□ 嚴(yán)國(guó)娟

從數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際來(lái)講，問(wèn)題是驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)發(fā)展的核心。一個(gè)好的數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅可以有效推動(dòng)課堂教學(xué)，還可以為教師開(kāi)發(fā)拓展課提供思路。教師可以以問(wèn)題為導(dǎo)向，以學(xué)具材料的創(chuàng)新應(yīng)用為抓手，適度融入全科教學(xué)的理念，去嘗試探尋數(shù)學(xué)拓展課內(nèi)容開(kāi)發(fā)的新路徑。《測(cè)量地圖上的面積》就是在這一理念指導(dǎo)下設(shè)計(jì)的一節(jié)六年級(jí)拓展課。

【課前思考】

人教版教材中有不規(guī)則圖形（組合圖形）面積計(jì)算與估計(jì)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)，通常采用單純計(jì)算和化繁為簡(jiǎn)的方法得出結(jié)果，缺乏對(duì)不規(guī)則圖形面積的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)?；诖耍處熱槍?duì)“不規(guī)則圖形的面積”這一知識(shí)點(diǎn)，以測(cè)量某機(jī)場(chǎng)面積的現(xiàn)實(shí)情境為依托，設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)了一節(jié)拓展課《測(cè)量地圖上的面積》，立足打破學(xué)生對(duì)于面積測(cè)量的思維定式，鼓勵(lì)他們創(chuàng)造性地運(yùn)用學(xué)習(xí)材料探索求不規(guī)則圖形面積的方法，促進(jìn)學(xué)生空間觀念和創(chuàng)新能力的發(fā)展。

《測(cè)量地圖上的面積》一課的教學(xué)目標(biāo)如下。

1.通過(guò)學(xué)習(xí)和觀察，經(jīng)歷運(yùn)用多種不同的方法測(cè)量不規(guī)則圖形面積的過(guò)程，了解多種測(cè)量不規(guī)則圖形面積的方法。

2.在解決問(wèn)題的過(guò)程中提高問(wèn)題解決能力，積累測(cè)量活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，感受生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。

【教學(xué)實(shí)踐】

（一）直接引入，提出問(wèn)題

師：今天的數(shù)學(xué)課，我們要一起來(lái)研究和測(cè)量與面積有關(guān)的問(wèn)題。（揭示課題：測(cè)量面積）

教師用PPT呈現(xiàn)圖片（如圖1）后，繼續(xù)引導(dǎo)：這是某機(jī)場(chǎng)的平面圖，我們今天的任務(wù)就是求出這個(gè)機(jī)場(chǎng)的大概面積。先想一想，要解決這個(gè)問(wèn)題，你將面臨的困難和挑戰(zhàn)可能是什么？

圖1

生：它是不規(guī)則的，即便知道比例尺，想求不規(guī)則的機(jī)場(chǎng)的面積也很難。

生：怎么把它變得規(guī)則，這是我們要解決的問(wèn)題。

生：可能不需要把它變得規(guī)則，說(shuō)不定可以有別的方法求它的面積，找到這樣的方法就是我們的任務(wù)。

師：如果可以借助一些材料或工具幫助你測(cè)量，你覺(jué)得需要些什么？可以討論一下。

（設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中，教師直接拋出問(wèn)題，并根據(jù)互動(dòng)了解學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)。大部分學(xué)生都能想到“數(shù)方格”或“轉(zhuǎn)化成基本圖形計(jì)算”這兩種他們已經(jīng)相當(dāng)熟悉的方法，而借助材料開(kāi)展測(cè)量，探尋解決這一問(wèn)題的新的可行性路徑才是本節(jié)課的重難點(diǎn)所在。因此教師設(shè)計(jì)了學(xué)生自主討論的環(huán)節(jié)，給學(xué)生留足創(chuàng)造性解決問(wèn)題的空間。）

（二）展開(kāi)教學(xué)，活動(dòng)探究

1.依據(jù)材料，商討測(cè)量方案

教師引導(dǎo)學(xué)生討論交流解決問(wèn)題需要的材料，并根據(jù)學(xué)生討論的結(jié)果，提供以下材料（如圖2），供學(xué)生選擇。

圖2

師：怎樣運(yùn)用這些材料，對(duì)于我們測(cè)量面積會(huì)有所幫助呢？

生：燒杯是用來(lái)測(cè)量體積的，我想到了體積等于底面積乘以高，如果把機(jī)場(chǎng)的面積當(dāng)成底面積，把黏土平鋪在地圖上，再用黏土的體積除以鋪黏土的高度，就是機(jī)場(chǎng)的面積。

師：你能把面積和體積聯(lián)系在一起，通過(guò)測(cè)量體積間接求出面積，是個(gè)好主意！那么黃豆可以怎么用？

生：黃豆只能鋪在地圖上，但是鋪好后可以移動(dòng)變成規(guī)則圖形再求黃豆的占地面積，就是機(jī)場(chǎng)的面積。

生：先算出整塊長(zhǎng)方形的面積，然后把黃豆間隔均勻地撒在整張地圖上，機(jī)場(chǎng)上黃豆的顆數(shù)除以整個(gè)長(zhǎng)方形黃豆的顆數(shù)就是機(jī)場(chǎng)面積除以整個(gè)長(zhǎng)方形的面積。我們可以用比例的知識(shí)解決問(wèn)題。

