相飛華，王杰貴，唐希雯，孫 兵

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

無源定位跟蹤系統(tǒng)具有隱蔽性強(qiáng)、探測距離遠(yuǎn)及適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，而單站無源定位跟蹤系統(tǒng)更是具有極大的戰(zhàn)術(shù)靈活性，因此成為目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[1-2]。在機(jī)動目標(biāo)的跟蹤中，單一模型濾波器常無法與目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動模型匹配導(dǎo)致濾波發(fā)散，難以達(dá)到跟蹤目的。

交互多模型(interacting multiple model, IMM)算法較好地解決了模型匹配切換問題因而得到廣泛的應(yīng)用[3]。IMM算法使用多個子模型并行工作，各子模型通過Markov概率轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行切換，將各模型濾波器輸出的加權(quán)和作為目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)的最終估計[4]。

IMM算法通過概率轉(zhuǎn)移矩陣來實(shí)現(xiàn)模型切換，匹配目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動狀態(tài)，但目標(biāo)發(fā)生機(jī)動會帶來切換滯后的問題[5]。Markov矩陣的選取受到固定先驗(yàn)信息和人為因素影響，通常設(shè)為固定的主對角占優(yōu)矩陣[6]。Markov矩陣先驗(yàn)信息的不確定會使濾波精度下降[7]，因此長期以來，轉(zhuǎn)移概率的在線自適應(yīng)估計成為研究的熱點(diǎn)，文獻(xiàn)[6,8—9]給出了幾種不同的修正方法?？紤]到當(dāng)前量測中包含有系統(tǒng)當(dāng)前的模式信息，因此應(yīng)充分利用當(dāng)前的量測信息，實(shí)時更新多模型濾波器的轉(zhuǎn)移概率參數(shù)，以提高模型的切換速度和濾波精度。本文討論了一種較為簡便的方式，并給出了利用量測數(shù)據(jù)在線估計模型轉(zhuǎn)移概率的遞推公式。

濾波器的選擇通常會直接影響IMM算法的濾波效果，機(jī)動目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)通常需要選擇合適的非線性濾波器。經(jīng)典的擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)存在明顯的一階線性化截斷誤差，且對于強(qiáng)非線性系統(tǒng)濾波易發(fā)散。粒子濾波(particle filter, PF)運(yùn)算開銷巨大，目標(biāo)跟蹤實(shí)時性差。無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)[10-11]估計精度可達(dá)二階以上， IMM-UKF算法已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[12]，但在處理高維系統(tǒng)(n>3)時需要精細(xì)的調(diào)節(jié)參數(shù)才能達(dá)到較高的精度。

容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter, CKF)[13-14]估計精度可達(dá)3階，具有更好的非線性逼近能力，數(shù)值精度和穩(wěn)定性更高。IMM-CKF跟蹤效果好于IMM-UKF[15]，但需進(jìn)行矩陣開方運(yùn)算，誤差協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性和對稱性易破壞，導(dǎo)致濾波發(fā)散，嚴(yán)重影跟蹤性能。平方根容積卡爾曼濾波(square-root cubature Kalman filter, SRCKF)算法通過引入QR分解，避免矩陣開方運(yùn)算，直接用協(xié)方差矩陣的平方根迭代計算，因此運(yùn)算開銷降低，計算效率提高；同時在更新過程始終保持協(xié)方差矩陣的對稱性和非負(fù)定性，濾波精度和穩(wěn)定性顯著改善[14]。

本文針對傳統(tǒng)IMM算法轉(zhuǎn)移概率矩陣固定不變，模型轉(zhuǎn)換慢濾波精度低的問題，提出一種修正轉(zhuǎn)移概率IMM-SRCKF固定單站無源跟蹤算法。該算法在引入時變轉(zhuǎn)移概率方法的同時，將SRCKF與IMM算法結(jié)合，對機(jī)動目標(biāo)跟蹤實(shí)時性、濾波精度及穩(wěn)定性有改善和提高。

