張家旭，王 晨，趙 健

（1. 吉林大學(xué)，汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春130022；2. 中國(guó)第一汽車集團(tuán)有限公司智能網(wǎng)聯(lián)研發(fā)院，長(zhǎng)春130011）

前言

隨著第四次工業(yè)革命的到來(lái)，可有效解決交通擁堵和交通安全問(wèn)題的無(wú)人駕駛技術(shù)已經(jīng)成為汽車行業(yè)的大勢(shì)所趨。雖然目前無(wú)人駕駛汽車的商業(yè)化較遙遠(yuǎn)，但無(wú)人駕駛汽車必然會(huì)成為未來(lái)汽車的最終形態(tài)。而汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤策略是無(wú)人駕駛汽車實(shí)現(xiàn)商業(yè)化的重要基礎(chǔ)，因此深入研究汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略對(duì)推動(dòng)無(wú)人駕駛汽車的商業(yè)化具有重要的現(xiàn)實(shí)意義［1-2］。

目前，國(guó)內(nèi)外汽車廠商和學(xué)者對(duì)無(wú)人駕駛技術(shù)涉及的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略進(jìn)行了許多研究，它們大致可分為：以避讓靜止障礙物為目標(biāo)的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略；以避讓運(yùn)動(dòng)障礙物為目標(biāo)的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略。文獻(xiàn)［3］中基于七次多項(xiàng)式曲線提出了一種汽車換道路徑規(guī)劃算法，并設(shè)計(jì)了一種模型預(yù)測(cè)路徑跟蹤控制策略，引導(dǎo)汽車避讓靜止障礙物。文獻(xiàn)［4］中提出了等速偏移函數(shù)與正弦函數(shù)加權(quán)疊加的汽車換道路徑規(guī)劃算法，并結(jié)合徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可無(wú)限逼近任意未知函數(shù)和滑?？刂品椒▽?duì)外界擾動(dòng)具有強(qiáng)魯棒性的優(yōu)勢(shì)，提出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模路徑跟蹤控制策略，實(shí)現(xiàn)規(guī)劃路徑的跟蹤控制。文獻(xiàn)［5］中針對(duì)汽車高速緊急避讓靜止障礙物工況，遵循先采樣后選擇的原則開(kāi)發(fā)了一種汽車換道路徑規(guī)劃算法，并基于內(nèi)模原理設(shè)計(jì)了一種對(duì)模型不確定性和外界干擾具有強(qiáng)魯棒性的汽車換道路徑跟蹤控制策略。文獻(xiàn)［6］中基于分段正弦曲線提出了一種汽車換道路徑規(guī)劃算法，并基于模型預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)了一種汽車換道路徑跟蹤控制策略，引導(dǎo)汽車避讓靜止障礙物。文獻(xiàn)［7］中針對(duì)汽車彎道緊急避讓靜止障礙物工況，基于梯形加速度剖面法提出了一種路徑規(guī)劃算法，并利用積分反推法推導(dǎo)出了具有快速收斂特征的路徑跟蹤策略，使汽車在彎道行駛過(guò)程中可以避讓靜止障礙物。

相對(duì)于以避讓靜止障礙物為目標(biāo)的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略，以避讓運(yùn)動(dòng)障礙物為目標(biāo)的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略在二維空間的基礎(chǔ)上引入時(shí)間維度，以考慮不同時(shí)刻障礙物運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略的影響。文獻(xiàn)［8］中基于汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)方程將汽車換道路徑規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式曲線參數(shù)的約束最優(yōu)化問(wèn)題，并利用遺傳算法的全局搜索能力求解該約束最優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)而得到滿足安全、舒適要求的可行路徑。同時(shí)，文獻(xiàn)［8］中基于模糊PID 控制方法提出了一種汽車換道路徑跟蹤控制策略，保證汽車在不同速度下均可以快速、準(zhǔn)確和穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo)路徑。文獻(xiàn)［9］中綜合考慮汽車換道過(guò)程的安全性與舒適性需求和汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)約束，結(jié)合滾動(dòng)優(yōu)化思想和模型預(yù)測(cè)控制方法提出了汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略，使汽車能夠自主避讓運(yùn)動(dòng)障礙物。文獻(xiàn)［10］中針對(duì)汽車高速緊急換道避讓工況，采用六次多項(xiàng)式曲線規(guī)劃出可引導(dǎo)汽車避讓運(yùn)動(dòng)障礙物的平滑路徑，并采用模型預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)了底盤(pán)集成控制策略，通過(guò)協(xié)調(diào)主動(dòng)前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)和直接橫擺力矩系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)規(guī)劃路徑的跟蹤控制。

