張杰華, 韓明華

(凱里學(xué)院理學(xué)院，貴州 凱里 556011)

1 引言

Navier-Stokes(N-S)方程是計(jì)算流體力學(xué)(CFD)中的基本方程，而局部守恒性是CFD 數(shù)值方法發(fā)展的一個(gè)重要準(zhǔn)則.有限體積法(FVM)最大的特點(diǎn)就是能在其控制體積上保持某種物理量的局部守恒，同時(shí)繼承了有限元法和有限差分法的優(yōu)點(diǎn)，因此FVM 已成為解決CFD 問(wèn)題的一種流行數(shù)值方法.

近年來(lái)FVM 的研究非常活躍.文獻(xiàn)[1,2]分析和構(gòu)造了一類橢圓問(wèn)題的二階和三階FVM.它們根據(jù)三角網(wǎng)格上的某些幾何要求，建立了離散雙線性型一致局部橢圓性的充要條件，為研究各類高階FVM 方程的穩(wěn)定性提供了一種通用的方法.文獻(xiàn)[3]利用兩套網(wǎng)格—速度場(chǎng)的粗網(wǎng)格和壓力場(chǎng)的細(xì)網(wǎng)格，在三角形網(wǎng)格上建立了求解N-S 方程的一階FVM，并證明了其穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[4]利用增加穩(wěn)定項(xiàng)的方法使其N-S 方程對(duì)應(yīng)的一階FVM 方程滿足穩(wěn)定性，從而得到三角形網(wǎng)格上的最優(yōu)誤差估計(jì).另外還有許多其它關(guān)于研究FVM 求解N-S 方程穩(wěn)定性理論的工作，如文獻(xiàn)[5–13]及其參考文獻(xiàn).然而，這些工作大多是局限于在三角形網(wǎng)格上采用分片線性多項(xiàng)式函數(shù)逼近速度場(chǎng)的低階FVM，其主要思想是利用增加穩(wěn)定項(xiàng)的技術(shù)使N-S 方程的一階FVM 方程滿足穩(wěn)定性條件.這在一定程度上導(dǎo)致了求解FVM 方程的計(jì)算量增大及其穩(wěn)定性理論分析的難度，并且其理論結(jié)果只有關(guān)于速度項(xiàng)的一階H1模誤差估計(jì).到目前為止，很少出現(xiàn)利用二次多項(xiàng)式函數(shù)逼近N-S 方程速度場(chǎng)的高階FVM 的相關(guān)理論研究工作.

本文考慮利用二階混合FVM 求解定常N-S 方程，即對(duì)速度場(chǎng)的試驗(yàn)函數(shù)空間取為分層二次多項(xiàng)式函數(shù)的有限元空間，檢驗(yàn)函數(shù)空間由對(duì)偶剖分網(wǎng)格上的特征函數(shù)及二次多項(xiàng)式函數(shù)所組成，壓力場(chǎng)的試驗(yàn)函數(shù)空間和檢驗(yàn)函數(shù)空間均取為線性有限元空間.利用二階混合FVM 的離散雙線性型與其對(duì)應(yīng)的有限元法離散雙線性型之間的等價(jià)關(guān)系，本文證明了求解N-S 方程二階混合FVM 的穩(wěn)定性，進(jìn)而得到了二階混合FVM 關(guān)于速度項(xiàng)和壓力項(xiàng)的最優(yōu)誤差估計(jì)收斂階.

本文有如下幾個(gè)特點(diǎn).首先，本文構(gòu)建的混合FVM 的對(duì)偶剖分網(wǎng)格與線性FVM 的相同，從而其理論分析與其技術(shù)的實(shí)現(xiàn)都較一般傳統(tǒng)FVM 簡(jiǎn)單.另外，本文不用增加穩(wěn)定項(xiàng)，不需要粗細(xì)兩套三角形網(wǎng)格，即可得到求解N-S 方程的二階混合FVM 的穩(wěn)定性及其最優(yōu)誤差估計(jì).其次，對(duì)于N-S 方程中的非線性項(xiàng)，本文直接在FVM 的控制體積上對(duì)其進(jìn)行離散化，從而利用其FVM 的非線性項(xiàng)與其對(duì)應(yīng)的有限元法的非線性項(xiàng)之間的關(guān)系，使得二階FVM 的理論分析及其計(jì)算技術(shù)的實(shí)現(xiàn)更加方便.此外，本文首次證明了二階FVM 求解N-S 方程關(guān)于速度場(chǎng)的H1模和壓力場(chǎng)的L2模的最優(yōu)誤差估計(jì).不僅本文的理論結(jié)果與其對(duì)應(yīng)的有限元法結(jié)論相同，而且其證明方法具有一般性，可被應(yīng)用于更一般的高階及高維有限體積法理論分析的情形.