1 固定單站無源定位模型

1.1 狀態(tài)方程

二維平面內(nèi)，固定單個觀測站對空中機(jī)動輻射源目標(biāo)進(jìn)行無源定位，其系統(tǒng)模型如圖1所示。設(shè)觀測站在原點(diǎn)位置，k時刻輻射源目標(biāo)位置為T(x,y),相對于觀測站O的徑向距離為rk，方位角為βk。

圖1 固定單站無源定位二維平面圖Fig.1 Two-dimensional plan of fixed single station passive location

Xk+1=FXk+GWk

(1)

式(1)中，F(xiàn)(t)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，G(t)為狀態(tài)噪聲轉(zhuǎn)移矩陣，Wk為狀態(tài)噪聲。

1.2 量測方程

在二維平面直角坐標(biāo)系下，目標(biāo)輻射源的空域和頻域信息可由固定單站無源定位模型獲得，本文以目標(biāo)方位角、角速度和多普勒頻率變化率為觀測量。目標(biāo)狀態(tài)向量與觀測向量的關(guān)系為：

Zk=h(Xk)+Vk

(2)

式(2)中，h(·)是狀態(tài)向量到觀測量的非線性變換函數(shù)，Vk表示量測噪聲，是均值為零的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Rk。

(3)

顯然，上述定位模型的狀態(tài)方程為線性，量測方程為非線性，若要實(shí)現(xiàn)固定單站對運(yùn)動輻射源的無源定位，應(yīng)當(dāng)采用非線性濾波算法進(jìn)行遞推估計。

2 修正轉(zhuǎn)移概率IMM-SRCKF

2.1 IMM-SRCKF算法

SRCKF在CKF基礎(chǔ)上，使用QR分解代替Cholesky分解，引入?yún)f(xié)方差矩陣的平方根，避免矩陣開方運(yùn)算，提高了濾波的精度和穩(wěn)定性。

對于式(1)、式(2)所表示的定位系統(tǒng)，首先根據(jù)狀態(tài)向量維數(shù)計算容積點(diǎn)和權(quán)值。

(4)

式(4)中，[1]=[I,-I],I為單位陣，[1]i表示[1]的第i列，m=2n，i=1,2,…,n，式(1)所表示的狀態(tài)方程中n=4。

SRCKF算法運(yùn)行流程如下：

1)時間更新

①計算協(xié)方差矩陣Cholesky分解：

(5)

②計算容積及其經(jīng)過狀態(tài)方程傳播的容積點(diǎn)(i=1,2,…,m)：

(6)

(7)

③計算狀態(tài)向量的一步預(yù)測：

(8)

④計算預(yù)測協(xié)方差陣的平方根：

(9)

式(9)中，Tria(·)表示對矩陣進(jìn)行QR分解運(yùn)算。

(10)

(11)

2)量測更新

①計算容積點(diǎn)(i=1,2,…,m)：

(12)

②計算量測方程傳播容積點(diǎn)：

(13)

③計算量測的一步預(yù)測值：

(14)

④計算新息協(xié)方差陣的平方根：

(15)

(16)

(17)

⑤計算互協(xié)方差陣：

(18)

(19)

⑥計算增益矩陣：

(20)

⑦計算狀態(tài)向量更新：

(21)

⑧計算誤差協(xié)方差陣平方根更新：

Sk+1|k+1=Tria([Xk+1|k-Kk+1Zk+1|k，Kk+1SR,k+1])

(22)

將IMM思想與SRCKF相結(jié)合形成IMM- SRCKF算法，該算法包括模式交互、模式條件、濾波模型概率更新、估計融合四個步驟。運(yùn)算流程如下：

1) 模式交互

(23)

(24)

(25)

(26)

2) 模式條件濾波

3) 模型概率更新

假定模型i的新息服從高斯分布，則其似然函數(shù)和模型概率更新如下：

(27)

(28)

計算新息及其協(xié)方差矩陣：

(29)

4) 估計融合

(30)

(31)

2.2 模型轉(zhuǎn)移概率實(shí)時修正

上節(jié)所述IMM-SRCKF算法假定輸入交互為Markov過程，各模型之間的轉(zhuǎn)換服從Markov鏈，即：

P{mk+1=m(j)|mk=m(i)}=πij,i,j=1,2,…,r

(32)

