張欣悅，雷一凡，劉培培，包芳勛，張?jiān)品?/p>

可變參數(shù)的有理分形插值曲線建模

張欣悅1，雷一凡1，劉培培2，包芳勛1，張?jiān)品?

(1. 山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100；2. 山東財(cái)經(jīng)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

為了有效地處理復(fù)雜真實(shí)現(xiàn)象中的不規(guī)則數(shù)據(jù)，提出一種利用有理分形插值進(jìn)行分形曲線建模的方法。首先，基于傳統(tǒng)的具有形狀參數(shù)的有理樣條，構(gòu)造了一類具有函數(shù)尺度因子的有理迭代函數(shù)系統(tǒng)，并定義了有理分形插值曲線。然后，研究了有理分形曲線的一些重要性質(zhì)，包括光滑性、穩(wěn)定性以及收斂性。最后，估計(jì)了有理分形曲線計(jì)盒維數(shù)的上下界。提出的可變參數(shù)的有理分形插值推廣了傳統(tǒng)的單變量有理樣條，適用于擬合不規(guī)則數(shù)據(jù)或逼近具有連續(xù)但不規(guī)則導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，具有更好的靈活性和多樣性。數(shù)值實(shí)例和曲線建模表明，該方法不僅在視覺效果上明顯優(yōu)于Bézier插值，B樣條插值以及基于多項(xiàng)式的分形插值方法，而且在均方根誤差的數(shù)值對(duì)比中也具有顯著優(yōu)勢(shì)。

有理分形插值；函數(shù)尺度因子；不規(guī)則數(shù)據(jù)；分析性質(zhì)；曲線建模

由迭代函數(shù)系統(tǒng)(iterated function system，IFS)生成的分形插值是處理復(fù)雜真實(shí)現(xiàn)象中高度不規(guī)則數(shù)據(jù)的一種強(qiáng)大而有效的工具。目前，許多研究對(duì)分形插值曲線做出貢獻(xiàn)。例如，文獻(xiàn)[1-5]討論了分形插值函數(shù)(fractal interpolation functions，F(xiàn)IFs)和遞歸分形插值函數(shù)(recursive fractal interpolation functions，RFIFs)的構(gòu)造。單變量FIFs的一些重要性質(zhì)已經(jīng)被探討，包括分形維數(shù)、中心變差、光滑性、穩(wěn)定性和擾動(dòng)誤差等[6-9]。進(jìn)一步的，F(xiàn)IFs被推廣到Hermite分形插值和樣條分形插值[10-12]。近年來，一些文獻(xiàn)詳細(xì)討論了正數(shù)據(jù)、單調(diào)數(shù)據(jù)和凸數(shù)據(jù)等形狀數(shù)據(jù)的保形問題[13-15]。

在以上的研究中，F(xiàn)IFs的垂直尺度因子僅限于常數(shù)。這種分形插值具有明顯的自相似特征，很難對(duì)自相似性較小的不規(guī)則數(shù)據(jù)進(jìn)行精確擬合或逼近。于是，為了有效處理復(fù)雜真實(shí)現(xiàn)象中的不規(guī)則數(shù)據(jù)，研究可變參數(shù)分形插值是一個(gè)重要的課題。然而，迄今為止這一問題還沒有得到很好的探索，只有少數(shù)文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[16]給出了可變參數(shù)FIF的顯式函數(shù)形式；文獻(xiàn)[17]在普遍使用的IFS的基礎(chǔ)上提出了一類可變參數(shù)的FIFs，并研究了FIFs的一些分析性質(zhì)。本質(zhì)上，以上研究均是基于多項(xiàng)式的帶有函數(shù)尺度因子的分形函數(shù)，其生成的分形函數(shù)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，但不夠靈活。相對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)而言，有理函數(shù)能夠更有效、更靈活地描述復(fù)雜的真實(shí)現(xiàn)象。對(duì)于具有可變尺度因子的有理分形插值已經(jīng)引起了學(xué)者們的關(guān)注。文獻(xiàn)[18]基于經(jīng)典有理三次樣條，提出了一類光滑有理樣條分形插值函數(shù)(rational spline fractal interpolation functions，RSFIFs)，很好地逼近了原始函數(shù)；文獻(xiàn)[19]在經(jīng)典的有理三次樣條基礎(chǔ)上構(gòu)造了1連續(xù)的RSFIFs，實(shí)現(xiàn)了對(duì)分形曲線的約束和保單調(diào)；文獻(xiàn)[20]使用具有函數(shù)尺度因子的有理IFS生成了分形插值，估計(jì)了計(jì)盒維數(shù)的上下界。目前，對(duì)于可變參數(shù)有理分形插值的研究已經(jīng)成為一個(gè)重要的課題。

本文利用可變參數(shù)單變量有理FIFs構(gòu)造了一種新的分形插值曲線，研究了有理FIFs的光滑性、穩(wěn)定性和收斂性，并估計(jì)了有理分形曲線計(jì)盒維數(shù)的上下界。本文所研究的單變量有理插值能夠提供插值對(duì)象的形狀屬性和導(dǎo)數(shù)的分形性，比現(xiàn)有插值方法更具靈活性和多樣性。

