閔 莉 宋航遠(yuǎn) 王 野

(沈陽建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽110168)

近年來，我國裝備制造業(yè)飛速發(fā)展，高精加工技術(shù)領(lǐng)域市場需求也愈發(fā)高漲，數(shù)控技術(shù)進(jìn)入了前所未有的高速發(fā)展階段。隨著加工技術(shù)的廣泛應(yīng)用，許多復(fù)雜自由曲面加工難題得以解決，因此，五軸數(shù)控加工技術(shù)對于數(shù)字化加工制造技術(shù)有著十分重要的意義[1]。

自由曲面刀具軌跡規(guī)劃是對復(fù)雜曲面進(jìn)行數(shù)控加工的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。刀具軌跡規(guī)劃算法對加工效率和表面質(zhì)量有著直接的影響。其中，走刀步長的研究又是刀具軌跡規(guī)劃中至關(guān)重要的一環(huán)?，F(xiàn)有關(guān)于步長的研究有：基于機(jī)床運(yùn)動學(xué)模型計(jì)算走刀步長的方法[2]；基于刀具、刀路幾何信息及機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)等因素，通過優(yōu)化機(jī)床逼近擬合曲線的誤差優(yōu)化走刀步長方法[3]；基于補(bǔ)償機(jī)床自身非線性誤差從而優(yōu)化走刀步長方法[4]；基于切削力模型的刀觸點(diǎn)確定算法[5]；基于Dijkstra算法的走刀步長計(jì)算方法[6]；實(shí)時NURBS曲線插補(bǔ)算法研究[7-10]；弓高誤差中點(diǎn)校核算法研究[11-12]。但在實(shí)際加工中，最常用的還是傳統(tǒng)的走刀步長計(jì)算方法：等參數(shù)步長法、等距步長法以及等弓高誤差步長法[13]。其中等弓高誤差步長法采用近似替代的方法，假設(shè)相鄰兩刀觸點(diǎn)之間為等半徑圓弧計(jì)算步長，將會產(chǎn)生一定的誤差。因此本文基于等弓高誤差法的不足，加入了精確弓高誤差的校核計(jì)算，重新搜索調(diào)整實(shí)際刀觸點(diǎn)的精確位置。

1 等弓高誤差步長法

1.1 等弓高誤差法的計(jì)算

已知曲面為S(u,v)，假設(shè)刀具路徑曲線為P(t)，則有：

P(t)=P(u(t),v(t))

(1)

假設(shè)同一條路徑曲線P(t)上相鄰兩刀觸點(diǎn)間的曲線為等半徑圓弧，即Ri=Ri+1。若已知許用弓高誤差[ε]、當(dāng)前刀觸點(diǎn)P(ti)以及該點(diǎn)在路徑曲線P(t)上的曲率半徑Ri，即可計(jì)算出步長Li，繼而求出后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)位置。

如圖1所示，通過勾股定理可得：

(2)

由式(1)可得步長Li：

(3)

由二階泰勒展開可得參數(shù)增量Δt：

(4)

故后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)位置：

ti+1=ti+Δt

(5)

P(ti+1)=P(ti+Δt)

(6)

1.2 等弓高誤差法的不足

由1.1節(jié)可得到后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)。但是，在計(jì)算過程中，采用了大量的近似代替。首先，在整個計(jì)算過程中，將P(ti)與P(ti+1)兩刀觸點(diǎn)之間的圓弧用等半徑圓弧代替，假設(shè)Ri=Ri+1；其次，在計(jì)算參數(shù)增量Δt的過程中采用了泰勒二階展開，并省略了余項(xiàng)；最后，從幾何上來講，任意一條曲線都可能存在若干二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，即拐點(diǎn)。而如果當(dāng)前刀觸點(diǎn)P(ti)恰好落在當(dāng)前路徑曲線的拐點(diǎn)附近時，該點(diǎn)的曲率半徑將接近無窮大，從而導(dǎo)致由上述公式計(jì)算得到的步長Li可能會離奇增大，從而導(dǎo)致實(shí)際弓高誤差遠(yuǎn)大于許用誤差。

2 精確弓高誤差步長算法

基于1.2節(jié)所述的不足，本文在其基礎(chǔ)上加入了精確弓高誤差校核計(jì)算。通過比較P(ti)、P(ti+1)兩刀觸點(diǎn)之間的實(shí)際弓高誤差εi(ti,ti+1)與許用弓高誤差[ε]，進(jìn)而調(diào)整后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)的實(shí)際位置。

