張家旭，王 晨，趙 健

（1. 吉林大學(xué)，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春130022；2. 中國第一汽車集團有限公司智能網(wǎng)聯(lián)研發(fā)院，長春130011）

前言

隨著第四次工業(yè)革命的到來，可有效解決交通擁堵和交通安全問題的無人駕駛技術(shù)已經(jīng)成為汽車行業(yè)的大勢所趨。雖然目前無人駕駛汽車的商業(yè)化較遙遠，但無人駕駛汽車必然會成為未來汽車的最終形態(tài)。而汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤策略是無人駕駛汽車實現(xiàn)商業(yè)化的重要基礎(chǔ)，因此深入研究汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略對推動無人駕駛汽車的商業(yè)化具有重要的現(xiàn)實意義［1-2］。

目前，國內(nèi)外汽車廠商和學(xué)者對無人駕駛技術(shù)涉及的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略進行了許多研究，它們大致可分為：以避讓靜止障礙物為目標(biāo)的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略；以避讓運動障礙物為目標(biāo)的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略。文獻［3］中基于七次多項式曲線提出了一種汽車換道路徑規(guī)劃算法，并設(shè)計了一種模型預(yù)測路徑跟蹤控制策略，引導(dǎo)汽車避讓靜止障礙物。文獻［4］中提出了等速偏移函數(shù)與正弦函數(shù)加權(quán)疊加的汽車換道路徑規(guī)劃算法，并結(jié)合徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可無限逼近任意未知函數(shù)和滑?？刂品椒▽ν饨鐢_動具有強魯棒性的優(yōu)勢，提出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模路徑跟蹤控制策略，實現(xiàn)規(guī)劃路徑的跟蹤控制。文獻［5］中針對汽車高速緊急避讓靜止障礙物工況，遵循先采樣后選擇的原則開發(fā)了一種汽車換道路徑規(guī)劃算法，并基于內(nèi)模原理設(shè)計了一種對模型不確定性和外界干擾具有強魯棒性的汽車換道路徑跟蹤控制策略。文獻［6］中基于分段正弦曲線提出了一種汽車換道路徑規(guī)劃算法，并基于模型預(yù)測控制方法設(shè)計了一種汽車換道路徑跟蹤控制策略，引導(dǎo)汽車避讓靜止障礙物。文獻［7］中針對汽車彎道緊急避讓靜止障礙物工況，基于梯形加速度剖面法提出了一種路徑規(guī)劃算法，并利用積分反推法推導(dǎo)出了具有快速收斂特征的路徑跟蹤策略，使汽車在彎道行駛過程中可以避讓靜止障礙物。

相對于以避讓靜止障礙物為目標(biāo)的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略，以避讓運動障礙物為目標(biāo)的汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略在二維空間的基礎(chǔ)上引入時間維度，以考慮不同時刻障礙物運動狀態(tài)對汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略的影響。文獻［8］中基于汽車運動學(xué)方程將汽車換道路徑規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為多項式曲線參數(shù)的約束最優(yōu)化問題，并利用遺傳算法的全局搜索能力求解該約束最優(yōu)化問題，進而得到滿足安全、舒適要求的可行路徑。同時，文獻［8］中基于模糊PID 控制方法提出了一種汽車換道路徑跟蹤控制策略，保證汽車在不同速度下均可以快速、準(zhǔn)確和穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo)路徑。文獻［9］中綜合考慮汽車換道過程的安全性與舒適性需求和汽車運動學(xué)與動力學(xué)約束，結(jié)合滾動優(yōu)化思想和模型預(yù)測控制方法提出了汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略，使汽車能夠自主避讓運動障礙物。文獻［10］中針對汽車高速緊急換道避讓工況，采用六次多項式曲線規(guī)劃出可引導(dǎo)汽車避讓運動障礙物的平滑路徑，并采用模型預(yù)測控制方法設(shè)計了底盤集成控制策略，通過協(xié)調(diào)主動前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)和直接橫擺力矩系統(tǒng)來實現(xiàn)規(guī)劃路徑的跟蹤控制。