輸入交互時各模型的權(quán)值大小由轉(zhuǎn)移概率決定，在標(biāo)準(zhǔn)的IMM算法中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣Pk是預(yù)先設(shè)定的，根據(jù)先驗(yàn)信息確定的，且在濾波更新過程中保持不變，而這種預(yù)先設(shè)定的矩陣并不是目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動模式切換的概率。當(dāng)目標(biāo)輻射源存在強(qiáng)機(jī)動性或先驗(yàn)信息失真的情況，這種基于先驗(yàn)信息的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣無法真實(shí)反映目標(biāo)運(yùn)動模型之間的轉(zhuǎn)換，就會造成跟蹤濾波誤差。因此考慮利用后驗(yàn)知識對矩陣Pk進(jìn)行實(shí)時修正，由于當(dāng)前的量測信息受到目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動模型的影響，其中必然包含有后驗(yàn)信息。

(33)

由上式可以看出，當(dāng)模型j的概率相比上一時刻增加時，κj(k+1)>1，當(dāng)模型j的概率相比上一時刻減小時，κj(k+1)<1，因此，可以利用κj(k+1)與概率矩陣Pk相乘進(jìn)行修正。假設(shè)k時刻矩陣Pk的第i行第j列的元素為πij(k)，可以用κj(k+1)對其進(jìn)行修正：

πij(k+1)′=κj(k+1)πij(k),i,j=1,2,…,r

(34)

考慮到k+1時刻某一模型對于包括自身在內(nèi)的所有模型轉(zhuǎn)移概率之和為1，因此應(yīng)對式(34)進(jìn)行歸一化處理。k+1時刻對于i,j=1,2,…,r，修正后的轉(zhuǎn)移概率計算如下：

(35)

由式(35)可知，當(dāng)模型j的概率隨時間增大后，修正后的概率矩陣Pk第j列的元素也增大，則在下一時刻濾波過程前的模型交互時，模型概率大的模型(匹配模型)在交互過程所占的權(quán)值更大；相反，模型概率小的模型(非匹配模型)在交互過程所占的權(quán)值更小。通過量測數(shù)據(jù)自適應(yīng)修正模型轉(zhuǎn)移概率，強(qiáng)化了匹配模型的作用，而弱化了非匹配模型的作用。在濾波的模型轉(zhuǎn)換過程中，賦予了匹配模型更大的權(quán)值，減小了非匹配模型的干擾，收斂速度和濾波精度得到提高。容易看出，修正之后的轉(zhuǎn)移概率依舊滿足轉(zhuǎn)移概率的兩條基本性質(zhì)，即：

(36)

經(jīng)過轉(zhuǎn)移概率修正后的算法結(jié)構(gòu)如圖2所示(以三模型為例)。通過利用當(dāng)前量測信息的在線修正模型轉(zhuǎn)移概率的方法，增強(qiáng)了匹配運(yùn)動模型的權(quán)重，降低了非匹配運(yùn)動模型的權(quán)重，使得算法的穩(wěn)定性提高，收斂速度及定位跟蹤精度也得到改善。

圖2 修正轉(zhuǎn)移概率IMM-SRCKF算法結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Modified transition probability IMM-SRCKF algorithm structure

3 仿真與分析

為檢驗(yàn)本文所提出算法的性能，并同時與IMM-CKF算法、IMM-SRCKF算法性能進(jìn)行比較，設(shè)計如下的仿真實(shí)驗(yàn)場景。

在二維平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)固定觀測站位于原點(diǎn)O，目標(biāo)輻射源的初始位置和速度分別為(100,60) km和(-400,350) m/s，其實(shí)際運(yùn)動過程如下：

1)t=0～20 s，勻速直線運(yùn)動；

2)t=21～40 s，勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動，角速度為ω1= π/18 rad/s；

3)t=41～60 s，勻速直線運(yùn)動；

4)t=61～80 s，勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動，角速度為ω2=-π/20 rad/s；

5)t=81～100 s，勻速直線運(yùn)動。

采用相對位置誤差(relative range error, RRE)和相對速度誤差(relative velocity error, RVE)描述算法的定位跟蹤性能，定義式為：