2.1 精確弓高誤差求解

首先通過1.1節(jié)傳統(tǒng)的等弓高誤差步長法，計(jì)算一個初始步長Li，繼而求出初始參數(shù)增量Δti，得到后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)的初始位置。因?yàn)樵诩庸ぶ袨楸ＷC擬合曲線的精確性，路徑曲線在一個走刀步長內(nèi)一定是單峰區(qū)間，故弧P(ti)P(ti+1)與弦P(ti)P(ti+1)的最大弓高誤差只存在于一點(diǎn)處，我們只需要求出該參數(shù)點(diǎn)位置，即可求出精確的弓高誤差。

由圖2可知，當(dāng)曲線P(t)中弧P(ti)P(ti+1)內(nèi)某點(diǎn)P(tim)的切線斜率等于弦P(ti)P(ti+1)的斜率，則該點(diǎn)即為該步長內(nèi)最大弓高誤差點(diǎn)。

設(shè)弦P(ti)P(ti+1)的斜率為k1：

k1=ΔP/Δt

(7)

式中：Δt可由式(4)計(jì)算，ΔP即為兩刀觸點(diǎn)縱坐標(biāo)差值。

設(shè)弧P(ti)P(ti+1)的斜率為k2：

k2=P′(t)

(8)

其中P′(t)為曲線P(t)對參數(shù)t求導(dǎo)：

(9)

最后，令兩個斜率相等：

k1=k2

(10)

即可求出參數(shù)t=tim以及最大弓高誤差點(diǎn)P(tim)。

該步長區(qū)間內(nèi)的實(shí)際弓高誤差εi的計(jì)算即可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P(tim)到弦P(ti)P(ti+1)的距離。由距離公式可得：

(11)

2.2 參數(shù)最小可行區(qū)間T(tmin,tmax)求解

根據(jù)2.1節(jié)，校核實(shí)際弓高誤差與許用弓高誤差的大小。如果εi(ti,ti+1)>[ε]，向左調(diào)整后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)參數(shù)ti+1；如果εi(ti,ti+1)<[ε]，向右調(diào)整后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)的參數(shù)ti+1。最終輸出ti+1的最小可行區(qū)間T(tmin,tmax)。

設(shè)ε(tm,tn)表示點(diǎn)P(tm)與點(diǎn)P(tn)點(diǎn)之間的實(shí)際弓高誤差。算法流程圖見圖3。

具體算法步驟如下：

(1)已知當(dāng)前刀觸點(diǎn)為P(ti)，通過傳統(tǒng)等參數(shù)步長法計(jì)算出初始步長Li、初始參數(shù)增量Δti以及后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)的初始ti+1值。

(2)通過精確弓高誤差公式(11)計(jì)算初始步長Li內(nèi)的實(shí)際弓高誤差εi(ti,ti+1)。

(3)判斷εi是否大于[ε]。如果不是，跳轉(zhuǎn)第(4)步；如果是，跳轉(zhuǎn)第(6)步。

(4)令

隨著機(jī)器視覺技術(shù)、3 G技術(shù)、電子技術(shù)的不斷發(fā)展以及人們對農(nóng)產(chǎn)品可視化生產(chǎn)程度和農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量安全水平要求的不斷提高，農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)過程全程可視化監(jiān)控已經(jīng)逐漸成為精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)的一個熱門發(fā)展方向[1]。農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)過程中傳統(tǒng)物理量參數(shù)的監(jiān)控已經(jīng)無法滿足現(xiàn)代農(nóng)業(yè)的發(fā)展趨勢。

(12)

tmin=ti+1，向右搜索P(ti+1)，并重新計(jì)算εi(ti,tmax)，繼續(xù)判斷εi是否大于[ε]。如果不是，跳轉(zhuǎn)第(5)步；如果是跳轉(zhuǎn)第(9)步。

(5)令Δt=tmax-ti，ti+1=tmax，并跳轉(zhuǎn)第(4)步。

(6)令

(13)

向左搜索P(ti+1)，并重新計(jì)算εi(ti,tmax)，繼續(xù)判斷εi是否大于[ε]。如果不是，跳轉(zhuǎn)第(7)步；如果是跳轉(zhuǎn)第(8)步。

(7)令Δt=tmax-ti，ti+1=tmax，并跳轉(zhuǎn)第(6)步。

(8)令tmin=tmax，tmax=ti+1，并跳轉(zhuǎn)第(9)步。

(9)輸出區(qū)間T(tmin,tmax)。

采用這種迭代算法的優(yōu)勢在于：式(12)與式(13)內(nèi)包含分式運(yùn)算，通過比較差值[ε]-ε(ti,ti+1)與最大區(qū)間的精確弓高誤差ε(ti,tmax)的大小，按比例的調(diào)整參數(shù)增量Δt，可以有效預(yù)測后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)的大概位置，有效減少迭代次數(shù)。

