不會(huì)跟凸多邊形的內(nèi)角和公式一樣呢？多舉幾個(gè)例子，如表1。

這樣，我們就更有理由歸納一般性規(guī)律，即凹n邊形內(nèi)角和為180°?（n-2）（其中n為多邊形的邊數(shù)），這與凸n邊形的結(jié)論一樣。

但這仍然是片面的，如果凹多邊形包含兩個(gè)及以上優(yōu)角，該結(jié)論還能不能成立呢？不妨以包含兩個(gè)優(yōu)角的凹多邊形為例，如表2。

我們?nèi)匀豢梢灶愃频厝タ紤]含3個(gè)優(yōu)角（從凹八邊形開始）的凹多邊形，特殊的例子越充分、越全面，我們就越有信心確信凹n邊形內(nèi)角和的結(jié)論。

因此，不論是凸多形還是凹多邊形，可以得到一個(gè)關(guān)于多邊形內(nèi)角和的通用公式，即n邊形的內(nèi)角和為180°?（n-2）（其中n為多邊形的邊數(shù)）。

這是一個(gè)多么簡(jiǎn)潔美妙的結(jié)論啊！小伙伴們，從特殊到一般，這是我們?cè)诳唇滩?、學(xué)新知的時(shí)候，經(jīng)常碰到的方法。特殊的例子中蘊(yùn)含著一般的規(guī)律，一般的規(guī)律可以用特殊的例子驗(yàn)證。當(dāng)我們運(yùn)用這種方法遷移運(yùn)用、研究問題的時(shí)候，就能體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)的樂趣，體會(huì)到結(jié)論的美妙，領(lǐng)悟到方法的神奇。同學(xué)們，在遇到具有一般性的問題時(shí)，試著用特殊到一般的方法大膽探索吧。

教師點(diǎn)評(píng)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是記住結(jié)論，更應(yīng)該掌握數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過程及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，更包含在過程中所感受到的積極情感、數(shù)學(xué)之美和嚴(yán)謹(jǐn)求證的價(jià)值觀念等。小作者不僅能夠?qū)W好多邊形內(nèi)角和的結(jié)論，還能夠把結(jié)論形成過程中的方法遷移到更全面的多邊形的不同類別中，最終形成了更全面的認(rèn)識(shí)。在這個(gè)過程中，他不僅學(xué)會(huì)了知識(shí)，更掌握了方法，還領(lǐng)悟了特殊與一般的關(guān)系，獲得了美好的體驗(yàn)，產(chǎn)生了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極的興趣。他的這種學(xué)習(xí)方法，值得同學(xué)們借鑒。

（指導(dǎo)教師：鐘 鳴）