鑒于少有文獻(xiàn)對(duì)汽車彎道超車工況的路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略展開(kāi)深入的研究，本文中借鑒以上汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略，提出一種基于改進(jìn)人工勢(shì)場(chǎng)法的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法，以及基于線性魯棒控制理論提出一種汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略。結(jié)果表明：所提出的路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略可以安全、舒適地引導(dǎo)汽車完成彎道超車工況。

1 汽車彎道超車路徑規(guī)劃

汽車彎道超車路徑用于引導(dǎo)汽車超越其同車道行駛較慢的車輛，并在超越后引導(dǎo)汽車安全地駛回原車道。汽車彎道超車路徑如圖1 所示，建立以彎道中心線圓弧的圓心O為原點(diǎn)的固定坐標(biāo)系OXY，內(nèi)側(cè)和外側(cè)彎道中心線圓弧的半徑分別為RI和RO，本車和同車道行駛較慢的車輛均行駛在內(nèi)側(cè)彎道中心線上。以最小化本車行駛路徑弧長(zhǎng)為目標(biāo)，采用以極坐標(biāo)表示的螺旋下降函數(shù)構(gòu)建彎道引力勢(shì)能場(chǎng)［11］：

式中R和θ分別為本車質(zhì)心點(diǎn)的極徑和極角。

圖1 汽車彎道超車路徑

根據(jù)式（1）得到的彎道引力勢(shì)能場(chǎng)沿彎道變化的三維分布圖如圖2 所示，彎道引力勢(shì)能場(chǎng)的勢(shì)能隨本車質(zhì)心點(diǎn)極徑增加而增大，隨本車質(zhì)心點(diǎn)的極角增加而減小。

圖2 彎道引力勢(shì)能場(chǎng)

汽車彎道超車路徑通常是可執(zhí)行的連續(xù)平滑曲線，而斜坡正弦函數(shù)是符合駕駛員彎道超車操縱特性的連續(xù)平滑曲線，適合于描述汽車彎道超車路徑。因此，基于斜坡正弦函數(shù)構(gòu)建同車道行駛較慢車輛的斥力勢(shì)能場(chǎng)：

式中ΔR(θ)為斜坡正弦函數(shù)描述的極徑增量，可表示為［12］

式中：Wd為車道寬度；θ1、θ0和θ2分別為同車道行駛較慢車輛幾何中心點(diǎn)的極角、同車道行駛較慢車輛后方和前方斜坡正弦函數(shù)起點(diǎn)的極角。根據(jù)式（3）得到的同車道行駛較慢車輛的斥力勢(shì)能場(chǎng)三維分布圖如圖3 所示，在同車道行駛較慢車輛幾何中心點(diǎn)處取得最大值，并且在本車質(zhì)心點(diǎn)極角固定不變時(shí)隨本車質(zhì)心點(diǎn)極徑與內(nèi)側(cè)彎道中心線半徑偏差增大而以指數(shù)方式減小。

圖3 同車道行駛較慢車輛斥力勢(shì)能場(chǎng)

考慮彎道邊界危險(xiǎn)系數(shù)較大，基于指數(shù)函數(shù)構(gòu)建彎道邊界斥力勢(shì)能場(chǎng)：

根據(jù)式（4）得到的彎道邊界斥力勢(shì)能場(chǎng)三維分布圖如圖4 所示。由圖可見(jiàn)：彎道邊界斥力勢(shì)能場(chǎng)從內(nèi)側(cè)彎道中心線開(kāi)始隨本車質(zhì)心點(diǎn)極徑減小而以指數(shù)方式增大；從外側(cè)彎道中心線開(kāi)始隨本車質(zhì)心點(diǎn)極徑增大而以指數(shù)方式增大；在內(nèi)側(cè)彎道中心線和外側(cè)彎道中心線之間，彎道邊界斥力勢(shì)能場(chǎng)隨本車質(zhì)心點(diǎn)極徑增大而線性增大。

圖4 彎道邊界斥力勢(shì)能場(chǎng)

由式（1）～式（4）描述的彎道引力勢(shì)能場(chǎng)、同車道行駛較慢車輛斥力勢(shì)能場(chǎng)和彎道邊界斥力勢(shì)能場(chǎng)，可得本車質(zhì)心點(diǎn)的人工勢(shì)能場(chǎng)：