（設(shè)計(jì)意圖：在活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)，教師尊重學(xué)生的差異，給學(xué)生提供不同層次的測(cè)量材料，讓不同水平的學(xué)生都能參與測(cè)量，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂(lè)趣。運(yùn)用透明方格紙和剪刀這兩種材料進(jìn)行測(cè)量的方法大部分學(xué)生都已熟知，并且能夠順利講解測(cè)量步驟和注意事項(xiàng)。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)重在引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)新的材料，打破常規(guī)思維，發(fā)揮創(chuàng)造力，研究新的測(cè)量方法。）

2.合作探究，動(dòng)手實(shí)踐測(cè)量

（1）小組合作，實(shí)踐測(cè)量。

小組討論協(xié)商，選擇一種材料進(jìn)行測(cè)量。學(xué)生上臺(tái)展示，介紹自己小組的測(cè)量方案與測(cè)量中遇到的問(wèn)題（如圖3）。

圖3

（2）匯報(bào)交流。

生：我們小組直接把方格鋪在地圖上，不滿半格不數(shù)，滿半格當(dāng)成1 格，這樣結(jié)果是111 格，也就是111平方厘米。

師：你們小組用的是數(shù)方格的方法。下面我們問(wèn)問(wèn)用剪拼法的小組。在剪和拼的過(guò)程中你們是否遇到過(guò)難題？又是如何解決的？

生：我們小組發(fā)現(xiàn)圖形剪開(kāi)后不能完全拼成一個(gè)規(guī)則圖形，所以就將它近似看成了寬7.6厘米、長(zhǎng)13.8厘米的長(zhǎng)方形，這樣面積約是105平方厘米。

師：為什么可以看成長(zhǎng)方形來(lái)求呢？

生：因?yàn)槲覀儼阉闯砷L(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形外面有多的面積，長(zhǎng)方形里面也還有空白的地方，可以互補(bǔ)。

師：你們小組選擇的材料是黏土和燒杯，你們是怎么用它們來(lái)測(cè)量面積的？

生：我們先測(cè)量了全部黏土的體積，是120 立方厘米，然后把黏土鋪在地圖中機(jī)場(chǎng)的位置上，盡量將高度鋪均勻，黏土的高度是1.2 厘米，用公式“體積除以高等于底面積”求出地圖上機(jī)場(chǎng)的面積大約是100平方厘米。

師：我想問(wèn)問(wèn)選擇用黃豆測(cè)量的這組同學(xué)，為什么你們把用黃豆鋪成的機(jī)場(chǎng)形狀變成了長(zhǎng)方形？

生：為了方便計(jì)算，我們把鋪成機(jī)場(chǎng)形狀的黃豆移動(dòng)成長(zhǎng)方形的形狀，雖然形狀變了，但是顆數(shù)沒(méi)有變，所以面積還是一樣的，只要計(jì)算長(zhǎng)方形的面積就可以了。

師：當(dāng)黃豆不夠鋪滿“機(jī)場(chǎng)”時(shí)，把黃豆均勻地撒滿整張地圖，你能看懂這其中的意思嗎？

生：這個(gè)和概率有關(guān)系，誰(shuí)的面積大，黃豆撒上去的概率就大。當(dāng)黃豆均勻地鋪在整張地圖上，可以數(shù)一數(shù)整張地圖一共有幾顆黃豆，再數(shù)出“機(jī)場(chǎng)”里面有幾顆黃豆。根據(jù)就可以大概求出機(jī)場(chǎng)的面積。

師：你們特別會(huì)思考，原來(lái)我們還可以利用部分與整體之間的比例關(guān)系來(lái)測(cè)量面積。

（設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生在提出問(wèn)題、商量對(duì)策的基礎(chǔ)上進(jìn)行操作，通過(guò)思考和實(shí)踐，自主選擇適合的級(jí)別進(jìn)行任務(wù)挑戰(zhàn)。學(xué)生在操作活動(dòng)中深刻理解面積的概念，主動(dòng)感悟面積與體積、面積與概率之間的聯(lián)系。）

3.回顧整理，感悟方法

師：同樣都是這一機(jī)場(chǎng)的面積，為什么大家測(cè)量的結(jié)果不相同呢？

生：因?yàn)闊o(wú)論使用什么材料，在測(cè)量過(guò)程中都有可能存在誤差，導(dǎo)致結(jié)果也有可能存在誤差。

師：如何才能減小誤差呢？

生:數(shù)方格的時(shí)候應(yīng)該注意方格紙不能移動(dòng)，最好能數(shù)1格做一下標(biāo)記，防止遺漏。

生:在剪拼的過(guò)程中應(yīng)該盡量拼得準(zhǔn)確，測(cè)量和計(jì)算也要準(zhǔn)確，把多余的和空白的地方互相填補(bǔ)，以減少誤差。