第2 節(jié)將介紹一些相關(guān)記號(hào)和N-S 方程的變分問(wèn)題.第3 節(jié)建立求解N-S 方程的二階混合FVM.第4 節(jié)將證明此二階FVM 的穩(wěn)定性及其該方法的最優(yōu)階誤差估計(jì).第5 節(jié)將給出數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性.

2 Navier-Stokes 方程

記? 為R2中的一個(gè)多邊形區(qū)域，?? 為其邊界，設(shè)

并用//·//0表示L2(?)空間的范數(shù)，用|·|m和//·//m分別表示Hm(?)空間的半范數(shù)和全范數(shù).設(shè)C,c(或含下標(biāo))表示一類與網(wǎng)格尺寸無(wú)關(guān)的正常數(shù)，與文中出現(xiàn)的(μ,?,f)有關(guān).

本文考慮如下定常N-S 方程：求u := (u1,u2)∈(?)∩H2(?)和p ∈(?)∩H1(?)滿足

此處，f := (f1,f2)為作用于流體上的外力，μ> 0 為流體粘度，u 為所求速度場(chǎng)，p為所求壓力場(chǎng).

方程(1)的變分形式為：求u∈(?)∩H2(?), p ∈(?)∩H1(?)滿足

此處

利用Green 公式和方程(1)的第二式及其邊界條件可知，對(duì)任意的u,v,w∈(?)∩H2(?)，三線性型c(·,·,·)滿足

另外，對(duì)任意的u,v,w∈(?)∩H2(?)，三線性型c(·,·,·)還滿足[14,15]

本文假設(shè)原方程(1)總存在唯一解，即μ與f 滿足如下條件[15]

3 有限體積法

本節(jié)將建立求解N-S 方程(1)的二階混合FVM 方程.下面依次介紹FVM 的三角形網(wǎng)格剖分及其試驗(yàn)函數(shù)空間，對(duì)偶網(wǎng)格剖分及其檢驗(yàn)函數(shù)空間，最后給出求解N-S 方程(1)的FVM 方程.

設(shè)T:={K}為? 上的擬一致三角形網(wǎng)格剖分[16,17]，即存在一個(gè)與網(wǎng)格尺寸h

無(wú)關(guān)的正常數(shù)θinf，使得三角形單元K ∈T的最小內(nèi)角θmin,K滿足θmin,Kθinf，且存在常數(shù)γ> 0，對(duì)所有的K ∈T滿足γh2meas(K)h2.記T:={T}為? 上的擬一致三角形剖分族.設(shè)取N-S 方程(1)中的速度場(chǎng)與壓力場(chǎng)的試驗(yàn)函數(shù)空間分別為如下的有限元函數(shù)空間

其中Pr(D)表示在區(qū)域D上的r次多項(xiàng)式函數(shù)空間.具體地，取速度場(chǎng)的試驗(yàn)函數(shù)空間UT為[1,2,18]

UT=V1,T ⊕W2,T,

此處

V1,T:=span{?P:P ∈N},W2,T:=span{?P?P′:P,P′∈N}.

記N表示剖分T={K}的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的集合，則?P表示在節(jié)點(diǎn)P ∈N處的線性插值基函數(shù)，即?P ∈P1(K)，且若P=P′，則?P(P′)=1，若P ?=P′，則?P(P′)=0.壓力場(chǎng)的試驗(yàn)函數(shù)空間及檢驗(yàn)函數(shù)空間均取為QT，其基函數(shù)集為

ΨT:={?P:P ∈N}.

