王 倩，潘 樂(lè)，張潔琳，彭興璇

具有局部性質(zhì)的球面插值樣條曲線的構(gòu)造

王 倩1，潘 樂(lè)1，張潔琳2，彭興璇1

(1. 遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116021；2. 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130023)

高維球面樣條曲線擬合技術(shù)在計(jì)算機(jī)動(dòng)畫和慣性導(dǎo)航等領(lǐng)域都受到廣泛地關(guān)注。實(shí)際中常需球面曲線插值給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并要求曲線具有一定的連續(xù)性和良好的局部性質(zhì)。此前的方法存在一定的局限性。為此，基于球面Bézier曲線，提出了一種僅利用插值點(diǎn)位置信息便可在任意維空間中構(gòu)造2球面插值樣條曲線的新方法。首先，通過(guò)映射擬合出了插值點(diǎn)處的高階導(dǎo)矢，然后給出了曲線段在端點(diǎn)處2Hermite插值的充要條件，即控制頂點(diǎn)的解析計(jì)算方法，最后構(gòu)造出2連續(xù)的球面Bézier插值樣條曲線。該方法屬于局部構(gòu)造方法，樣條曲線上個(gè)別插值點(diǎn)的擾動(dòng)不會(huì)對(duì)全局產(chǎn)生影響；樣條曲線具有顯式表達(dá)式，無(wú)需通過(guò)非線性方程組求解控制點(diǎn)坐標(biāo)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該方法適用范圍廣，局部性質(zhì)好，靈活度高。

球面樣條；球面Bézier曲線；插值；參數(shù)連續(xù)；剛體運(yùn)動(dòng)

隨著現(xiàn)代科技及計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的飛速發(fā)展，球面樣條曲線在很多領(lǐng)域都引起了廣泛地關(guān)注。研究球面樣條曲線的構(gòu)造對(duì)計(jì)算機(jī)動(dòng)畫、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和慣性導(dǎo)航等領(lǐng)域都有重要的理論和實(shí)際意義。例如，在慣性導(dǎo)航和計(jì)算機(jī)動(dòng)畫中，剛體運(yùn)動(dòng)的生成是一個(gè)基本問(wèn)題。剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可用三維球面曲線(或單位四元數(shù)曲線)來(lái)表示。與其他方法相比，單位四元數(shù)具有4個(gè)變量和3個(gè)自由度，因此在描述旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)更具優(yōu)勢(shì)。本文圍繞如何構(gòu)造一段光滑的球面樣條曲線進(jìn)行討論。

歐氏空間中存在著幾種經(jīng)典的樣條曲線的構(gòu)造方法[1]，如Bézier曲線、B樣條曲線以及NURBS曲線等。由于球面的非歐性，無(wú)法直接利用上述幾種方法來(lái)構(gòu)造球面樣條曲線，但以這些方法為基礎(chǔ)，研究人員們建立了多種構(gòu)造球面插值樣條曲線的方法[1-12]，并且各有優(yōu)勢(shì)。下面介紹與本文相關(guān)度最高的2種構(gòu)造方法。

方法2.直接構(gòu)造法[12-20]。Shoemake[9]將歐氏空間中的DE CASTELJAU算法[3]向低維單位球面進(jìn)行了推廣，并給出了2條球面Bézier曲線1光滑拼接的條件。KLETTE等[10]將上述算法推廣到了維單位球面上，并構(gòu)造出了1球面Bézier樣條曲線。進(jìn)一步地，以文獻(xiàn)[8-11]為基礎(chǔ)，文獻(xiàn)[2]對(duì)任意維球面Bézier曲線在端點(diǎn)處的性質(zhì)進(jìn)行了研究，并利用共軛導(dǎo)矢的概念構(gòu)造出2球面Bézier樣條。但是該方法無(wú)法對(duì)曲線形狀進(jìn)行局部控制。Luo等[12]在此基礎(chǔ)上，對(duì)該方法進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化，使得曲線的速度和加速度波動(dòng)更小，同時(shí)放松了對(duì)給定條件的限制，解決了任意插值問(wèn)題解的存在性問(wèn)題。但該方法還存在一些局限性，不僅需要提前給出若干個(gè)插值點(diǎn)的位置信息，還需要給出插值點(diǎn)處的導(dǎo)矢信息，由于球面具有非歐結(jié)構(gòu)，在給定導(dǎo)矢信息時(shí)還需考慮是否滿足相應(yīng)的條件。

為了解決上述研究存在的問(wèn)題，本文提出了一種新的球面樣條曲線的構(gòu)造方法。該方法適用于任意維空間，屬于局部構(gòu)造法，只需相鄰2個(gè)插值點(diǎn)的位置信息即可構(gòu)造出滿足條件的樣條曲線，因此在個(gè)別點(diǎn)發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，也不會(huì)對(duì)全局產(chǎn)生影響，這樣就放松了對(duì)條件的限制，使得算法適用范圍更廣，同時(shí)更加高效。

1 預(yù)備知識(shí)