1 分形曲線IFS

目前最常用的FIFs基于以下IFS，即

2 函數(shù)尺度因子有理分形插值曲線的構(gòu)造

本文提出一種帶有函數(shù)尺度因子的分形曲線。可以將這類分形曲線視為由有理擾動(dòng)曲線得到的有理插值曲線的“分形擾動(dòng)”。

類似于式(4)的結(jié)構(gòu)，擾動(dòng)基函數(shù)B()可以描述為

本文在式(4)和式(5)下改進(jìn)的IFS。定義

3 有理FIFs的性質(zhì)

3.1 有理FIFs的光滑性

在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，由IFS生成的有理分形曲線是光滑的，且下面的定理成立。

證畢。

進(jìn)而可得

3.2 有理分形曲線的穩(wěn)定性

3.2.1 有理FIFs基函數(shù)表達(dá)式

有理FIFs基函數(shù)表達(dá)式如下

由式(20)，式(16)定義的FIFs具有如下形式

3.2.2 有理FIFs穩(wěn)定性分析

插值函數(shù)的穩(wěn)定性是評(píng)價(jià)插值函數(shù)質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，其衡量插值函數(shù)對(duì)插值數(shù)據(jù)擾動(dòng)的抗干擾能力。

證明：由式(16)可知

由式(20)和式(22)可得

同樣有

證畢。

3.3 有理FIFs的收斂性

由式(20)和式(22)可得

因此，可以確定上界

另外，通過三角不等式和式(7)，有

因此，只需要討論式(32)右邊的第二個(gè)和。

根據(jù)式(33)可得

其中，

根據(jù)式(37)可得

其中，

基于以上分析，可以得出定理3。

3.4 有理分形曲線的計(jì)盒維數(shù)

曲線的分形維數(shù)是曲線不規(guī)則性的度量，其描述了曲線的粗糙度。下面將研究上述有理分形曲線的計(jì)盒維數(shù)。

由引理2，每個(gè)區(qū)間I內(nèi)的最大范圍為

其中，

且

因此，根據(jù)式(49)，可得

因此，可以推導(dǎo)出

因此

通過式(49)，可得

因此

證畢。

注2.當(dāng)垂直尺度因子函數(shù)s()為常數(shù)s時(shí)，吸引子的計(jì)盒維數(shù)如下：

4 數(shù)值實(shí)例和曲線建模

4.1 數(shù)值實(shí)例

表1 插值數(shù)據(jù)

表2 表1的擾動(dòng)數(shù)據(jù)

圖1 具有不同函數(shù)標(biāo)度因子的有理分形曲線((a)分形曲線j1(x)；(b)分形曲線j2(x)；(c)分形曲線j3(x)；(d)分形曲線j4(x))

圖2 具有不同函數(shù)標(biāo)度因子的光滑有理分形曲線((a)分形曲線j1(x)；(b)分形曲線j2(x)；(c)分形曲線j3(x)；(d)分形曲線j4(x))

圖3 有理分形曲線在插值數(shù)據(jù)擾動(dòng)下的穩(wěn)定性((a)誤差曲線；(b)誤差曲線； (c)誤差曲線；(d)誤差曲線)

4.2 自然對(duì)象建模

算例中，采用有理分形插值模型擬合海岸線。本文從NOAA獲取數(shù)據(jù)(北緯：5°32.88096?至5°59.12388?；東經(jīng)：5°2.02002?至5°33.25278?)。圖4(a)為海岸線原始曲線。圖4(b)，圖4(c)和圖4(d)分別為Bézier曲線，B樣條曲線和基于多項(xiàng)式分形插值的曲線建模結(jié)果。圖4(e)為本文提出的有理分形插值函數(shù)曲線建模結(jié)果。從圖中可以看出，與其他3種方法相比，本文方法能更有效地保留局部細(xì)節(jié)。

圖4 不同方法在海岸線上的比較((a)原始曲線； (b) Bézier；(c) B-spline；(d)基于多項(xiàng)式的分形插值； (e)本文方法)

另外，本文采用均方根誤差(root mean square error，RMSE)作為真實(shí)值與擬合值的誤差分析指標(biāo)，其是預(yù)測(cè)值與真實(shí)值偏差的平方與觀測(cè)次數(shù)比值的平方根，對(duì)誤差反映敏感，能夠很好地反映出測(cè)量的精密度。不同方法的誤差值大小見表3。從表中可以看出，與Bézier，B樣條以及基于多項(xiàng)式的分形插值相比，本文方法誤差數(shù)值明顯低于另外3種方法，進(jìn)一步印證了可變參數(shù)的有理分形插值優(yōu)于其他插值方法。