下面介紹二階混合FVM 的對(duì)偶剖分及其關(guān)于速度項(xiàng)的檢驗(yàn)函數(shù)空間[1,2,18].分別用直線連結(jié)三角形的重心與各邊的中點(diǎn)，則將每個(gè)三角形K ∈T分解成三個(gè)區(qū)域.把包含三角形頂點(diǎn)的多邊形區(qū)域稱之為一個(gè)控制體積K?，則所有的這些控制體積K?就形成了區(qū)域? 的一個(gè)對(duì)偶剖分T ?，即T ?:={K?}.顯然，二階混合FVM 的對(duì)偶剖分與線性FVM 的相同，因此其理論分析較傳統(tǒng)Lagrange 二階有限體積法簡(jiǎn)單.取速度場(chǎng)的檢驗(yàn)函數(shù)空間為UT ?滿足

UT ?=V0,T ?⊕W2,T,

這里V0,T ?:= span{χP:P ∈N}為控制體積K?上的分片常數(shù)函數(shù)空間，χP為其頂點(diǎn)P ∈N處的控制體積的特征函數(shù).顯然dimUT=dimUT ?.下面引入從UT到UT ?的一個(gè)線性映射.對(duì)任意的

設(shè)ΠT ?:UT →UT ?滿足

這里cP,cP,P′為向量常數(shù).

利用從UT到UT ?的線性映射ΠT ?，建立如下求解N-S 方程(1)的FVM 方程：求(u,p)∈(UT,QT)，使得對(duì)所有的(v,q)∈(UT,QT)滿足

這里

其中n 為?K?上的單位外法向量.此處的非線性項(xiàng)cT(u,w,ΠT ?v),u,w,v∈UT，是利用方程(1)的第一式加上連續(xù)性方程后在每個(gè)控制體積K?∈T ?上進(jìn)行積分求和而得到.特別地，若用v∈UT代替非線性項(xiàng)cT(u,w,ΠT ?v)中的ΠT ?v∈UT ?，則有

cT(u,w,v)=c(u,w,v), ?u,w,v∈UT.

因此利用非線性項(xiàng)cT(u,w,ΠT ?v)與c(u,w,v)的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化FVM(6)的理論分析.

方程(6)即為本文所分析的FVM 方程.注意到UT ?包含控制體積上的特征函數(shù)，因此FVM(6)關(guān)于速度項(xiàng)的數(shù)值解具有局部守恒性.

4 穩(wěn)定性及誤差估計(jì)分析

本節(jié)主要分析FVM(6)在三角形網(wǎng)格上的穩(wěn)定性及其誤差估計(jì).注意到FVM(6)中含壓力項(xiàng)的離散雙線性型與其對(duì)應(yīng)的有限元法離散雙線性型具有等價(jià)的關(guān)系，以及FVM(6)的橢圓雙線性型滿足強(qiáng)制性，從而在粘度μ和外力f 滿足一定的條件下(與有限元法類似)，利用Brouwers 不動(dòng)點(diǎn)定理，可以得到FVM(6)的穩(wěn)定性及其方程解的唯一性.一旦FVM(6)的穩(wěn)定性成立，即可推出其關(guān)于速度場(chǎng)的H1(?)模與壓強(qiáng)場(chǎng)的L2(?)模的最優(yōu)誤差估計(jì).

首先，我們引入一些結(jié)論.關(guān)于線性映射ΠT ?: UT →UT ?，由文獻(xiàn)[18,19]可知如下性質(zhì)成立.

引理1對(duì)任意的u∈UT，有

若T為擬一致剖分，則對(duì)任意的u∈UT，有

由文獻(xiàn)[14]可知，對(duì)任意的(v,q)∈(UT,QT)，雙線性型dT(v,q)具有如下估計(jì).

引理2若T為擬一致剖分，則對(duì)任意的(v,q)∈(UT,QT), T ∈T，存在常數(shù)C，使得

|dT(v,q)|C|v|1//q//0.

