苗 雨, 丁琪皓, 陳 浙, 鄭俊杰, 李繼能

(1.華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430074; 2.武漢華中科大土木工程檢測中心,湖北 武漢 430074)

0 引言

工程經(jīng)驗表明,土體參數(shù)即使在同質(zhì)層中也會表現(xiàn)出顯著差異。這種不確定性在傳統(tǒng)的計算中經(jīng)常會被忽略,而采用均值代替。在大多數(shù)情況下,這種處理方法并不準(zhǔn)確甚至是錯誤的。因此如何正確地模擬土體參數(shù)的空間變異性是一個富有挑戰(zhàn)性的問題。

隨機(jī)場理論為土體空間變異性的模擬提供了有效途徑。目前關(guān)于隨機(jī)場模擬分析方面的文獻(xiàn)較多,如Vanmarcke等[1]提出隨機(jī)場模型,視土層為統(tǒng)計均勻的前提下,運(yùn)用方差、方差折減函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和波動范圍等隨機(jī)場的數(shù)字特征來描述土性參數(shù)的空間分布。Griffiths等[2-4]將蒙特卡羅法(MCS)用于隨機(jī)場分析中,對比考慮空間變異性后結(jié)構(gòu)的失效概率變化。吳振君等[5]將隨機(jī)場模擬和區(qū)域化變量理論的Kriging 方法結(jié)合,建立約束隨機(jī)場。閆澍旺等[6]研究了隨機(jī)場方差折減函數(shù)的確定原則,并通過算例說明了折減原則的合理性。史良勝等[7]研究了Karhunen-Loeve(KL)展開在土性參數(shù)隨機(jī)場模擬中的應(yīng)用。Shinozuka等[8-9]比較了SRM與KL方法在隨機(jī)場離散中的優(yōu)劣,證明在相關(guān)距離較短時KL方法收斂難度較大。盡管上述方法在巖土工程隨機(jī)場分析中得到了一定的應(yīng)用,但仍然存在很多不足。如方差折減法需要大量數(shù)據(jù)確定其折減函數(shù)。MCS方法需要更大數(shù)量級的樣本數(shù)量和計算時間,計算代價過大。KL方法需要解決Fredholm積分方程問題。更重要的是,在實際工程中土體參數(shù)一般為多維多變量隨機(jī)場,而傳統(tǒng)的隨機(jī)場方法僅考慮參數(shù)的自相關(guān)性,即僅解決多維單變量問題,并未考慮到參數(shù)間的互相關(guān)性。

本文將SRM與SVM結(jié)合,提出一種能兼顧參數(shù)自相關(guān)性與互相關(guān)性的隨機(jī)場模擬方法,并在此基礎(chǔ)上研究土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)隨機(jī)場模擬問題。

1 基本理論

1.1 譜表示法

譜表示法將隨機(jī)場離散為N1個具有隨機(jī)相位角的三角函數(shù),一維隨機(jī)場公式:

(1)

式中:φi(i=1,…,N1)為在[0,2π]區(qū)間服從標(biāo)準(zhǔn)分布的獨立隨機(jī)相位角,頻率設(shè)定為:

(2)

式中:κ1u為截斷波數(shù)。幅值A(chǔ)i可用下式確定:

(3)

其中:Sf0為非負(fù)函數(shù)κ1的功率譜密度函數(shù)。式(1)的模擬過程構(gòu)成了隨機(jī)場的頻譜表示。

當(dāng)隨機(jī)場為二維或三維時,式(1)改寫為以下形式:

(4)

和

式中:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

κ1i=iΔκ1;κ2i=jΔκ2;κ3i=kΔκ3

(13)

1.2 自相關(guān)函數(shù)

土體參數(shù)空間變異性分析時常采用自相關(guān)函數(shù)描述隨機(jī)場計算區(qū)域內(nèi)任意兩個不同空間位置處土體參數(shù)間的自相關(guān)性[10]。對于土體的自相關(guān)函數(shù),尚無一個確定的結(jié)論,常用的型式有指數(shù)型和指數(shù)余弦型。出于簡化計算的考慮,本文采用各向同性指數(shù)平方型相關(guān)函數(shù)[11],其表達(dá)式為:

(14)

式中:b為隨機(jī)場的相關(guān)距離。

1.3 支持向量機(jī)

SVM的基本思想是通過非線性變化把原數(shù)據(jù)空間映射到某一高維的特征空間,然后在這個新空間中求取最優(yōu)線性分類面,使得該超平面將兩類樣本正確無誤地分開且使分類間隔最大[12]。這種非線性變化通過定義適當(dāng)?shù)膬?nèi)積函數(shù)加以實現(xiàn)。SVM的特點在于根據(jù)有限的樣本信息在模型的復(fù)雜性(對特定訓(xùn)練樣本的學(xué)習(xí)精度)和學(xué)習(xí)能力(無錯誤地識別任意樣本的能力)之間尋求最佳折中,以獲得最好的推廣能力[13-14]。

對于給定一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xk,yk),xi∈Rn,yi∈R,我們的目標(biāo)是尋找一個n維空間中的線性函數(shù)

f(x)=w·x+b

(15)

使得對于所有從訓(xùn)練數(shù)據(jù)中獲得的目標(biāo)數(shù)據(jù)yi的偏差最小。

經(jīng)過整理,最優(yōu)分類面問題可以表示成如下的約束優(yōu)化問題,求函數(shù)

(16)

的最小值。

對于現(xiàn)行不可分情況,根據(jù)統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論,可以通過在約束條件中引入松弛變量,并在目標(biāo)函數(shù)中加入罰函數(shù)來解決這一問題。式(16)即可演變?yōu)橄率?

