周 欣, 張啟明， 張明歡

(湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南 株洲 412000)

0 引 言

時(shí)標(biāo)是指實(shí)數(shù)集上的任一非空閉子集. Higer教授[1,2]于1988年首次提出時(shí)標(biāo)的概念，并建立了一些時(shí)標(biāo)理論.此后，時(shí)標(biāo)理論在文獻(xiàn)[1-2]的基礎(chǔ)上蓬勃發(fā)展.其中，M.Bohner和A.Peterson在文獻(xiàn)[3-4]中，研究了時(shí)標(biāo)上的一類非常重要的動(dòng)力系統(tǒng)：時(shí)標(biāo)動(dòng)力系統(tǒng).此系統(tǒng)不僅包括微分和差分兩種特殊情形，而且在應(yīng)用上也很廣泛.其理論研究主要集中在邊值問題、振動(dòng)性、穩(wěn)定性、非共軛性等方面[5-6].研究時(shí)標(biāo)上的Lyapunov型不等式有助于完善微分和差分系統(tǒng)中的相關(guān)結(jié)論.

1 預(yù)備知識

近年來，很多學(xué)者給出了幾類高階動(dòng)力系統(tǒng)的Lyapunov型不等式，對于滿足某些邊值條件的Lyapunov型不等式的結(jié)果也較多，例如：

2010年，Cakmak[7]研究了滿足條件(2)的2n階微分系統(tǒng)

x2n(t)+q(t)x(t)=0

(1)

x2i(a)=x2i(b)=0,i=0,1,…,n-1

(2)

的Lyapunov型不等式，并得到如下結(jié)論：

定理1[7]若x(t)是系統(tǒng)(1)的解，滿足條件(2)且x(t)≠0,t∈(a,b)，則

(3)

2012年，Youyu Wang[8]研究了滿足條件(5)下的高階微分系統(tǒng)

(|xm(t)|p-2xm(t))′+

r(t)|x(t)|p-2x(t)=0,t∈(a,b)

(4)

xi(a)+xi(b)=0,i=0,1,2,…,m

(5)

的Lyapunov型不等式，并得到如下結(jié)論：

定理2[8]若x(t)是系統(tǒng)(4)的非零解，滿足條件(5)，則

(6)

受文獻(xiàn)[7]和[8]的啟發(fā)，分別探討了滿足邊值條件(7)和條件(8)時(shí)

xΔi(a)=xΔi(b)=0,i=0,1,…,m-1

(7)

xΔi(a)+xΔi(b)=0,i=0,1,…,m-1

(8)

高階動(dòng)力系統(tǒng)(9)

(f(t)|xΔm-1(t)|p-2xΔm-1(t))Δ+

r(t)|x(t)|p-2x(t)=0

(9)

的Lyapunov型不等式，其中m≥2.

2 主要結(jié)論及證明

引理3.1 設(shè)x(t)是系統(tǒng)(9)的解，滿足x(t)≠0,t∈(a,b)條件(7)，其中i=0,1,…,m-1，則

(10)

證明由xΔi(a)=xΔi(b)=0，可得

(11)

(12)

那么，

(13)

(14)

結(jié)合(13)和(14)，再利用Holder’s不等式，得

(15)

故

(16)

對不等式(16)左右兩邊積分，可以得到

(17)

即上述結(jié)論成立.

引理3.2 設(shè)x(t)是系統(tǒng)(9)的解，滿足x(t)≠0,t∈(a,b)和條件(7)，則

|x(t)|p-1|xΔm-2(t)|≤

(18)

證明由(15)和(16)，可得

(19)

(20)

(21)

由(20)和(21)，可得

(22)

所以，

(23)

從而，由(19)和(23)可得(18)，即上述結(jié)論成立.

定理3.1 設(shè)x(t)是系統(tǒng)(9)的解，滿足條件(7)且x(t)≠0,t∈(a,b)，f(t)為單調(diào)不減的非負(fù)函數(shù),r(t)≠0，則

(24)

證明用xΔm-2(σ(t))乘系統(tǒng)(9)的兩邊并積分，得

(25)

由引理3.2和系統(tǒng)(9)，并利用分部積分公式，可得

(26)

再由(25)和(26)，得

(27)

從而，由(26)和(27)可得

(28)

故

(29)

即上述結(jié)論成立.

注1 設(shè)x(t)是系統(tǒng)(9)的解，滿足條件(7)，且x(t)≠0,t∈(a,b)，f(t)=1，則

(30)

注2 在注1中，如果T=R,m=2n,p=2，則上述結(jié)論退化為定理1.

下面探討動(dòng)力系統(tǒng)(9)在條件(8)下的Lyapunov型不等式.

引理3.3 設(shè)x(t)是系統(tǒng)(9)的非零解，滿足條件(8)，則

(31)

證明定義函數(shù)：

(32)

由條件(8)，得

(33)

并利用Holder’s不等式，可得

(34)

即

(35)

對(35)式進(jìn)行積分，得

(36)

因此，(31)式成立.顯然在引理3.3的條件下，引理3.2的結(jié)論也是成立的.

定理3.2 設(shè)x(t)是系統(tǒng)(9)的非零解，滿足條件(8)且xΔi(σ(t))恒不為零，f(t)為單調(diào)不減的非負(fù)函數(shù)，r(t)≠0，則(24)式仍然成立.

證明由分部積分公式及條件(8)，對(25)式中前半部分進(jìn)行化簡，得

f(a)(-xΔm-1(a)|xΔm-1(a)|p-2(xΔm-2(a)+

(37)

利用(27)和(37)，可得

(38)

下面，證明

(39)

反設(shè)，上式等于零，則必有xΔm-1(σ(t))=0,t∈T.根據(jù)(9)，得到x(σ(t))=0，t∈T，與xΔi(σ(t)),i=0,1,…,m-1恒不為零矛盾，說明(39)成立，從而(24)成立.

注3 若T=R,f(t)=1，則定理3.2退化為定理2.