□ 張晗芬

乘除法是小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中的重要內(nèi)容，北師大版教材將“多位數(shù)乘或除以一位數(shù)的口算與筆算”教學(xué)安排在三年級，上冊教學(xué)乘、除法的口算及乘法的筆算；下冊教學(xué)除法的筆算。筆者圍繞這一內(nèi)容，從分析學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑開始，進行了相關(guān)的教學(xué)實踐研究。

一、學(xué)生學(xué)習(xí)的兩個困惑點

（一）為什么乘法豎式要并成一層，而除法豎式卻要分成兩層？

筆者針對“12×4”的乘法豎式在3 個班進行了前測，發(fā)現(xiàn)40%左右的同學(xué)列出兩種分層的豎式（如圖1），從結(jié)果看兩種豎式都準(zhǔn)確地求出了積，從過程看，兩種豎式也沒有邏輯錯誤。

圖1 部分學(xué)生列出的乘法豎式

圖2 教材中的豎式

教材借助智慧老人的話“乘法豎式通常這樣寫”規(guī)范了豎式書寫格式（如圖2），學(xué)生往往是用被動接受的方式接納這種方法，不一定明白規(guī)定背后的道理。

在學(xué)了乘法豎式后，筆者針對“68÷2”的除法豎式又對這3個班進行了前測，發(fā)現(xiàn)80%以上的學(xué)生采用了一層豎式的格式（如圖3）。

圖3 部分學(xué)生列出的除法豎式

可見，乘法豎式給除法豎式帶來了負遷移，雖然教材編排了“分小棒”的操作，但分小棒的方法很多，教材中“先整捆再單根”的分法似有刻意迎合除法豎式格式之嫌，學(xué)生對“為什么乘法豎式并成一層，而除法豎式卻要分成兩層”依舊充滿困惑。

（二）為什么乘法要從低位算起，而除法卻要從高位算起？

筆算乘法要從低位乘起，如計算48×2，先計算8×2=16，把1（也就是10）寫在進位處，將6 記錄在個位上，再計算4×2=8（實際是40×2=80），將8（80）加上進位的1（10）等于9（90），在十位記錄下來。但讓學(xué)生感到困惑的是口算乘法時，一般從高位乘起，如同樣計算48×2，先算“40×2=80”，然后算“8×2=16”，再將兩次乘得的積相加，得到80+16=96。雖然教師會用“不容易出錯”等原因做出解釋，但這還是會讓很多學(xué)生感到不解。

同樣，口算除法“68÷2”時，是先算“60÷2”，還是先算“8÷2”，在數(shù)學(xué)邏輯上沒有本質(zhì)差別，但豎式計算一般統(tǒng)一規(guī)定為從高位除起，教材借助分小棒的操作活動解釋這個規(guī)定，難以令學(xué)生心服口服，同樣也是學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)的三個體驗點

豎式教學(xué)中，如果只將規(guī)范格式告訴學(xué)生，就是靜態(tài)的教學(xué)。只有站在創(chuàng)造的角度，將學(xué)生的思維激活，才是動態(tài)的教學(xué)。乘除法豎式的學(xué)習(xí)要實現(xiàn)動態(tài)教學(xué)，有以下三個不可或缺的體驗點。

（一）豎式是對口算過程的簡便記錄

豎式的本質(zhì)就是對口算過程的簡便記錄?？谒闶浅顺ㄘQ式的生長點，“12×4”和“68÷2”都是分別計算兩次再把所得的結(jié)果相加。教學(xué)中可以嘗試讓學(xué)生重走豎式的創(chuàng)造之路，在知識的形成過程中體會豎式是對口算過程的簡便記錄，這是學(xué)生在乘除法計算相關(guān)學(xué)習(xí)中不可或缺的體驗。

（二）基于算理的豎式都是好的創(chuàng)造

以下形式的豎式，幾乎在每個班的學(xué)生中都會出現(xiàn)（如圖4）。

圖4 學(xué)生獨立列出的“豎式”

不同的豎式都是學(xué)生自己的精彩創(chuàng)造，甚至也是古人曾經(jīng)的創(chuàng)造。教學(xué)中教師應(yīng)設(shè)法讓學(xué)生基于算理創(chuàng)造豎式，并尋找每一種創(chuàng)造蘊含的道理，讓學(xué)生在創(chuàng)造的過程中打開思維，深度理解豎式計算的算理，這是學(xué)生學(xué)習(xí)中一個重要的體驗點。

（三）規(guī)范格式是使用中的主動擇優(yōu)

豎式計算法則是一種規(guī)定，規(guī)定的得來需要充分的理由。教學(xué)中把乘除法豎式放在一起思考，學(xué)生更容易感悟“普適性”這一法則規(guī)定的原則，現(xiàn)在豎式的計算法則其實是各種不同的豎式在使用過程中人們擇優(yōu)的結(jié)果，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容需要經(jīng)歷的體驗。

三、基于“創(chuàng)造、擇優(yōu)、規(guī)范”的視角開展單元整合教學(xué)