(17)

式中:C為常數(shù),起控制對錯分樣本懲罰程度的作用,能實現(xiàn)錯分樣本的比例與算法復(fù)雜度之間的折中。若C過大,就會引起過學(xué)習(xí),影響分類器的泛化能力。使用優(yōu)化算法,式(17)即可轉(zhuǎn)化為一個雙優(yōu)化問題,即求函數(shù)

(18)

的最大值。解決上述優(yōu)化問題后,即可得到回歸方程:

(19)

如果一個問題在其定義的空間中不是線性可分的,可以考慮通過引入核函數(shù)K(xi,xj)把問題轉(zhuǎn)換到一個新的空間中,相應(yīng)的判別函數(shù)為:

(20)

本文采用徑向基核函數(shù)[15-16],其形式為:

(21)

式中:g是核函數(shù)中的重要參數(shù),影響著SVM算法的復(fù)雜程度。

1.4 SRM與SVM耦合算法

對于給定一組樣本數(shù)據(jù)(x11,…x1j,…x1m),(x21,…x2j,…x2m),…,(xn1,…xnj,…xnm),可得參數(shù)矩陣X

(22)

由式(22)可得參數(shù)間的相關(guān)矩陣C。SRM與SVM耦合其主要內(nèi)容包括以下步驟:

(1) 選擇一種參數(shù)作為訓(xùn)練集x,剩余參數(shù)為訓(xùn)練集y;

(2) 土體參數(shù)間的非線性關(guān)系可用SVM(X)表示:

SVM(x) :Rn→R
y=SVM(x),
x=(x1,x2,…,xn)
y=(y1,y2,…,yn)

(23)

(3) 求解二次優(yōu)化問題,得到對應(yīng)的支持向量機(jī)模型;

(4) 使用最佳算法:如粒子群算法、網(wǎng)格搜索法或遺傳算法搜尋最優(yōu)參數(shù):C和g;

(5) 聯(lián)合步驟(3)與(4)得到最優(yōu)支持向量機(jī)模型;

(6) 采用各向同性指數(shù)平方型相關(guān)函數(shù)來表征土體參數(shù)的自相關(guān)性;

(7) 使用SRM模擬土體參數(shù)x;

(8) 使用式(23),即可得到剩余參數(shù)的模擬數(shù)據(jù)。

2 算例

本文以土體抗剪強(qiáng)度參數(shù):黏聚力c(kPa)、內(nèi)摩擦角φ(°)為例進(jìn)行分析。土體黏聚力和內(nèi)摩擦角間存在明顯的統(tǒng)計負(fù)相關(guān)性,且二者大多服從非正態(tài)分布,故其服從二維二元隨機(jī)場分布。取30組樣本數(shù)據(jù)[17]為訓(xùn)練集,場地大小為50 m×50 m,具體數(shù)值見表1,基本指標(biāo)見表2。

表1 土體三軸試驗抗剪強(qiáng)度參數(shù)

表2 土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)基本指標(biāo)

若采用傳統(tǒng)SRM模擬此二維二元隨機(jī)場,則可用式(14)得到自相關(guān)函數(shù)Rf0f0(ξ1,ξ2),對應(yīng)的功率譜密度函數(shù)Sf0f0(x1,x2)可采用快速傅里葉變換得到。土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)隨機(jī)場基本指標(biāo)的具體數(shù)值見表3。

表3 SRM離散隨機(jī)場基本指標(biāo)

表3與表2對比可知,使用傳統(tǒng)SRM方法離散多元隨機(jī)場后,變量間的相關(guān)性發(fā)生了很大變化,說明此方法僅考慮了變量間的自相關(guān)性,并未考慮變量間的互相關(guān)性,與實際情況并不相符。

表4 SRM與SVM耦合離散隨機(jī)場基本指標(biāo)

圖1給出了傳統(tǒng)SRM方法與耦合算法離散隨機(jī)場后內(nèi)摩擦角的概率密度函數(shù)曲線。二者比較可知,耦合算法在自相關(guān)性上與傳統(tǒng)SRM方法擬合較好,說明耦合算法在隨機(jī)場模擬過程中比較好地保留了參數(shù)的自相關(guān)性。

圖1 內(nèi)摩擦角概率密度函數(shù)Fig.1 Probability density function of the internal friction angle

表4與表2對比可知,使用此方法離散隨機(jī)場所得協(xié)方差矩陣與原始數(shù)據(jù)吻合較好,表明在隨機(jī)場離散過程中未改變黏聚力c與內(nèi)摩擦角φ的互相關(guān)性,更加符合工程實際。

3 結(jié)論

本文提出采用譜表示法與支持向量機(jī)法耦合模擬多維多元隨機(jī)場,通過對比土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)隨機(jī)場模擬過程中相關(guān)性的變化,探討傳統(tǒng)譜表示法與耦合算法對互相關(guān)性的影響。通過上述分析,可以得到以下結(jié)論:與傳統(tǒng)的譜表示法相比,采用本文提出的耦合算法,不僅可以模擬變量的自相關(guān)性,還可以兼顧變量間的互相關(guān)性,全面地反映了空間變異性,更加有利于工程設(shè)計計算。