杜 挺， 吳朝暉， 席官寶， 楊 鵬

(西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123)

0 引 言

再保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司分散索賠風(fēng)險(xiǎn)的主要方式，近年來(lái)在理論和業(yè)界越來(lái)越受到人們的歡迎。該問(wèn)題的研究框架是，保險(xiǎn)公司通過(guò)再保險(xiǎn)減少索賠風(fēng)險(xiǎn)，在最大化或最小化一些目標(biāo)函數(shù)下，求得最優(yōu)再保險(xiǎn)策略。如Bai和Guo以最大化終期財(cái)富的期望效用為目標(biāo)，求得了最優(yōu)再保險(xiǎn)策略[1]；楊鵬等人以最大化終期財(cái)富的均值同時(shí)最小終期財(cái)富的方差為目標(biāo)，即均值-方差準(zhǔn)則為目標(biāo)，求得了最優(yōu)再保險(xiǎn)策略[2]；Lin以最小化破產(chǎn)概率為目標(biāo)，求得了最優(yōu)再保險(xiǎn)策略[3]。

近年來(lái)，有一些學(xué)者開(kāi)始使用相對(duì)業(yè)績(jī)來(lái)刻畫(huà)兩家保險(xiǎn)公司之間的競(jìng)爭(zhēng)，進(jìn)而研究最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題。相對(duì)業(yè)績(jī)刻畫(huà)如下

(1-τi)Xi+τi(Xi-Xm),τi∈[0,1],i≠m∈{1,2}.

這里Xi代表保險(xiǎn)公司i的財(cái)富，Xm代表競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的財(cái)富，τi刻畫(huà)了保險(xiǎn)公司i的競(jìng)爭(zhēng)權(quán)重。DeMarzo等人首次詳細(xì)地分析了人們?cè)谧鰶Q策時(shí)，相對(duì)業(yè)績(jī)對(duì)決策的影響，發(fā)現(xiàn)相對(duì)業(yè)績(jī)對(duì)決策具有顯著的影響[4]。

在馬氏鏈調(diào)制的模型中[5], 研究了相對(duì)業(yè)績(jī)對(duì)兩個(gè)保險(xiǎn)公司再保險(xiǎn)-投資策略的影響. 每個(gè)保險(xiǎn)公司的目標(biāo)是最大化各自相對(duì)終止財(cái)富的期望效用。在一般效用函數(shù)下, 得到了最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略存在的條件；在指數(shù)效用函數(shù)下, 得到了最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略的顯式解。Pun等人在兩個(gè)保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程具有模糊相關(guān)下, 研究了相對(duì)業(yè)績(jī), 在指數(shù)效用函數(shù)下, 得到了最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的顯式解[6]。Siu等人研究了相似的問(wèn)題, 他們假設(shè)兩個(gè)保險(xiǎn)公司遭受共同的理賠風(fēng)險(xiǎn), 進(jìn)而以最大化終止相對(duì)財(cái)富的期望效用為目標(biāo), 在指數(shù)效用函數(shù)下得到了最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略的顯式解[7]。

然而，目前還沒(méi)有文獻(xiàn)研究n家保險(xiǎn)公司的競(jìng)爭(zhēng)。本文提出了n家保險(xiǎn)公司的競(jìng)爭(zhēng)框架，進(jìn)而研究了最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題。研究目標(biāo)是，選擇最優(yōu)再保險(xiǎn)策略最大化終端財(cái)富的均值同時(shí)最小化終端財(cái)富的方差。由于目標(biāo)中含有方差項(xiàng)，不滿足期望的迭代性，導(dǎo)致問(wèn)題是時(shí)間不一致的。與文獻(xiàn)[8]和[9]類似的，從博弈論的視角，獲得了均衡策略，均衡策略是時(shí)間一致的。最后，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析了模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響。

1 模型建立

本小節(jié)構(gòu)建n家保險(xiǎn)公司的競(jìng)爭(zhēng)框架，進(jìn)而研究最優(yōu)再保險(xiǎn)策略。所有的隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程都定義在完備的概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上，F(xiàn):={Ft,t∈[0,T]},Ft表示到時(shí)刻t為止，保險(xiǎn)公司獲取的所有信息。

1.1 單個(gè)保險(xiǎn)公司的模型

保險(xiǎn)公司i，i=1,2,…n，的盈余過(guò)程Xi(t)滿足下面的保險(xiǎn)模型

(1)

(1-ai(t))(λ+λi)tμi1+

ξi(1-ai(t))2(λ+λi)μi2t.