2.3 采用二分法求解P(ti+1)的實(shí)際位置

由2.2節(jié)可知，P(ti+1)必定位于區(qū)間T(tmin,tmax)之內(nèi)，故本節(jié)將采用二分法逼近求解精確的參數(shù)ti+1，設(shè)e為迭代誤差閾值。算法流程圖見圖4。

綜上，通過2.2與2.3兩節(jié)即可由當(dāng)前刀觸點(diǎn)P(ti)求出后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)的精確位置，最后將上述算法遍歷整條路徑軌跡曲線P(t)即可。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為方便展示分析，取其中一個實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例。選取曲面上的一條刀具軌跡P(t)，設(shè)定許用弓高誤差為[ε]=0.02，分別采用等參數(shù)步長法、等弓高誤差步長法與本文算法對曲線P(t)進(jìn)行離散。設(shè)置等參數(shù)法的參數(shù)增量為Δt=0.01，設(shè)置本文精確弓高誤差步長法的迭代誤差閾值為e=0.003。其結(jié)果如圖5～8以及表1所示。

表1 三種方法誤差對比表

由仿真結(jié)果可以分析出：

(1)采用等參數(shù)步長法離散曲線：曲線離散點(diǎn)在曲線上分布均勻，一共生成了101個刀觸點(diǎn)(見圖5)。但實(shí)際弓高誤差變化較大(見圖8)。在曲線曲率越大的區(qū)域，弓高誤差越大，當(dāng)曲率越小的區(qū)域，弓高誤差越小，但總體誤差遠(yuǎn)小于精度要求。

產(chǎn)生這種結(jié)果的原因就是該方法為了保證最大弓高誤差滿足要求，其參數(shù)增量往往取得過于保守，因此整體加工精度相對較高，但是導(dǎo)致相較其他兩種方法產(chǎn)生最多的刀觸點(diǎn)個數(shù)，加工效率最低。

(2)采用等弓高誤差法離散曲線：曲線離散點(diǎn)在曲線上分布并不均勻，一共生成了73個刀觸點(diǎn)(見圖6)。弓高誤差變化劇烈程度略小于等參數(shù)步長法，但總體弓高誤差偏大。

產(chǎn)生這種情況的原因就是等弓高誤差步長法本身采用近似替代計(jì)算存在不足，導(dǎo)致實(shí)際弓高誤差在許用弓高誤差附近震蕩，但普遍大于許用弓高誤差。相較于其他兩種方法，精度最低，但有著最少的刀觸點(diǎn)個數(shù)，加工效率最高。

(3)采用本文的精確弓高誤差步長算法離散曲線：曲線離散點(diǎn)在曲線上分布也不均勻，但本文方法會自適應(yīng)曲線形狀，在曲率較大的區(qū)域生成較多的刀觸點(diǎn)，在較為平坦的區(qū)域生成較少的刀觸點(diǎn)，一共產(chǎn)生了81個刀觸點(diǎn)(見圖7)。而且整體實(shí)際弓高誤差變化十分微小，基本保持在許用弓高誤差附近(見圖8)。

結(jié)果表明，在許用弓高誤差[ε]相同的情況下，本文算法相較于等參數(shù)步長法減少了20%的刀觸點(diǎn)個數(shù)，有較好的加工效率(見表1)；相較于等弓高誤差步長法又有更小的實(shí)際弓高誤差值，有著更高的加工精度(見表1)。

產(chǎn)生這種情況的原因就是本文算法建立于等弓高誤差步長法的基礎(chǔ)之上，加入了實(shí)際弓高誤差校核，搜索調(diào)整每個刀觸點(diǎn)的位置，并且加入算法迭代精度，保證了實(shí)際弓高誤差在許用弓高誤差附近輕微幅度震蕩。

4 結(jié)語

本文針對傳統(tǒng)等弓高誤差法的不足，提出了一種精確弓高誤差校核計(jì)算的方法，并提出了一種一維線性搜索方法，在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了對后一刀觸點(diǎn)P(ti+1)點(diǎn)精確位置的調(diào)整。

針對相同曲面上的同一條刀具軌跡，本文的精確弓高誤差步長算法相較于等參數(shù)步長法與等弓高誤差步長法有如下優(yōu)勢：

(1)相較于等參數(shù)步長法能夠自適應(yīng)的生成刀觸點(diǎn)，在相同許用弓高誤差[ε]的條件下，有著更好的加工效率。

(2)相較于等弓高誤差步長法在保留自適應(yīng)生成刀觸點(diǎn)的同時，能夠更好地控制實(shí)際弓高誤差數(shù)值，有著更高的加工精度。