基于式（5）描述的本車質(zhì)心點(diǎn)人工勢(shì)能場(chǎng)，采用圖5 所示的增量搜索算法規(guī)劃汽車彎道超車路徑。假設(shè)k時(shí)刻本車質(zhì)心點(diǎn)的極角為θk，同車道行駛較慢車輛幾何中心點(diǎn)的極角為θ1，k、同車道行駛較慢車輛后方和前方斜坡正弦函數(shù)起點(diǎn)的極角分別為θ0，k和θ2，k，若k時(shí)刻到k+ 1 時(shí)刻本車質(zhì)心點(diǎn)的極角增量為Δθ，則k+ 1 時(shí)刻本車質(zhì)心點(diǎn)的極角、同車道行駛較慢車輛幾何中心點(diǎn)的極角、同車道行駛較慢車輛后方和前方斜坡正弦函數(shù)起點(diǎn)的極角可分別表示為

式中vH，k和vG，k分別為本車和同車道行駛較慢車輛的速度。

沿著k+ 1 時(shí)刻本車質(zhì)心點(diǎn)極角θk+1方向均勻撒點(diǎn)得到k+ 1時(shí)刻本車質(zhì)心點(diǎn)極徑的集合：

式中：Rk為k時(shí)刻本車質(zhì)心點(diǎn)的極徑；Δd為本車質(zhì)心點(diǎn)極徑增量；2n+ 1為集合SRk+1元素?cái)?shù)量。

采用式（5）計(jì)算k+ 1時(shí)刻本車質(zhì)心點(diǎn)極徑集合中的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)的人工勢(shì)能場(chǎng)，并將人工勢(shì)能場(chǎng)最小值對(duì)應(yīng)的集合元素作為k+ 1 時(shí)刻本車質(zhì)心點(diǎn)的極徑Rk+1。同時(shí)，采用式（11）可將k+ 1 時(shí)刻本車質(zhì)心點(diǎn)極坐標(biāo)(Rk+1，θk+1)轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)(xk+1，yk+1)，即可利用圖5 所示的增量搜索算法規(guī)劃出汽車彎道超車路徑。

圖5 增量搜索算法

2 汽車彎道超車路徑跟蹤控制

在汽車彎道超車路徑規(guī)劃過(guò)程中，通過(guò)調(diào)整基于斜坡正弦函數(shù)構(gòu)建的同車道行駛較慢車輛的斥力勢(shì)能場(chǎng)，可以使汽車的操縱特性始終保持在線性工作區(qū)域。因此，本節(jié)中假設(shè)汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度為不確定性參數(shù)，基于線性2 自由度汽車動(dòng)力學(xué)模型建立汽車彎道超車路徑跟蹤動(dòng)態(tài)模型，如圖6 所示，并以此為基礎(chǔ)求解汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制律。

圖6 汽車彎道超車路徑跟蹤動(dòng)態(tài)模型

圖6中，以當(dāng)前k時(shí)刻汽車質(zhì)心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立固定于汽車的動(dòng)坐標(biāo)系ObXbYb，將半徑為RT、圓心為點(diǎn)Ob的圓弧與汽車彎道超車路徑的交點(diǎn)作為當(dāng)前k時(shí)刻參考點(diǎn)。并以此參考點(diǎn)為原點(diǎn)建立另一個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系OXY，使其X軸恒與汽車彎道超車路徑上參考點(diǎn)處的切換方向重合，稱之為路徑坐標(biāo)系。將汽車質(zhì)心點(diǎn)在路徑坐標(biāo)系OXY的縱坐標(biāo)值yc、汽車相對(duì)于固定路徑坐標(biāo)系OXY的方位角θ、汽車側(cè)向速度vy、汽車橫擺角速度γ作為狀態(tài)量e=[ycθ vy γ]T，將汽車前輪轉(zhuǎn)向角δf作為控制量u=δf，建立汽車彎道超車路徑跟蹤動(dòng)態(tài)模型［13］：

式中：A和B分別為汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度名義值對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣；ΔA和ΔB分別為汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度攝動(dòng)產(chǎn)生的不確定系統(tǒng)矩陣和不確定控制矩陣。

式中：T為采樣時(shí)間間隔；M和Iz分別為汽車質(zhì)量和汽車?yán)@過(guò)質(zhì)心垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Lf和Lr分別為汽車質(zhì)心點(diǎn)到前軸和后軸的距離；Cf和Cr分別為汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度名義值；F為時(shí)變的未知矩陣，并且滿足FTF≤I；D、E1和E2為描述不確定系統(tǒng)矩陣和不確定控制矩陣結(jié)構(gòu)信息的適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