生：鋪黏土的時(shí)候要注意盡量每個(gè)地方的高度都一樣，不能有的地方高一些有的地方矮一些，這樣用體積除以高得到的面積才準(zhǔn)確。

生:在撒黃豆的時(shí)候要注意它們的間距均勻，這樣算出來(lái)的比例才會(huì)準(zhǔn)確。

……

全課小結(jié)：今天同學(xué)們用不同的材料，探索了測(cè)量不規(guī)則圖形面積的多種方法。原來(lái)面積不僅可以通過(guò)計(jì)算算出來(lái)，也可以通過(guò)測(cè)量量出來(lái)。數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中無(wú)處不在，我們要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察我們的生活。

【教學(xué)反思】

（一）緊扣課堂目標(biāo)，把材料用對(duì)

學(xué)生對(duì)事物好奇心的強(qiáng)弱、探索欲望的高低、注意力集中時(shí)間的長(zhǎng)短都與學(xué)習(xí)素材是否具有吸引力有關(guān)。因此，教師有必要根據(jù)學(xué)生身心發(fā)展的特點(diǎn)，在學(xué)習(xí)材料的選擇上下功夫。設(shè)計(jì)拓展課《測(cè)量地圖上的面積》時(shí)，教師緊扣教學(xué)目標(biāo)，通過(guò)提供黏土、黃豆等與求面積大小看起來(lái)不相關(guān)的材料，來(lái)激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣和愿望，為學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)搭建平臺(tái)。

（二）注重學(xué)生本位，把材料用透

1.因“材”施教，提供多樣材料

學(xué)生思維發(fā)展的水平是有差異的。因此，教師應(yīng)相對(duì)把握各個(gè)層次學(xué)生的思維水平，為不同層次的學(xué)生提供不同層次的操作材料，以滿足每一位學(xué)生的認(rèn)知需求。本節(jié)課的測(cè)量活動(dòng)，提供的是具有難易梯度的學(xué)習(xí)材料，學(xué)生既可以選擇格子圖，用最為基本的數(shù)面積的方法解決問(wèn)題，也可以選擇用剪拼的方法、黏土測(cè)量的方法，甚至挑戰(zhàn)用黃豆測(cè)量的方法求機(jī)場(chǎng)面積。這樣做不僅做到了材盡其用，還能生成各類生本教學(xué)資源。

2.小“材”大用，多種挑戰(zhàn)方法

除了給學(xué)生提供多樣的學(xué)習(xí)材料外，教師還要關(guān)注材料使用的有效性。為避免出現(xiàn)學(xué)生盲目使用材料的情況，教師有意在學(xué)生正式操作活動(dòng)開(kāi)展前對(duì)不同材料的使用進(jìn)行指導(dǎo)和交流，再通過(guò)具體操作，小組合作，分類實(shí)施，共同完成面積測(cè)量的任務(wù)。學(xué)生測(cè)量方法多種多樣，既有數(shù)一數(shù)、量一量，也有剪一剪、拼一拼、算一算等。這樣的過(guò)程，在提升學(xué)生思維能力的同時(shí)，也促進(jìn)了學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作經(jīng)驗(yàn)的積累。

（三）加強(qiáng)溝通聯(lián)系，把材料用活

1“.數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”的相互溝通

數(shù)與形都是數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容。兩者互相依存，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。比如學(xué)生在用黃豆“測(cè)量地圖上的面積”時(shí)，首先需要考慮到圖上單位面積內(nèi)黃豆的數(shù)量，計(jì)算整個(gè)圖形黃豆覆蓋的數(shù)量，再結(jié)合比例尺的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)計(jì)算相對(duì)準(zhǔn)確地測(cè)量出其大概的面積。再比如借助黏土求地圖上的圖形的面積，需要先沿著地圖邊緣將黏土鋪平展開(kāi)，然后依據(jù)黏土的體積和高度，求出直柱體底面的面積，也就是地圖上的圖形的面積。無(wú)論哪種方式，都是將原來(lái)的測(cè)量任務(wù)轉(zhuǎn)化為另外一種問(wèn)題形式，這對(duì)學(xué)生空間想象力和思維創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都具有重要意義。

2.“數(shù)學(xué)”與“其他學(xué)科”的橫向聯(lián)系

數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間都存在交叉關(guān)聯(lián)關(guān)系。方格紙、剪刀、黏土、燒杯和黃豆，這一系列看似在美術(shù)、科學(xué)課程中才會(huì)用到的材料出現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂中，成為幫助學(xué)生解決挑戰(zhàn)性任務(wù)的重要工具。這讓數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間相互融合的意味更加明顯，有助于學(xué)生綜合能力的提升。

總而言之，教師在確立拓展課主題和材料時(shí)，既要遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律，又要盡可能把握學(xué)生的思維與能力起點(diǎn)。賦予數(shù)學(xué)材料以豐富的教育功能，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，進(jìn)一步提升學(xué)生綜合素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的培養(yǎng)實(shí)效。