(37)

(38)

進(jìn)行Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)100次，定位跟蹤結(jié)束時刻RRE<5%和RVE<5%，則視本次實(shí)驗(yàn)收斂，否則視為發(fā)散。RRE和RVE的統(tǒng)計平均值和峰值為剔除濾波發(fā)散的結(jié)果。圖3給出了三種算法的跟蹤軌跡，圖4、圖5為三種算法的RRE和RVE結(jié)果，圖6給出了三種算法跟蹤過程中的模型轉(zhuǎn)移概率，表1和表2分別為算法跟蹤性能對比和算法穩(wěn)定性及計算效率對比。

圖3 跟蹤軌跡對比Fig.3 Tracking trajectory comparison

圖4 相對位置誤差對比Fig.4 Relative range error comparison

圖5 相對速度誤差對比Fig.5 Relative velocity error comparison

圖6 模型轉(zhuǎn)移概率對比Fig.6 Modified transition probability comparison

表1 跟蹤性能對比Tab.1 Tracking performance comparison

表2 算法穩(wěn)定性與計算效率對比Tab.2 Comparison of algorithm stability and computational efficiency

由圖表可以看出，在固定單站對機(jī)動目標(biāo)無源跟蹤過程中，本文提出的修正轉(zhuǎn)移概率IMM-SRCKF算法相比IMM-SRCKF算法和IMM-CKF算法，具有更為優(yōu)越的性能。具體表現(xiàn)在：

1) 跟蹤濾波更精確。由圖4、圖5和表1可以看出，在對機(jī)動目標(biāo)的位置估計和速度估計中，本文算法估計精度明顯優(yōu)于另兩種算法，而同時IMM-SRCKF算法又優(yōu)于IMM-CKF算法。尤其當(dāng)目標(biāo)機(jī)動狀態(tài)發(fā)生較大變化時(如t=21 s和t=61 s)，三種算法跟蹤精度均明顯波動，本文算法依舊可以將誤差波動控制在較小范圍，其RRE統(tǒng)計均值和峰值均占優(yōu)。

2) 模型匹配更合理。由圖6可知，本文算法經(jīng)修正轉(zhuǎn)移概率后，模型切換更為迅速和合理，平均需要5～6 s時間，匹配模型的概率趨向于1，不匹配模型的概率則趨向于0。IMM-SRCKF和IMM-CKF算法模型切換則明顯滯后，且主次模型的區(qū)分也不夠理想。特別是IMM-CKF算法，轉(zhuǎn)移概率分布比較混亂。對目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動模型的良好匹配性能也是本文算法在跟蹤濾波精度方面表現(xiàn)更好的主要原因。

3) 穩(wěn)定性好，計算效率高。由表2可以看出，本文算法收斂次數(shù)最高，IMM-SRCKF算法次之，而IMM-CKF算法最低。計算效率方面，IMM-SRCKF算法效率最高，本文算法次之，而IMM-CKF算法最差。究其原因，本文算法與IMM-SRCKF算法均直接采用協(xié)方差矩陣平方根進(jìn)行遞推運(yùn)算，避免了計算舍入誤差的累積，保持了協(xié)方差矩陣的對稱性和半正定性，其數(shù)值精度和穩(wěn)定性更高，因此魯棒性和實(shí)時性也更好。而本文算法因引入轉(zhuǎn)移概率修改算法，增加了計算量，使其效率略低于IMM-SRCKF算法。在實(shí)際跟蹤過程中，更為關(guān)注的是單次濾波的穩(wěn)定性與實(shí)時性，綜合考慮可以看出本文算法更為優(yōu)秀。

4 結(jié)論

本文提出修正轉(zhuǎn)移概率IMM-SRCKF算法，在傳統(tǒng)IMM算法基礎(chǔ)上引入在線修正轉(zhuǎn)移概率方法，并將數(shù)值精度和穩(wěn)定度更高的SRCKF作為模式濾波器。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在模型切速度、濾波精度和魯棒性方面都好于傳統(tǒng)算法，為解決固定單站對機(jī)動目標(biāo)無源跟蹤問題提供了一種可供參考的方法。