Popiel和Noakes[2]將DE CASTELJAU算法[3]進(jìn)行了推廣，給出球面Bézier曲線的遞推定義。其定義為：

對(duì)于=2,3,···,,=0,1,···,-1，令

其中

需要注意的是，本文和等符號(hào)的上標(biāo)均表示遞推級(jí)數(shù)，而不表示次冪。

根據(jù)上述定義，Popiel和Noakes[2]給出了一次球面Bézier曲線一些基本性質(zhì)。

引理1. 對(duì)于=0,1,···,-1,?[0,1]，有

另外，Popiel和Noakes[2]還給出了次球面Bézier曲線在端點(diǎn)處的一些性質(zhì)。

2 球面樣條曲線的構(gòu)造

其中，=0,1。

由引理2性質(zhì)(1)和(2)可知，球面Bézier曲線具有端點(diǎn)插值性，所以()可用一條五次的球面Bézier曲線段來(lái)表示，假定其控制頂點(diǎn)為(= 0,1,···,5)。

(2)是線性的；

(3) 若是一條連續(xù)曲線，則是一個(gè)連續(xù)映射。

2.1 C0連續(xù)

本小節(jié)將考慮如何選取()的首末控制頂點(diǎn)，使其插值點(diǎn)和+1。

定理1. 令=1,2,···,，則五次球面Bézier曲線()在端點(diǎn)處滿足式(4)的充分必要條件為

證明：由球面Bézier曲線的端點(diǎn)插值性即可證明該定理。

2.2 C1連續(xù)

本文將考慮如何選取()的中間控制頂點(diǎn)，使其在端點(diǎn)處滿足式(5)。

在給出曲線()的2個(gè)控制頂點(diǎn)1和4的計(jì)算式之前，先介紹與和+1有關(guān)的引理。

引理3. 對(duì)于=1,2,···,，令

證明：由的定義式可知

再由的性質(zhì)(2)可知，即為單位化的。

在上述工作的基礎(chǔ)上，可以給出五次球面Bézier曲線()控制頂點(diǎn)1和4的計(jì)算式。

定理2. 令=1,2,···,，則五次球面Bézier曲線()在端點(diǎn)處滿足式(4)和式(5)的充分必要條件是式(8)，以及

和

成立。

證明：首先證明必要性，已知有式(8)，式(12)和式(13)成立，直接計(jì)算即可證得()在端點(diǎn)處滿足式(5)。

接著證明充分性，根據(jù)定理1可知球面Bézier曲線()在端點(diǎn)處滿足0連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)式(8)成立。進(jìn)一步地，由引理2條件(3)和引理1條件(1)可知

將式(9)代入式(14)可得

由此可以得到式(12)。

類似地，式(13)也成立，進(jìn)而定理得以證明。

進(jìn)一步地，借助引理3，式(13)還可以表示為

2.3 C2連續(xù)

根據(jù)參數(shù)連續(xù)性的定義可知，若曲線段在連接點(diǎn)處一階和二階導(dǎo)矢均相等，則在該點(diǎn)處是2連續(xù)的。本文利用該定義對(duì)曲線()的2Hermite插值問(wèn)題進(jìn)行了研究。

因此需要引入系數(shù)，并通過(guò)式(19)來(lái)擬合出球面曲線()在點(diǎn)處的二階導(dǎo)矢。

為了簡(jiǎn)化表達(dá)，令

在上述工作的基礎(chǔ)上，可以給出五次球面Bézier曲線()控制頂點(diǎn)2和3的計(jì)算式。

定理3 令=,1,2,···,，則五次球面Bézier曲線()在端點(diǎn)處滿足式(4)~(6)的充分必要條件是：表達(dá)式(8)，(12)和(13)，以及

和

成立，其中

證明：首先對(duì)必要性進(jìn)行證明，已知2和2的顯式表達(dá)式(28)和式(29)，顯然可證得()在端點(diǎn)處滿足式(6)。

用向量1與式(20)的兩端同時(shí)作內(nèi)積，得到

將式(31)~(33)代入式(34)中，可得

類似地，式(29)也可證得。

利用上述結(jié)果，即可構(gòu)造出2連續(xù)的球面插值樣條曲線。

3 實(shí) 驗(yàn)

通過(guò)實(shí)例證明本文方法的優(yōu)勢(shì)。

圖1 基于原始數(shù)據(jù)的球面插值樣條曲線(藍(lán)色曲線)和擾動(dòng)數(shù)據(jù)的球面插值樣條曲線(紅色曲線)

需注意的是，基于四元數(shù)的球面樣條曲線構(gòu)造方法[4,7-8]是無(wú)法應(yīng)用到二維球面上的。

本文方法也可應(yīng)用到高維球面上，例如剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的插值，即單位四元數(shù)樣條曲線的插值。

例2.給定剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的插值數(shù)據(jù)(表1)，借助四元數(shù)的相關(guān)知識(shí)[4,8-9]可分別求出其對(duì)應(yīng)的四元數(shù)組，即