另外，對(duì)任意的q ∈QT，存在常數(shù)c滿足

結(jié)合引理1、引理2，由文獻(xiàn)[19]可知：

引理3對(duì)任意的(v,q)∈(UT,QT)，有

結(jié)合不等式(10)，則對(duì)任意的q ∈QT，存在常數(shù)c滿足

引理4若T為擬一致剖分，則對(duì)所有的(v,p)∈(UT,L20(?)∩H1(?)), T ∈T，存在常數(shù)C滿足

引理5若T為擬一致剖分，θmin,K> 14.18?, K ∈T，則對(duì)所有的u∈(?)∩(?),v∈UT, T ∈T，存在常數(shù)C, c4滿足

這里

記C(·,·)為空間(UT,QT)×(UT,QT)上的雙線性型泛函，即令

C((u,p),(v,q)):=aT(u,ΠT ?v)+bT(ΠT ?v,p)+dT(u,q).

類似于文獻(xiàn)[19]中Theorem 7 的證明，利用引理2、引理4、引理5 及Babuska-Lax-Milgram 定理[20]，可得如下估計(jì).

引理6若T為擬一致剖分，θmin,K>14.18?, K ∈T，則對(duì)所有(u,p)∈(UT,QT),T ∈T，存在常數(shù)C, c5滿足

有了上述準(zhǔn)備，下面證明FVM(6)的穩(wěn)定性及解的唯一性.記//·//m,p為Soblev 空間Wm,p(?)的范數(shù)，如下結(jié)論將會(huì)被用到.

定理1若T為擬一致剖分，θmin,K>14.18?, K ∈T，且對(duì)所有的h>0 滿足

此處

則FVM(6)至少存在一組解(u,p)∈(UT,QT).如果μ>0,f∈L2(?), h>0，且滿足

則FVM(6)存在唯一解，且滿足

證明 這里主要利用Brouwers 不動(dòng)點(diǎn)定理[21]證明結(jié)論.記

對(duì)任意的(v,q)∈(UT,QT)，設(shè)映射PT:(UT,QT)→(UT,QT)滿足

此處PT(w,p):=(PTw,p)=(u,p)∈(UT,QT)以及(w,·)∈BM.

先證FVM(6)解的存在性，即證PT(BM)?BM.首先考慮|u|1的估計(jì).在等式(22)中取(v,q)=(u,p)∈(UT,QT)，則有

利用引理3 中的等式(11)，則上式可簡(jiǎn)化為

下面考慮等式(23)中的每一項(xiàng).對(duì)于第一項(xiàng)，由估計(jì)(15)可知，對(duì)任意的u∈UT，有

對(duì)于第二項(xiàng)，由cT(·,·,·)的定義及關(guān)系式(3)可知，對(duì)任意的w,u,v∈UT，有

下面估計(jì)等式(23)左邊的第三項(xiàng).注意到u∈UT ?W1,∞(?)，利用Cauchy-Schwartz 不等式及估計(jì)(9)式和(17)式，則可得

注意到(w,·)∈BM，即

因此利用不等式(28)和條件(19)式，可將估計(jì)(27)式化為

對(duì)于等式(23)的右端項(xiàng)，利用Cauchy-Schwartz 不等式及范數(shù)估計(jì)(8),(16)可得

從而將上述關(guān)系式(24),(26),(29),(30)分別代入等式(23)，整理可得

再結(jié)合條件(18)式，因此有

下面考慮//p//0的估計(jì).利用上述類似的方法，注意到w,u,v∈UT，則由估計(jì)(25),(27)及關(guān)系式(4)可得

取

則由估計(jì)(32), (33)及(28)可得

另外，由引理6 中的第二個(gè)不等式，結(jié)合等式(22)，可知對(duì)任意的(u,p)∈(UT,QT)有

將估計(jì)(30),(34)代入上式可知，對(duì)任意的p ∈QT，有

結(jié)合估計(jì)(31)可得

從而PT(BM)?BM.因此由Brouwers 不動(dòng)點(diǎn)定理可知FVM(6)至少存在一組解.