為了有效地突破困惑點，夯實體驗點，更好地運用乘法豎式創(chuàng)造過程中兩層寫法對除法豎式的遷移作用，筆者對這部分內(nèi)容進行了單元整合教學(xué)實踐，利用乘除法豎式“本質(zhì)同形式異”這一特點嘗試結(jié)構(gòu)化教學(xué)，助力學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。為了體現(xiàn)延續(xù)性，整合過的上下冊內(nèi)容均在同一個班進行教學(xué)，整合的方式如表1所示。

表1 “多位數(shù)乘或除以一位數(shù)的筆算”單元整合教學(xué)結(jié)構(gòu)調(diào)整表

（一）單元整合的依據(jù)

整合就是通過協(xié)調(diào)、融合，將零散的要素組合在一起，主要體現(xiàn)在教材重組中，通過調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的順序、合并或增加部分內(nèi)容、改變教學(xué)方式等途徑，試圖達到學(xué)科內(nèi)知識點的整合。

1.改造學(xué)習(xí)經(jīng)驗的需要

在對“12×4”“68÷2”列豎式的前測中可以看出，學(xué)生對如何列豎式有屬于自己的個性化學(xué)習(xí)經(jīng)驗（如圖4）。但通過訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對豎式的由來不清楚，對規(guī)定背后的道理也不清楚。單元整合教學(xué)可以更好地改造學(xué)生的已有經(jīng)驗，讓學(xué)生更深刻地理解規(guī)定背后的道理。

2.打通教材編排的需要

教材中乘除法豎式的規(guī)范格式學(xué)生不容易理解，當(dāng)學(xué)生用兩層的形式記錄口算乘法時，教材借助智慧老人“乘法豎式通常這樣寫”的話語把兩層規(guī)范成了一層；當(dāng)學(xué)生利用乘法豎式的經(jīng)驗把“68÷2”的豎式也寫成一層時，教材又借助分小棒的操作告訴學(xué)生應(yīng)該寫成兩層。按照教材教學(xué)，往往教得生硬學(xué)得被動。單元整合教學(xué)可以有效利用乘法豎式過程中出現(xiàn)的兩層經(jīng)驗助力學(xué)生理解除法豎式的規(guī)范格式。

3.實現(xiàn)自我生長的需要

豎式的規(guī)定之所以讓學(xué)生感到生硬，是因為其被割裂為一塊獨立的空間，缺少算理的支持和學(xué)生自身的體驗，難以與學(xué)生的既有水平銜接。單元整合教學(xué)可以抓住口算這一生長點，通過記錄口算驅(qū)動學(xué)生創(chuàng)造豎式，在充分的體驗與交流中實現(xiàn)主動擇優(yōu)。

（二）單元整合的教學(xué)目標(biāo)

在充分理解教學(xué)內(nèi)容、了解學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑與需求后，筆者將教學(xué)內(nèi)容進行整合，確定了每課時教學(xué)目標(biāo)（如表2）。

表2 “多位數(shù)乘或除以一位數(shù)的筆算”單元整合教學(xué)目標(biāo)

（三）單元整合的教學(xué)實踐

1.創(chuàng)造：聯(lián)系中理解豎式的算理

乘除法豎式對成人來講是已有經(jīng)驗，但對兒童來講是在自己經(jīng)驗之上的創(chuàng)造，是兒童自己獨有的精彩觀念。

（1）復(fù)習(xí)口算，為豎式的創(chuàng)造明確起點。

數(shù)學(xué)是講道理的，計算課的道理在算理，豎式的道理是對口算方法的記錄。

教學(xué)中先安排20 分鐘短課復(fù)習(xí)乘除法口算（主要內(nèi)容如圖5），然后在對比溝通中提煉出兩位數(shù)乘或除以一位數(shù)口算“分別計算兩次，再把兩次所得的結(jié)果相加”的相同點，為豎式的研究做好認知鋪墊。

圖5 乘除法口算復(fù)習(xí)

（2）記錄口算，為豎式的創(chuàng)造搭建支架。

通過問題“你能想辦法把12×4 的口算過程記錄下來嗎”驅(qū)動學(xué)生對乘法的研究，學(xué)生創(chuàng)造出了畫圖、表格、豎式等不同的記錄方法（如圖6）。交流中大家發(fā)現(xiàn)用豎式記錄更方便，而且三種不同形式的豎式都與口算有關(guān)聯(lián)，既關(guān)聯(lián)算理也為后面兩層除法豎式的創(chuàng)造埋下伏筆。

圖6 學(xué)生對計算過程的記錄

在此基礎(chǔ)上請學(xué)生直接創(chuàng)造除法豎式。學(xué)生創(chuàng)造出了三種不同的豎式（如圖7），從前兩種豎式可以清楚地看出除了兩次，但除的順序不同，而第三種豎式除兩次的過程不如前兩種清晰。三種豎式相加的過程都比乘法豎式更隱蔽。

圖7 學(xué)生創(chuàng)造的“豎式”