鑒于少有文獻對汽車彎道超車工況的路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略展開深入的研究，本文中借鑒以上汽車換道路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略，提出一種基于改進人工勢場法的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法，以及基于線性魯棒控制理論提出一種汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略。結(jié)果表明：所提出的路徑規(guī)劃算法和跟蹤控制策略可以安全、舒適地引導(dǎo)汽車完成彎道超車工況。

1 汽車彎道超車路徑規(guī)劃

汽車彎道超車路徑用于引導(dǎo)汽車超越其同車道行駛較慢的車輛，并在超越后引導(dǎo)汽車安全地駛回原車道。汽車彎道超車路徑如圖1 所示，建立以彎道中心線圓弧的圓心O為原點的固定坐標(biāo)系OXY，內(nèi)側(cè)和外側(cè)彎道中心線圓弧的半徑分別為RI和RO，本車和同車道行駛較慢的車輛均行駛在內(nèi)側(cè)彎道中心線上。以最小化本車行駛路徑弧長為目標(biāo)，采用以極坐標(biāo)表示的螺旋下降函數(shù)構(gòu)建彎道引力勢能場［11］：

式中R和θ分別為本車質(zhì)心點的極徑和極角。

圖1 汽車彎道超車路徑

根據(jù)式（1）得到的彎道引力勢能場沿彎道變化的三維分布圖如圖2 所示，彎道引力勢能場的勢能隨本車質(zhì)心點極徑增加而增大，隨本車質(zhì)心點的極角增加而減小。

圖2 彎道引力勢能場

汽車彎道超車路徑通常是可執(zhí)行的連續(xù)平滑曲線，而斜坡正弦函數(shù)是符合駕駛員彎道超車操縱特性的連續(xù)平滑曲線，適合于描述汽車彎道超車路徑。因此，基于斜坡正弦函數(shù)構(gòu)建同車道行駛較慢車輛的斥力勢能場：

式中ΔR(θ)為斜坡正弦函數(shù)描述的極徑增量，可表示為［12］

式中：Wd為車道寬度；θ1、θ0和θ2分別為同車道行駛較慢車輛幾何中心點的極角、同車道行駛較慢車輛后方和前方斜坡正弦函數(shù)起點的極角。根據(jù)式（3）得到的同車道行駛較慢車輛的斥力勢能場三維分布圖如圖3 所示，在同車道行駛較慢車輛幾何中心點處取得最大值，并且在本車質(zhì)心點極角固定不變時隨本車質(zhì)心點極徑與內(nèi)側(cè)彎道中心線半徑偏差增大而以指數(shù)方式減小。

圖3 同車道行駛較慢車輛斥力勢能場

考慮彎道邊界危險系數(shù)較大，基于指數(shù)函數(shù)構(gòu)建彎道邊界斥力勢能場：

根據(jù)式（4）得到的彎道邊界斥力勢能場三維分布圖如圖4 所示。由圖可見：彎道邊界斥力勢能場從內(nèi)側(cè)彎道中心線開始隨本車質(zhì)心點極徑減小而以指數(shù)方式增大；從外側(cè)彎道中心線開始隨本車質(zhì)心點極徑增大而以指數(shù)方式增大；在內(nèi)側(cè)彎道中心線和外側(cè)彎道中心線之間，彎道邊界斥力勢能場隨本車質(zhì)心點極徑增大而線性增大。

圖4 彎道邊界斥力勢能場

由式（1）～式（4）描述的彎道引力勢能場、同車道行駛較慢車輛斥力勢能場和彎道邊界斥力勢能場，可得本車質(zhì)心點的人工勢能場：

基于式（5）描述的本車質(zhì)心點人工勢能場，采用圖5 所示的增量搜索算法規(guī)劃汽車彎道超車路徑。假設(shè)k時刻本車質(zhì)心點的極角為θk，同車道行駛較慢車輛幾何中心點的極角為θ1，k、同車道行駛較慢車輛后方和前方斜坡正弦函數(shù)起點的極角分別為θ0，k和θ2，k，若k時刻到k+ 1 時刻本車質(zhì)心點的極角增量為Δθ，則k+ 1 時刻本車質(zhì)心點的極角、同車道行駛較慢車輛幾何中心點的極角、同車道行駛較慢車輛后方和前方斜坡正弦函數(shù)起點的極角可分別表示為