下面證明FVM(6)解的唯一性.設(shè)(u,p)∈(UT,QT)和(ˉu,ˉp)∈(UT,QT)為FVM(6)的兩組解，即對(duì)任意的(v,q)∈(UT,QT)，有

易知u,均滿足估計(jì)(31).利用上面兩式作差可得

這里用到了

設(shè)(v,q) = (u?,p ?ˉp) := (e,η)∈(UT,QT)，則由估計(jì)(24)的結(jié)論可知，等式(35)左端第一項(xiàng)滿足

另外，由關(guān)系式(25)和(26)可知，等式(35)左端第二與第三項(xiàng)之和滿足

上式結(jié)合估計(jì)(27)和(4)得

再由估計(jì)(31)和條件(19)可知，等式(35)左端第二與第三項(xiàng)之和滿足

利用估計(jì)(36)和(38)，整理等式(35)，可得

再由條件(20)的第二式可得

因此p=.

綜上所述，F(xiàn)VM(6)在條件(20)下存在唯一解.

此定理說(shuō)明，當(dāng)網(wǎng)格尺寸h加密到一定的粗細(xì)時(shí)，即條件(18)成立時(shí)，F(xiàn)VM(6)存在數(shù)值解.若μ與f 滿足條件(20)的第二式，則當(dāng)網(wǎng)格尺寸h進(jìn)一步加密時(shí)，F(xiàn)VM(6)具有唯一解.結(jié)合假設(shè)條件(5)與條件(20)可知，在原問(wèn)題(1)存在唯一解的條件下，要使FVM(6)也有唯一解，那么μ與f 須滿足

注意到由//f//?的定義及范數(shù)估計(jì)(16)可知

一般地可取4C3> 2c4(c4)2，從而可知當(dāng)μ與f 滿足條件(20)時(shí)，條件(39)一定成立.即，在FVM(6)存在唯一解的條件下，原問(wèn)題(1)也一定有解.

有了FVM(6)的穩(wěn)定性，下面將考慮FVM(6)關(guān)于速度場(chǎng)的H1(?)模與壓強(qiáng)場(chǎng)的L2(?)模的誤差估計(jì).為此，需要一個(gè)強(qiáng)于(20)的假設(shè)條件

其中f∈L2(?).即要求μ與f 滿足

這里仍取4C3> 2c4(c4)2.從而利用上述FVM(6)的穩(wěn)定性結(jié)及插值誤差估計(jì)，可得如下定理.

定理2設(shè)(u,p)∈((?)∩H3(?),(?)∩H2(?))為原方程(1)的真解，(uT,pT)∈(UT,QT)為FVM(6)的數(shù)值解.若T為擬一致剖分，θmin,K> 14.18?, K ∈T，則當(dāng)h> 0 滿足條件(18)，且f∈L2(?)和μ> 0 滿足(40)時(shí)，存在常數(shù)C使得對(duì)所有的T ∈T，有

為了證明定理2，下面首先介紹兩個(gè)引理.

引理7如果定理2 的所有條件成立，則存在常數(shù)C滿足這里ξh:=uT ?u∈UT, ηh:=pT ?p ∈QT，其中,為插值算子.

證明 此引理的證明主要利用離散雙線性型aT(·,ΠT ?·)的連續(xù)性和橢圓性，離散雙線性型bT(ΠT ?·,·)的連續(xù)性，另外還用到插值誤差估計(jì).

在FVM(6)中令(u,p):=(uT,pT)∈(UT,QT)，則有

利用(44)式減去(45)式，可得

及

這里ξ:=u?u∈(?)∩H2(?), η:=p ?p ∈(?)∩H1(?).

在等式(46)中取v=ξh ∈UT，在等式(47)中取q=ηh ∈QT，則由等式(11)可知

因此由等式(46)和(47)，可得

注意到上式的最后兩項(xiàng)可展開為

再將其回代到等式(48)中可得

下面考慮等式(49)右端的每一項(xiàng)估計(jì).首先，注意到ξ ∈∩H2?∩，因此由估計(jì)(14)及插值誤差估計(jì)可知，對(duì)任意的ξ ∈(?)∩H2(?), ξh ∈UT，有