(2)

這里ξi>ηi為再保險(xiǎn)公司的安全負(fù)載。

很多關(guān)于最優(yōu)再保險(xiǎn)的研究(例如，參見(jiàn)[5]、[6])考慮了擴(kuò)散近似模型，所以下面也考慮擴(kuò)散近似模型。累積索賠過(guò)程由下式近似

(3)

這里Wi(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，Wi(t)和Wm(t)，i≠m∈{1,2,…n}，是相關(guān)的，相關(guān)系數(shù)為

為了增加財(cái)富，保險(xiǎn)公司可以在利率為r的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資?？紤]再保險(xiǎn)和在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資以及使用逼近過(guò)程(3)后，保險(xiǎn)公司i的盈余(1)變?yōu)槿缦碌奈⒎址匠?/p>

ξi(1-ai(t))2(λ+λi)μi2]dt+

(4)

1.2 n家保險(xiǎn)公司的競(jìng)爭(zhēng)框架

在競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境中，保險(xiǎn)公司傾向于與競(jìng)爭(zhēng)者比較財(cái)富。每個(gè)保險(xiǎn)公司都關(guān)心自己和他人的財(cái)富差異，并希望比競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手表現(xiàn)得更好。因此，相對(duì)財(cái)富在競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境中起著關(guān)鍵作用。下面，基于相對(duì)財(cái)富建立n家保險(xiǎn)公司的競(jìng)爭(zhēng)框架。

理想狀態(tài)下，每家保險(xiǎn)公司的目標(biāo)是超過(guò)其它所有保險(xiǎn)公司的財(cái)富，這往往很難實(shí)現(xiàn)。因?yàn)?，?shí)際中很多保險(xiǎn)公司的財(cái)富水平相當(dāng)。因此，把每家保險(xiǎn)公司競(jìng)爭(zhēng)的目標(biāo)設(shè)置為，其它剩余保險(xiǎn)公司財(cái)富的平均，即

這里(am)m≠i:=(am(t))m≠i=(a1(t),…,ai-1(t),ai+1(t),…,an(t))。

(5)

這里τi∈[0,1]體現(xiàn)了保險(xiǎn)公司i的競(jìng)爭(zhēng)權(quán)重。當(dāng)τi=0時(shí)，保險(xiǎn)公司i只關(guān)心自己的財(cái)富，即n家保險(xiǎn)公司之間不存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系；當(dāng)τi=1時(shí)，保險(xiǎn)公司i只關(guān)心自己的財(cái)富是否超過(guò)競(jìng)爭(zhēng)者的財(cái)富；當(dāng)τi∈(0,1)時(shí)，保險(xiǎn)公司不但關(guān)心自己的財(cái)富，還關(guān)心自己的財(cái)富是否超過(guò)競(jìng)爭(zhēng)者的財(cái)富。

(6)

2 研究目標(biāo)和驗(yàn)證定理

目標(biāo)如下

(7)

這里T為再保險(xiǎn)的終止時(shí)刻，γi>0為常數(shù)，表示保險(xiǎn)公司i的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度