（3）反饋評議，為學(xué)生的創(chuàng)造點贊。

學(xué)生創(chuàng)造的豎式不一定規(guī)范，但都不違背算理，并且學(xué)生在創(chuàng)造的過程中真正理解了豎式的簡潔性，進一步體會到乘除法豎式的算理。所以反饋評議的過程是對學(xué)生創(chuàng)造的肯定，同時提出下節(jié)課要思考的問題：“這么多種豎式，到底哪一種更實用，更適合作為統(tǒng)一的規(guī)定呢？”

2.擇優(yōu)：思辨中感悟規(guī)定的普適性

學(xué)生創(chuàng)造了多種不同的豎式，但教材中給出的豎式只有一種。讓學(xué)生體會到規(guī)定的合理性是第三課時的目標(biāo)，因此筆者給學(xué)生安排了50 分鐘的探究、交流時間。

（1）明確標(biāo)準(zhǔn)，自主體驗嘗試擇優(yōu)。

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本含義就在于我們應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生思維，并能使他們逐步學(xué)會想得更清晰、更深入、更全面、更合理?！边@么多合乎算理的創(chuàng)造，哪一種適合作為統(tǒng)一的規(guī)定？引導(dǎo)學(xué)生交流得出“簡便、清楚”的標(biāo)準(zhǔn)后，就放手讓他們畫一畫、分一分、算一算，給足學(xué)生自主探究的空間（如圖8）。

圖8 嘗試擇優(yōu)的過程

（2）交流思辨，舉例論證達成共識。

數(shù)學(xué)是一門思辨的學(xué)科，計算課同樣需要讓學(xué)生在思辨中體驗、對比，發(fā)現(xiàn)算法，并深入地理解算理。

對學(xué)生創(chuàng)造的三個乘法豎式，教師提出問題驅(qū)動學(xué)生思考：為什么只要一層？兩層怎么不好？應(yīng)從哪位乘起，為什么？學(xué)生在交流中道出了兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法豎式的真諦：“如果乘數(shù)是三位數(shù)、四位數(shù)，那豈不是要很多層了？容易出錯?！薄昂竺嬗心敲炊?，我們?nèi)菀装褦?shù)位對錯?！薄拔覀冊谧黾臃〞r也是這樣進位的?！薄叭绻麖氖凰闫?，個位有進位的話，十位不是又得擦掉了？”

學(xué)生對三個除法豎式的思辨更精彩。有學(xué)生說：“我支持兩層的，因為它更清楚地把除兩次的過程記錄下來?！薄扒宄币辉~說服了全體學(xué)生。關(guān)于從高位除起還是從低位除起的問題，有學(xué)生說“和乘法一樣，從低位除起”，也有學(xué)生說“應(yīng)該從高位除起”，還有學(xué)生說“從高位除起和從低位除起差不多”。這時有幾位學(xué)生不約而同地提出用不同的方法算一算“58÷3”，以下是兩種比較有代表性的作品（如圖9）。

圖9 學(xué)生的作品

實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。通過思辨，學(xué)生不僅得出了規(guī)范格式，而且加深了對豎式意義的理解，在具體化描述的過程中深入理解了計算法則，并使數(shù)學(xué)思維獲得發(fā)展，提升了分析、比較、歸納等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（3）回顧反思，感悟規(guī)范加深體驗。

回顧反思同樣能助力學(xué)生對算理的理解，因此筆者除了引導(dǎo)學(xué)生回顧正確的豎式格式外，還引導(dǎo)學(xué)生回顧了乘除法豎式得出的全過程，讓學(xué)生感受乘除法豎式規(guī)定的得來及美妙之處，感受數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)美、辯證的哲理美、簡潔的形式美。

3.規(guī)范：練習(xí)中促進算理的理解

算理的理解和格式的規(guī)范是相互促進的，兩者協(xié)同發(fā)揮效用，能提高計算正確率。

（1）在規(guī)范表達中感悟算理。

雖然探究乘除法豎式得來的過程是開放的，但運用正確格式計算的過程可以是收攏的。在達成乘除法豎式的規(guī)范格式后，筆者先讓學(xué)生用自己的語言表達乘除法豎式的格式要求，再一起來看規(guī)范的數(shù)學(xué)語言是如何表達的。這正是建構(gòu)學(xué)中的同化與順應(yīng)，幫助學(xué)生實現(xiàn)自身與外界的動態(tài)平衡。

（2）在鞏固練習(xí)中提升技能。

計算教學(xué)中不需要耍花棒，學(xué)生只需扎扎實實地練，并結(jié)合前面的學(xué)習(xí)體驗進行分析與反思，理解后再進行練習(xí)，在練習(xí)中促進理解、提升技能。

單元整合后的乘除法豎式教學(xué)，從“創(chuàng)造、擇優(yōu)、規(guī)范”的視角關(guān)聯(lián)知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，學(xué)生通過多種方式感悟乘除法豎式計算的算理，體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，獲得了高質(zhì)量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。