再由估計(jì)(13)及插值誤差估計(jì)可知，對(duì)任意的ξh ∈UT, η ∈(?)∩H1(?)，有

利用Cauchy-Schwartz 不等式及插值誤差估計(jì)，可知對(duì)任意的ξ ∈(?)∩H2(?), ηh ∈QT，有

下面考慮等式(49)右端的第三項(xiàng)估計(jì).利用估計(jì)(32)和(33)可知，等式(49)右端的第三項(xiàng)滿足

因?yàn)閡∈(?)∩H3(?)為方程(1)的解，因此必滿足變分方程(2).在方程(2)中取(v,q):=(u,p)∈((?)∩H2(?),(?)∩H1(?))，并利用范數(shù)估計(jì)(16)可知

即

其中f∈L2(?).結(jié)合估計(jì)(53)和(54)，利用插值誤差估計(jì)可得

下面考慮等式(49)右端的第四項(xiàng)的估計(jì).事實(shí)上，利用估計(jì)(21)的結(jié)論

及插值誤差估計(jì)，等式(49)右邊的第四項(xiàng)滿足如下估計(jì)

因此將估計(jì)(50),(51),(52),(55),(56)代入等式(49)右端，可得

接下來(lái)考慮等式(49)左端項(xiàng)的估計(jì).類似于不等式(37)的推導(dǎo)，可得

這里

注意到c42C3，利用條件(18)和(19)，則由不等式(58)可得

因此，結(jié)合估計(jì)(15)的結(jié)論，可知等式(49)的左端滿足如下估計(jì)

其中

考慮到條件(20)和(40)，可知N(f)>0.因此由不等式(59)可得

再結(jié)合估計(jì)(57)和(60)，可得

即證結(jié)論(43).

引理8如果定理2 的所有條件成立，則存在常數(shù)C滿足

證明 此結(jié)論的證明利用雙線性型bT(ΠT ?·,·)的inf-sup 條件，雙線性型aT(·,ΠT ?·)的連續(xù)性，以及插值誤差估計(jì).

首先，由等式(46)可知

其中

下面考慮等式(63)右端各項(xiàng)的估計(jì).注意到

則由估計(jì)(32)和(33)知

將以上估計(jì)(65)代入等式(63)的右端可得

由估計(jì)(13)可知，對(duì)任意的(v,η)∈(UT,(?)∩H1(?))，有

由估計(jì)(14)可知，對(duì)任意的(ξ ?ξh)∈∩H2?∩，有

此處用到了有限元逆估計(jì)|ξh|2Ch?1|ξh|1, ξh ∈UT.

將以上估計(jì)(66),(67),(68)代入等式(62)的右端，并利用插值誤差估計(jì)可得

又由引理3 中的估計(jì)(12)可知，對(duì)任意的ηh=pT ?p ∈QT，有

結(jié)合(69)和(70)易得

即得估計(jì)(61).

定理2的證明：利用引理7 和引理8 的結(jié)論，得到|u?uT|1和//p ?pT //0的估計(jì).

首先由估計(jì)(43)和(61)易知

為了方便，記|||(u,p)|||:=h2(//u//3+//p//2)，則利用Young 不等式可得

此處ε>0 為一任意常數(shù).取ε=C，則利用不等式(72)，估計(jì)(71)可化為

即

因此，利用三角不等式，插值誤差估計(jì)和估計(jì)(73)可得

另一方面，結(jié)合估計(jì)(73)和(61)，利用三角不等式及插值誤差估計(jì)可得

因此由估計(jì)(74)和(75)即得結(jié)論(42).

此定理說(shuō)明，當(dāng)μ和f 滿足條件(40)或(41)時(shí)，F(xiàn)VM(6)存在唯一解且具有最優(yōu)誤差估計(jì).進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)條件(41)意味著C1C3C6>//f//0，即要求//f//0不宜過(guò)大.另外，在實(shí)際問(wèn)題中粘度往往非常小，從而條件(41)的第一個(gè)不等式可恒成立，也就是條件(40)的第二個(gè)不等式可恒成立.因此只需考慮條件(40)的第一個(gè)不等式，即條件(20)的第二式.綜合前述的穩(wěn)定性，可知當(dāng)μ和f 滿足條件(20)時(shí)，原問(wèn)題(1)有解，且FVM(6)存在唯一解及其最優(yōu)誤差估計(jì).

