韋娜娜, 王 震, 章培軍

(西京學(xué)院理學(xué)院，西安 710123)

1 引言

量子信息和量子計(jì)算是量子力學(xué)與信息科學(xué)相結(jié)合而產(chǎn)生的新興交叉學(xué)科，是目前數(shù)學(xué)、物理學(xué)研究的熱點(diǎn).量子糾纏是實(shí)現(xiàn)量子信息與量子計(jì)算的核心資源，也是該學(xué)科展示出巨大優(yōu)勢(shì)和應(yīng)用前景的根本因素，利用量子糾纏可以實(shí)現(xiàn)一些經(jīng)典手段無法實(shí)現(xiàn)的任務(wù)，如量子密鑰分配、量子隱形傳態(tài)、量子密集編碼、量子密碼等.多體量子糾纏由于具有更加豐富的結(jié)構(gòu)和更為復(fù)雜的性質(zhì)，因此，多體量子糾纏在信息處理過程中將有更為廣泛的應(yīng)用.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)經(jīng)典量子糾纏測(cè)量C(ρ)作了很多的研究[1-12].Ma 等[13]定義了量子糾纏測(cè)量D(ρ)，根據(jù)控制論的方法與理論，得到純態(tài)的經(jīng)典量子糾纏測(cè)量較為精確的上界與下界，并利用圖表進(jìn)行了形象的說明.量子糾纏測(cè)量D(ρ)有糾纏單調(diào)性，次可加性等，但是Ma 等關(guān)于其上界的結(jié)論，未給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.Wei 和Li[14]對(duì)于經(jīng)典量子糾纏測(cè)量C(ρ)與Ma 等定義的量子糾纏測(cè)量D(ρ)，利用Schmidt 秩的理論，研究了二者的關(guān)系，得到經(jīng)典量子糾纏測(cè)量的一個(gè)新下界，并利用圖表及Werner 態(tài)，表明此新下界更精確.遺憾的是，Wei 和Li 尚未在此基礎(chǔ)上，研究多體量子態(tài)的相關(guān)性質(zhì).糾纏態(tài)，尤其是多體量子糾纏態(tài)在量子信息各方面，如量子計(jì)算、量子通信等都起著重要作用，因此，研究多體量子糾纏測(cè)量具有十分重要的意義.本文在此背景下，對(duì)于多體量子，研究Ma 等定義的糾纏測(cè)量D(ρ)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)一步完善多體量子糾纏測(cè)量的性質(zhì)研究.首先，給出Ma 等定義的量子糾纏測(cè)量D(ρ).

定義1 純態(tài)|ψ?∈HA ?HB，HA, HB是有限維Hilbert 空間，定義量子糾纏測(cè)量為

其中ρA=trB(|ψ??ψ|), ρB=trA(|ψ??ψ|)，det 表示矩陣的行列式.混合態(tài)

定義量子糾纏測(cè)量為

2 主要結(jié)論

在本文中，無特殊說明的情況下，假設(shè)dimHA= dimHB=n，B(HA ?HB)表示復(fù)合空間HA ?HB上的所有矩陣，ρ ∈B(HA ?HB)在Schmidt 分解中正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱作ρ的Schmidt 秩.由于定義中量子糾纏測(cè)量D(ρ)中有數(shù)學(xué)符號(hào)根號(hào)，為了方便以下定理的證明，我們對(duì)D(ρ)進(jìn)行平方運(yùn)算，則有如下的定理.

定理1設(shè)純態(tài)ρ, σ ∈B(HA ?HB)，HA, HB是有限維Hilbert 空間，則有

證明 根據(jù)Schmidt 分解，則

需要證明不等式

下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明此不等式.

當(dāng)n=2 時(shí)，λ1+λ2=μ1+μ2=1，則有

則有不等式成立

當(dāng)k=n ?1 時(shí)，假設(shè)不等式成立，即

當(dāng)k=n時(shí)，由于

設(shè)=λi,=μi, i=1,2,··· ,n ?21=λn?1+λn, ?1=μn?1+μn，則

在上述不等式的證明過程中，不等式(1)和(2)分別由假設(shè)得到.由于λi, μi ≥0，則

因此，不等式(3)成立.

綜上所述，定理1 得證.

此定理表明，如果ρ, σ是有限維Hilbert 空間的純態(tài)，則兩體量子糾纏測(cè)量的平方D2(ρ)是凹的.

定理2設(shè)純態(tài)ρ, σ ∈B(HA ?HB)，HA, HB是有限維Hilbert 空間，則有

證明 設(shè)B(HA ?HB)是拓?fù)渚€性空間，有限維兩體量子態(tài)空間的數(shù)學(xué)意義為：有限維復(fù)合Hilbert 空間HA ?HB上的跡為1 的正算子.另外，函數(shù)

當(dāng)多體量子態(tài)以平均概率與隨機(jī)概率線性組合時(shí)，根據(jù)Harday 等[16]，下面將上述定理推廣至任意有限維Hilbert 空間.

推論1設(shè)純態(tài)ρi ∈B(HA ?HB)，HA, HB是任意有限維Hilbert 空間，則

推論2設(shè)純態(tài)ρi ∈B(HA ?HB)，HA, HB是任意有限維Hilbert 空間，對(duì)于任意一組實(shí)數(shù)：ci, i=1,2,··· ,k，則有

以上的定理及推論，得到凸組合的多體量子純態(tài)糾纏測(cè)量的凹性.下面，討論兩體量子態(tài)的上界.

定理3設(shè)純態(tài)ρ, σ ∈B(HA ?HB)，HA, HB是有限維Hilbert 空間，則

當(dāng)且僅當(dāng)λi(ρ)=λi(σ)=, i=1,2,··· ,n時(shí)，等號(hào)成立.

證明 首先設(shè)ρ, σ是任意態(tài)，且ρA, σA的特征值分別為ai, bi, i= 1,2,··· ,n，根據(jù)Marshal 和Olkin[17]，設(shè)a= (a1,a2,··· ,an)′, b= (b1,b2,··· ,bn)′，且a1≥a2≥···≥an, b1≥b2≥···≥bn，由于

假設(shè)

且t=(t1,t2,··· ,tn)′, t1≥t2≥···≥tn.令函數(shù)

其次，設(shè)ρ, σ是混合態(tài)，根據(jù)以上證明，得

3 結(jié)論

本文在兩體量子態(tài)的研究基礎(chǔ)上，對(duì)多體量子純態(tài)的糾纏測(cè)量進(jìn)行了討論與研究，利用Schmidt 秩的方法與拓?fù)淅碚摰玫搅硕囿w量子糾纏測(cè)量的凹性這一非常重要的性質(zhì)，在該性質(zhì)的研究過程中，我們進(jìn)行了解析運(yùn)算，一方面得到了問題的其他相關(guān)物理量的解析式，不僅擴(kuò)大了問題的討論范圍，而且使多體量子態(tài)的性質(zhì)更加完善；另一方面，該性質(zhì)對(duì)拓?fù)湮飸B(tài)的研究提供了理論依據(jù)，同時(shí)也提供了更多的物理涵義.如在利用多體量子糾纏性質(zhì)刻畫拓?fù)湮飸B(tài)的研究時(shí)，引入特殊的對(duì)偶變換，研究二維的Kitaev 蜂巢模型，本文對(duì)該模型的拓?fù)湫蚰芨映晒Φ孛枋觯M(jìn)而應(yīng)用于拓?fù)淞孔佑?jì)算和量子精密測(cè)量中.