式中vH，k和vG，k分別為本車和同車道行駛較慢車輛的速度。

沿著k+ 1 時刻本車質(zhì)心點極角θk+1方向均勻撒點得到k+ 1時刻本車質(zhì)心點極徑的集合：

式中：Rk為k時刻本車質(zhì)心點的極徑；Δd為本車質(zhì)心點極徑增量；2n+ 1為集合SRk+1元素數(shù)量。

采用式（5）計算k+ 1時刻本車質(zhì)心點極徑集合中的每一個元素對應(yīng)的人工勢能場，并將人工勢能場最小值對應(yīng)的集合元素作為k+ 1 時刻本車質(zhì)心點的極徑Rk+1。同時，采用式（11）可將k+ 1 時刻本車質(zhì)心點極坐標(biāo)(Rk+1，θk+1)轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)(xk+1，yk+1)，即可利用圖5 所示的增量搜索算法規(guī)劃出汽車彎道超車路徑。

圖5 增量搜索算法

2 汽車彎道超車路徑跟蹤控制

在汽車彎道超車路徑規(guī)劃過程中，通過調(diào)整基于斜坡正弦函數(shù)構(gòu)建的同車道行駛較慢車輛的斥力勢能場，可以使汽車的操縱特性始終保持在線性工作區(qū)域。因此，本節(jié)中假設(shè)汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度為不確定性參數(shù)，基于線性2 自由度汽車動力學(xué)模型建立汽車彎道超車路徑跟蹤動態(tài)模型，如圖6 所示，并以此為基礎(chǔ)求解汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制律。

圖6 汽車彎道超車路徑跟蹤動態(tài)模型

圖6中，以當(dāng)前k時刻汽車質(zhì)心點為原點，建立固定于汽車的動坐標(biāo)系ObXbYb，將半徑為RT、圓心為點Ob的圓弧與汽車彎道超車路徑的交點作為當(dāng)前k時刻參考點。并以此參考點為原點建立另一個動坐標(biāo)系OXY，使其X軸恒與汽車彎道超車路徑上參考點處的切換方向重合，稱之為路徑坐標(biāo)系。將汽車質(zhì)心點在路徑坐標(biāo)系OXY的縱坐標(biāo)值yc、汽車相對于固定路徑坐標(biāo)系OXY的方位角θ、汽車側(cè)向速度vy、汽車橫擺角速度γ作為狀態(tài)量e=[ycθ vy γ]T，將汽車前輪轉(zhuǎn)向角δf作為控制量u=δf，建立汽車彎道超車路徑跟蹤動態(tài)模型［13］：

式中：A和B分別為汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度名義值對應(yīng)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣；ΔA和ΔB分別為汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度攝動產(chǎn)生的不確定系統(tǒng)矩陣和不確定控制矩陣。

式中：T為采樣時間間隔；M和Iz分別為汽車質(zhì)量和汽車繞過質(zhì)心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量；Lf和Lr分別為汽車質(zhì)心點到前軸和后軸的距離；Cf和Cr分別為汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度名義值；F為時變的未知矩陣，并且滿足FTF≤I；D、E1和E2為描述不確定系統(tǒng)矩陣和不確定控制矩陣結(jié)構(gòu)信息的適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