利用本文方法，可以得到2連續(xù)的單位四元數(shù)插值樣條曲線，進(jìn)而得到相應(yīng)的光滑的剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。圖2是剛體中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，此時(shí)，剛體的中心點(diǎn)與世界坐標(biāo)系原點(diǎn)不重合(在三維歐氏空間中安裝一個(gè)正交標(biāo)架，稱為世界坐標(biāo)系，在剛體上安裝一個(gè)正交標(biāo)架，稱為移動(dòng)坐標(biāo)系，則剛體運(yùn)動(dòng)可以視為世界坐標(biāo)系與移動(dòng)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換[21])。在此基礎(chǔ)上，假定剛體的平移運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，就可得到以圖3所示曲線為方向曲線的光滑的剛體運(yùn)動(dòng)。圖3是該運(yùn)動(dòng)的等時(shí)間離散化表示，其中漸變黃色立方體表示運(yùn)動(dòng)的插值位置。

表1 剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)插值數(shù)據(jù)

圖2 剛體中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 剛體運(yùn)動(dòng)示意圖

例3.給定5個(gè)時(shí)刻剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的插值數(shù)據(jù)以及擾動(dòng)數(shù)據(jù)。與例2類似， 假定剛體的平移運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，分別利用本文方法和文獻(xiàn)[2]方法，可以得到相應(yīng)的插值給定數(shù)據(jù)的光滑的剛體運(yùn)動(dòng)，如圖4和圖5所示。從圖4中可以看出，本文方法在擾動(dòng)首末時(shí)刻數(shù)據(jù)時(shí)只對(duì)首末段剛體運(yùn)動(dòng)造成影響，擾動(dòng)中間時(shí)刻數(shù)據(jù)時(shí)只會(huì)對(duì)與該時(shí)刻相關(guān)的2段運(yùn)動(dòng)造成影響。從圖5可以看出，文獻(xiàn)[2]方法在擾動(dòng)某個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)時(shí)，其后的運(yùn)動(dòng)都會(huì)發(fā)生變化。由此驗(yàn)證了本文方法具有局部性質(zhì)，通過(guò)局部調(diào)整旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)軸的數(shù)據(jù)就可以靈活地控制剛體在相應(yīng)時(shí)刻下的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。

實(shí)際上，例3中的剛體平移運(yùn)動(dòng)的軌跡可以改為任意曲線。

例4. 給定3個(gè)時(shí)刻剛體運(yùn)動(dòng)的插值數(shù)據(jù)，見(jiàn)表2，假設(shè)剛體的平移運(yùn)動(dòng)軌跡為正弦曲線，類似地，可得到插值給定數(shù)據(jù)的剛體運(yùn)動(dòng)，如圖6所示。

表2 剛體運(yùn)動(dòng)插值數(shù)據(jù)

圖6 平移軌跡為正弦曲線的剛體運(yùn)動(dòng)示意圖

4 結(jié) 論

在插值點(diǎn)位置信息不變的前提下，本文方法存在對(duì)曲線的形狀缺乏靈活控制的問(wèn)題。實(shí)際上，在擬合插值點(diǎn)處的導(dǎo)矢信息時(shí)，可以通過(guò)改變一階及二階導(dǎo)矢的長(zhǎng)度，即引入額外的參數(shù)來(lái)解決上述問(wèn)題。所以在以后的研究中，將會(huì)考慮如何構(gòu)造幾何連續(xù)的球面樣條曲線，以及如何選取形狀參數(shù)來(lái)使曲線達(dá)到最優(yōu)化，如何使曲線在獲得更大的自由度同時(shí)不增加操控的復(fù)雜度等問(wèn)題。

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The construction of spherical interpolation splines with local properties

WANG Qian1, PAN Le1, ZHANG Jie-lin2, PENG Xing-xuan1

(1. School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning 116021, China; 2. School of Mathematics, Jilin University, Changchun Jilin 130023, China)

The high dimensional spherical spline curves fitting technology has received wide attention in computer animation and inertial navigation. In practical applications, spline curves are usually required to interpolate the given data points with certain continuity and local properties. Thus, the previous methods are limited in certain regards. For this reason, a new method, based on spherical Bézier curves, of constructing spherical spline in arbitrary dimensional space was proposed. Firstly, the higher order derivative vectors at the interpolation points were fitted by a reflection. Then, necessary and sufficient conditions for2Hermite interpolation were given. Finally, the2spherical Bézier spline was constructed, using only interpolation points. The proposed method exhibitslocal properties. The disturbance of some points will not impact other parts of the spline. The splines possess explicit expressions not involving nonlinear equations. Numerical experiments show that the method can be widely applicable and efficient.

spherical spline; spherical Bézier curve; interpolation; parameter continuity; rigid body motion

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021020230

A

2095-302X(2021)02-0230-07

2020-09-26；

26 September，2020；

2020-10-18

18 October，2020

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61702244，61720106005，61572105)；遼寧省教育廳項(xiàng)目(L201783642)

National Natural Science Foundation of China (61702244, 61720106005, 61572105); Liaoning Provincial Education Department Project (L201783642)

王 倩(1982-)，女，遼寧大連人，講師，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算幾何。E-mail：wangqian603603@sina.com

WANG Qian (1982-), female, lecturer, Ph.D. Her main research interest covers computational geometry. E-mail：wangqian603603@sina.com