表3 不同方法的誤差值

4.3 機(jī)翼形狀建模

本文提出的有理分形插值函數(shù)不僅可以對(duì)分形數(shù)據(jù)集進(jìn)行擬合與逼近，還可以描述一般數(shù)據(jù)集(當(dāng)s()滿足定理1的條件時(shí)，相應(yīng)的FIFS是光滑的)。以用于飛機(jī)工業(yè)的機(jī)翼形狀設(shè)計(jì)為例，其數(shù)據(jù)來源UIUC翼型坐標(biāo)數(shù)據(jù)庫(kù)。圖5(a)為原始曲線，圖5(b)~(d)分別為Bézier插值，B樣條插值和基于多項(xiàng)式分形插值的曲線擬合結(jié)果，圖5(e)為本文提出的可變參數(shù)的有理分形插值曲線擬合結(jié)果。圖像右上方紅色矩形框與右下方藍(lán)色矩形框?yàn)榫植糠糯髨D像，整體擬合圖像表明，4種方法均能實(shí)現(xiàn)對(duì)一般數(shù)據(jù)集的擬合，但從局部細(xì)節(jié)可以看出，與本文方法對(duì)比，Bézier插值曲線擬合效果差異較大，基于多項(xiàng)式分形插值的曲線擬合效果光滑度相對(duì)不足，B樣條插值曲線擬合效果與本文方法差異不大，說明B樣條插值與本文方法在擬合簡(jiǎn)單的一般數(shù)據(jù)集時(shí)均具有良好的效果，由此看出，本文方法在對(duì)一般數(shù)據(jù)集進(jìn)行擬合和逼近時(shí)具有較好的競(jìng)爭(zhēng)力，可有效地用于曲線的幾何建模。

圖5 不同方法的機(jī)翼形狀擬合曲線((a)原始曲線； (b) Bézier；(c) B-spline；(d)基于多項(xiàng)式的分形插值； (e)本文方法

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種有理分形插值曲線的構(gòu)造方法。在經(jīng)典的有理樣條插值的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一種具有函數(shù)尺度因子的單變量有理FIFs。所建立的有理FIFs在一定的條件下是光滑的，能夠更加逼近原始函數(shù)，并且對(duì)插值數(shù)據(jù)的攝動(dòng)性保持了良好的穩(wěn)定性。

有理FIFs通過選擇合適的IFS參數(shù)值，可以提供插值函數(shù)的形狀特性和導(dǎo)數(shù)的分形性，相較于傳統(tǒng)的非遞歸插值函數(shù)更適合逼近具有連續(xù)不規(guī)則導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。此外，函數(shù)尺度因子的存在為選擇合適的插值曲線提供了更多的靈活多樣性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的可變參數(shù)的有理分形插值曲線在處理實(shí)際問題中具有很好的應(yīng)用價(jià)值。

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Curve modeling using rational fractal interpolation with variable parameters

ZHANG Xin-yue1, LEI Yi-fan1, LIU Pei-pei2, BAO Fang-xun1, ZHANG Yun-feng2

(1. School of Mathematics, Shandong University, Jinan Shandong 250100, China; 2. School of Computer Science and Technology, Shandong University of Finance and Economics, Jinan Shandong 250014, China)

In order to deal with irregular data from complex real phenomena, a constructive approach to fractal curves was proposed using the rational fractal interpolation. First, based on the traditional rational spline with shape parameters, we constructed one class of rational Iterated Function Systems (IFS) with function vertical scaling factors. Rational IFSs were hyperbolic and rational fractal interpolation curves were defined. Then, some important properties of rational fractal curves were investigated, including smoothness, stability and convergence. Finally, lower and upper bounds in the box-counting dimension of rational fractal curves were estimated. The presented rational fractal interpolation with variable parameters generalized the traditional univariate rational spline, which is more suitable for fitting irregular data or approximating a function with continuous but irregular derivatives, and is more flexible and diversiform. Numerical examples and curve modeling show that this method can not only significantly outperform the Bézier interpolation, B-spline interpolation, and polynomial-based fractal interpolation methods in terms of visual effects, but also display prominent advantages in numerical comparison of root mean square errors.

rational fractal interpolation; function scaling factor; irregular data; analytical property; curve modeling

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021020245

A

2095-302X(2021)02-0245-11

2020-09-10；

10 September，2020；

2020-10-23

23 October，2020

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61672018，61972227)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2019MF051)；山東省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃(2018GGX101013)

National Natural Science Foundation of China (61672018, 61972227); Natural Science Foundation of Shandong Province (ZR2019MF051); Key Research and Development Project of Shandong Province (2018GGX101013)

張欣悅(1996-)，女，河北唐山人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)镃AGD、圖像處理。E-mail：812426204@qq.com

ZHANG Xin-yue (1996-), female, master student. Her main research interests cover CAGD and image processing. E-mail：812426204@qq.com

包芳勛(1968-)，男，山東濟(jì)南人，教授，博士。主要研究方向?yàn)楹瘮?shù)逼近、分形、CAGD。E-mail：fxbao@sdu.edu.cn

BAO Fang-xun (1968-), male, professor, Ph.D. His main research interests cover function approximation, fractal and CAGD. E-mail：fxbao@sdu.edu.cn