文獻(xiàn)[8]指出(7)是時(shí)間不一致的，也就是在不同的時(shí)間保險(xiǎn)公司選擇的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略是不同的。時(shí)間不一致的原因是因?yàn)榘藯l件方差。人們的偏好可能會(huì)隨著時(shí)間的改變而改變，然而大多數(shù)情況下人們希望最優(yōu)再保險(xiǎn)策略在不同的時(shí)間是一致的。時(shí)間一致再保險(xiǎn)策略更精確的表述是：對(duì)于某固定的起始點(diǎn)(0,x0)，若求得最優(yōu)再保險(xiǎn)策略ai(t)使得(7)成立；那么對(duì)于之后的點(diǎn)(s,xs)，該策略ai(t)仍是(7)的最優(yōu)策略。為了得到時(shí)間一致的再保險(xiǎn)策略，給出均衡策略的定義。

定義1(均衡策略)：定義如下的策略：

如果

文獻(xiàn)[8]證明了，上述定義的均衡策略是時(shí)間一致的策略。所以接下來(lái)，就稱均衡策略為最優(yōu)時(shí)間一致的策略。

為了書(shū)寫(xiě)方便，下面定義一些記號(hào)。

(8)

這里g(ai,am)=Cai,(am)m≠iD(Cai,(am)m≠i)T，Cai,(am)m≠i和D分別滿足下式

(9)

(10)

為了得到最優(yōu)再保險(xiǎn)策略和相應(yīng)的值函數(shù)，類似于[8]中的定理2.3，給出了下面的驗(yàn)證定理。

(11)

(12)

這里

3 主要結(jié)果

通過(guò)上一節(jié)的驗(yàn)證定理得到最優(yōu)時(shí)間一致的再保險(xiǎn)策略和相應(yīng)的值函數(shù)。首先定義如下記號(hào)：

δi=(λ+λi)μi2(2ξi+γier(T-t)),ζi=

(13)

對(duì)于財(cái)富過(guò)程(6)，問(wèn)題(7)的解如下：

(14)

相應(yīng)的值函數(shù)為

(15)

Bi(t)滿足下式

(16)

證明：HJB方程(11)可以重新寫(xiě)為

(17)

(18)

(19)

(18)和(19)代入(17)，化簡(jiǎn)后有

(20)

(20)關(guān)于ai(t)求導(dǎo)數(shù)，有

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

解方程(22)- (25)，得到

(26)

(27)

Bi(t)滿足(16)。把(26)代入(21)，得到

(28)

(28)可以重新寫(xiě)作(14)。證畢。

從(28)可以看出，保險(xiǎn)公司i根據(jù)競(jìng)爭(zhēng)者的再保險(xiǎn)策略調(diào)整自己的再保險(xiǎn)策略，即

度量了保險(xiǎn)公司i對(duì)競(jìng)爭(zhēng)者的再保險(xiǎn)策略的敏感性。當(dāng)不考慮n家保險(xiǎn)公司之間的競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，得到保險(xiǎn)公司i的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為

特別地，當(dāng)市場(chǎng)上只存在兩家競(jìng)爭(zhēng)的保險(xiǎn)公司，有以下結(jié)論。

定理3：對(duì)于財(cái)富過(guò)程(6)，當(dāng)市場(chǎng)上只存在兩家競(jìng)爭(zhēng)的保險(xiǎn)公司時(shí)，問(wèn)題(7)的解如下。

(29)

(30)

最優(yōu)值函數(shù)為

(31)

Bi(t)滿足下式

ξi(1-(s))2(λ+λi)μi2+

τiξm(1-(s))2(λ+λm)μm2]er(T-s)-

i≠m∈{1,2}

定理3的證明與定理2類似，這里我們不再證明。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

以兩家競(jìng)爭(zhēng)的保險(xiǎn)為例，研究模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響。如無(wú)特殊說(shuō)明，模型參數(shù)取值如下

r=0.02,T=10,t=0,λ=2,η1=0.1,

η2=0.2,τ1=0.7,τ2=0.5,μ11=μ21=1,

μ12=μ22=1,ξ1=0.2,ξ2=0.25,λ1=1,λ2=2,γ1=1,ρ12=0.2,γ2=1.2.

圖1 τ1和τ2對(duì)的影響

圖2 τ1和τ2對(duì)的影響

圖3 ξ1對(duì)的影響

圖4 ξ2對(duì)的影響