此定理的證明具有一般性.這種方法可以直接應(yīng)用到更一般的高階及高維情形的誤差估計(jì)證明.

5 算例

本節(jié)將利用數(shù)值算例來(lái)檢驗(yàn)FVM(6)的有效性.

步驟1取迭代初值:=0(n=0)代入方程(76)，求解對(duì)應(yīng)的線性方程(即Stokes方程)可得.顯然滿足條件(21).

為非線性方程FVM(6)的解.

下面檢驗(yàn)FVM(6)在三角形網(wǎng)格上的誤差估計(jì).考慮將正方形區(qū)域? := (0,1)×(0,1)進(jìn)行一致三角形網(wǎng)格剖分，網(wǎng)格大小為h=1/N.具體地，先將? 分解成N×N個(gè)矩形網(wǎng)格，然后用對(duì)角線將每個(gè)正方形分成兩個(gè)三角形.兩個(gè)算例如下.

例1 設(shè)N-S 方程(1)的真解為u=(u1,u2)和p，其中

例2設(shè)N-S 方程(1)的真解為u=(u1,u2)和p，其中

例1 和例2 中的解均滿足條件u|??=0,∫?p=0.

為使N-S 方程(1)中的μ和f 滿足條件(20)的第二式，此處取μ=1.表1 和表2 分別列出了例1 和例2 的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，其中|u?uT|1, //p ?pT //0分別為速度場(chǎng)的H1模和壓強(qiáng)場(chǎng)的L2模誤差，r(u), r(p)分別表示速度場(chǎng)與壓強(qiáng)場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的誤差收斂階.數(shù)值結(jié)果表明本文的計(jì)算方法正確，且當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密(滿足條件(20)的第一式)時(shí)，F(xiàn)VM(6)具有速度項(xiàng)的最優(yōu)H1模和壓強(qiáng)項(xiàng)的最優(yōu)L2模的誤差收斂階O(h2)，顯然這與本文的理論結(jié)果相一致.從而也驗(yàn)證了求解N-S 方程(1)的二階混合FVM(6)與相對(duì)應(yīng)的有限元法具有相同的誤差收斂階.

表1 例1 的誤差估計(jì)和收斂階

表2 例2 的誤差估計(jì)和收斂階

下面考慮在正方域? = (0,1)×(0,1)上利用FVM(6)對(duì)經(jīng)典lid-driven cavity 問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬.

例3 設(shè)N-S 方程(1)中的μ=1,f =0.真解u=(u1,u2)滿足如下邊界條件

顯然，N-S 方程(1)中的μ和f 滿足條件(20).利用GMSH 軟件自動(dòng)生成區(qū)域? 的非結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格剖分，見圖1.根據(jù)FVM(6)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，利用TECPLOT 軟件畫出了其速度場(chǎng)的流線圖，見圖2.從流線圖中可以看出，對(duì)于具有粘性(系數(shù)μ= 1)的方腔驅(qū)動(dòng)流體，當(dāng)邊界以一定的速度移動(dòng)時(shí)，方腔內(nèi)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)漩渦流，且漩渦中心位于方腔的中間位置.流線的疏密可反映速度的大小，因此可見靠近方腔驅(qū)動(dòng)壁面上的速度要大于其它地方的速度.總之，模似結(jié)果顯示出了良好的計(jì)算效果.

圖1 三角形網(wǎng)格剖分

圖2 速度場(chǎng)流線圖

6 結(jié)論

由定理1 和定理2 可知，當(dāng)μ和f 滿足適當(dāng)?shù)臈l件時(shí)(類似于但略強(qiáng)于有限元法)，例如條件(20)，則求解N-S 方程(1)的FVM(6)存在唯一解及其最優(yōu)誤差估計(jì).在有限體積法中，μ和f 所需滿足條件略強(qiáng)于對(duì)應(yīng)的有限元法，這主要是由有限體積法的橢圓離散雙線性型的不對(duì)稱性所引起的，因此這是不可避免的.不過(guò)有限體積法可以保持物理量的局部守恒性(這是傳統(tǒng)有限元法不具備的)，且計(jì)算量比有限元法(尤其是間斷有限元法)小得多，這正是利用有限體積法處理CFD 問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)所在.