式中Cfe和Cre分別為汽車前軸和后軸等效側(cè)偏剛度攝動量最大值。

綜合考慮汽車彎道超車路徑跟蹤誤差和控制能量消耗，定義二次型性能指標(biāo)為

式中Q和R分別為給定的對稱正定加權(quán)矩陣。

利用文獻［14］和文獻［15］中提出的等價條件求解汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制律，使汽車彎道超車路徑跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒的，漸近穩(wěn)定的，并使式（19）描述的二次型性能指標(biāo)最小化問題轉(zhuǎn)化為式（20）描述的關(guān)于變量ε> 0、矩陣W、對稱正定矩陣X和H的線性矩陣不等式組約束的凸優(yōu)化問題。

式中Trace(·)為求解矩陣跡的運算符。

通過求解式（20）描述的線性矩陣不等式組約束的凸優(yōu)化問題，可得到最優(yōu)的，進而得到如下汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制律：

3 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)利用高精度的車輛動力學(xué)軟件CarSim仿真驗證基于改進人工勢場法提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法和基于線性魯棒控制理論提出的汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略的可行性和有效性。在仿真驗證過程中，本車和同車道行駛較慢車輛的速度分別設(shè)置為31.95和6.39 m/s，內(nèi)側(cè)和外側(cè)彎道半徑分別設(shè)置為500 和503.75 m，本車的基本參數(shù)設(shè)置為M=1 416 kg、Iz=1 523 kg·m2、Lf=1.016 m、Lr=1.562 m、Cf=Cr=80000 N/rad 和Cfe=Cre=2000 N/rad，本車與同車道行駛較慢車輛在不同時刻的相對位置如圖7所示，本文中提出的汽車彎道超車路徑跟蹤控制方法和斯坦福大學(xué)提出的斯坦利方法的仿真結(jié)果對比如圖8所示［16］。

圖7 本車與同車道行駛較慢車輛在不同時刻的相對位置

圖8 汽車彎道超車路徑跟蹤控制仿真對比結(jié)果

由圖7 可見，本文中提出汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法可以安全地引導(dǎo)汽車超越其同車道行駛較慢的車輛，并在超越后引導(dǎo)汽車安全的駛回原車道。由圖8 可見，本文中提出的汽車彎道超車路徑跟蹤控制方法和斯坦福大學(xué)提出的斯坦利方法均可穩(wěn)定地跟蹤汽車彎道超車目標(biāo)路徑、目標(biāo)方位角和目標(biāo)橫擺角速度，且二者均可使汽車的操縱特性始終保持在線性工作區(qū)域，但本文中提出的汽車彎道超車路徑跟蹤控制方法的控制精度較高，汽車側(cè)向加速度峰值更小，從而使本車在彎道超車過程中保持更好的操縱特性，另外，在8-10 s 時間段呈現(xiàn)出更平滑、更快速的控制效果，從而使本車的側(cè)向加速度更快速地恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié)論

（1）基于改進人工勢場法提出了一種汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法。采用螺旋下降函數(shù)、斜坡正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)構(gòu)建彎道引力勢能場、同車道行駛較慢車輛斥力勢能場和彎道邊界斥力勢能場，三者之和構(gòu)成汽車彎道超車路徑的搜索空間。設(shè)計可應(yīng)用于動態(tài)環(huán)境的增量搜索算法，逐步搜索汽車彎道超車路徑搜索空間的最快下降方向，沿著該方向即可生成一條平穩(wěn)、安全、舒適的汽車彎道超車路徑。

（2）基于線性魯棒控制理論提出了一種汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略。以線性2 自由度汽車動力學(xué)模型為基礎(chǔ)，建立包含參數(shù)攝動的汽車彎道超車路徑跟蹤誤差動態(tài)模型作為名義模型，基于線性魯棒控制方法設(shè)計汽車彎道超車路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略，控制汽車快速、準(zhǔn)確和穩(wěn)定地跟蹤規(guī)劃出的目標(biāo)路徑。

（3）利用車輛動力學(xué)軟件仿真驗證所提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法和路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略的可行性和有效性。結(jié)果表明：所提出的汽車彎道超車路徑規(guī)劃算法和路徑跟蹤最優(yōu)保性能控制策略可安全、舒適地引導(dǎo)汽車完成彎道超車工況。