式中Cfe和Cre分別為汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度攝動(dòng)量最大值。

綜合考慮汽車彎道超車路徑跟蹤誤差和控制能量消耗，定義二次型性能指標(biāo)為

式中Q和R分別為給定的對(duì)稱正定加權(quán)矩陣。

利用文獻(xiàn)［14］和文獻(xiàn)［15］中提出的等價(jià)條件求解汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制律，使汽車彎道超車路徑跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒的，漸近穩(wěn)定的，并使式（19）描述的二次型性能指標(biāo)最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為式（20）描述的關(guān)于變量ε> 0、矩陣W、對(duì)稱正定矩陣X和H的線性矩陣不等式組約束的凸優(yōu)化問(wèn)題。

式中Trace(·)為求解矩陣跡的運(yùn)算符。

通過(guò)求解式（20）描述的線性矩陣不等式組約束的凸優(yōu)化問(wèn)題，可得到最優(yōu)的，進(jìn)而得到如下汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制律：

3 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)利用高精度的車輛動(dòng)力學(xué)軟件CarSim仿真驗(yàn)證基于改進(jìn)人工勢(shì)場(chǎng)法提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法和基于線性魯棒控制理論提出的汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略的可行性和有效性。在仿真驗(yàn)證過(guò)程中，本車和同車道行駛較慢車輛的速度分別設(shè)置為31.95和6.39 m/s，內(nèi)側(cè)和外側(cè)彎道半徑分別設(shè)置為500 和503.75 m，本車的基本參數(shù)設(shè)置為M=1 416 kg、Iz=1 523 kg·m2、Lf=1.016 m、Lr=1.562 m、Cf=Cr=80000 N/rad 和Cfe=Cre=2000 N/rad，本車與同車道行駛較慢車輛在不同時(shí)刻的相對(duì)位置如圖7所示，本文中提出的汽車彎道超車路徑跟蹤控制方法和斯坦福大學(xué)提出的斯坦利方法的仿真結(jié)果對(duì)比如圖8所示［16］。

圖7 本車與同車道行駛較慢車輛在不同時(shí)刻的相對(duì)位置

圖8 汽車彎道超車路徑跟蹤控制仿真對(duì)比結(jié)果

由圖7 可見(jiàn)，本文中提出汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法可以安全地引導(dǎo)汽車超越其同車道行駛較慢的車輛，并在超越后引導(dǎo)汽車安全的駛回原車道。由圖8 可見(jiàn)，本文中提出的汽車彎道超車路徑跟蹤控制方法和斯坦福大學(xué)提出的斯坦利方法均可穩(wěn)定地跟蹤汽車彎道超車目標(biāo)路徑、目標(biāo)方位角和目標(biāo)橫擺角速度，且二者均可使汽車的操縱特性始終保持在線性工作區(qū)域，但本文中提出的汽車彎道超車路徑跟蹤控制方法的控制精度較高，汽車側(cè)向加速度峰值更小，從而使本車在彎道超車過(guò)程中保持更好的操縱特性，另外，在8-10 s 時(shí)間段呈現(xiàn)出更平滑、更快速的控制效果，從而使本車的側(cè)向加速度更快速地恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié)論

（1）基于改進(jìn)人工勢(shì)場(chǎng)法提出了一種汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法。采用螺旋下降函數(shù)、斜坡正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)構(gòu)建彎道引力勢(shì)能場(chǎng)、同車道行駛較慢車輛斥力勢(shì)能場(chǎng)和彎道邊界斥力勢(shì)能場(chǎng)，三者之和構(gòu)成汽車彎道超車路徑的搜索空間。設(shè)計(jì)可應(yīng)用于動(dòng)態(tài)環(huán)境的增量搜索算法，逐步搜索汽車彎道超車路徑搜索空間的最快下降方向，沿著該方向即可生成一條平穩(wěn)、安全、舒適的汽車彎道超車路徑。

（2）基于線性魯棒控制理論提出了一種汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略。以線性2 自由度汽車動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，建立包含參數(shù)攝動(dòng)的汽車彎道超車路徑跟蹤誤差動(dòng)態(tài)模型作為名義模型，基于線性魯棒控制方法設(shè)計(jì)汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略，控制汽車快速、準(zhǔn)確和穩(wěn)定地跟蹤規(guī)劃出的目標(biāo)路徑。

（3）利用車輛動(dòng)力學(xué)軟件仿真驗(yàn)證所提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法和路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略的可行性和有效性。結(jié)果表明：所提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法和路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略可安全、舒適地引導(dǎo)汽車完成彎道超車工況。