孫翠先 陳貴清

【摘要】本文應(yīng)用微元法給出了密度不均勻的空間曲線和曲面繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式，并給出了計(jì)算實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】微元法;密度;曲線;曲面;轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

數(shù)學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，它正日益成為解決實(shí)際問(wèn)題的工具類學(xué)科，并向各個(gè)領(lǐng)域延伸.隨著高新技術(shù)的發(fā)展，學(xué)校提倡提高學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的思考習(xí)慣，目的是使學(xué)生能夠應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)自己動(dòng)手解決一些實(shí)際問(wèn)題.

很多數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)中的量，比如不規(guī)則平面圖形求面積、空間曲面求面積、平面曲線求長(zhǎng)度、空間曲線求長(zhǎng)度、平面金屬薄片求質(zhì)量、平面金屬薄片繞軸求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、求物體的質(zhì)量和質(zhì)心、求變力對(duì)物體所做的功、物體間的引力等，都需要用微元法解決.

一般地，能用微元法解決的問(wèn)題具有以下特征.首先，所求的量中自變量控制在一定的區(qū)間內(nèi)，自變量分屬各個(gè)小區(qū)間時(shí)所求的量對(duì)小區(qū)間具有可加性，即每個(gè)小區(qū)間分量之和為總量，這樣的量有面積、體積、長(zhǎng)度、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、功、引力等.其次，構(gòu)造在某一小區(qū)間上所求量的微分表達(dá)式，即微元.此步微元的得出是由物理力學(xué)問(wèn)題構(gòu)造的.最后，在討論的自變量區(qū)間上對(duì)微元積分，即可得所求的量，通過(guò)化成計(jì)算定積分或二重（三重）積分可得結(jié)果.

但對(duì)初學(xué)者來(lái)講，尤其是大一大二的學(xué)生，理解微元法比較困難，不容易掌握其要領(lǐng)，主要原因是構(gòu)造所求量的微元表達(dá)式會(huì)有困難，無(wú)從下手.

教師講授時(shí)可采用如下具體做法.首先，結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)的特點(diǎn)，篩選出專業(yè)課程與數(shù)學(xué)課程知識(shí)的契合點(diǎn)，規(guī)劃教學(xué)中的例題，為后續(xù)學(xué)習(xí)專業(yè)課打基礎(chǔ)，提供數(shù)學(xué)思路.這種做法能夠使教師的教案“活”起來(lái)，發(fā)揮其應(yīng)有的作用.其次，理論與實(shí)際相結(jié)合，進(jìn)一步使數(shù)學(xué)與專業(yè)課程有機(jī)銜接，通過(guò)分析實(shí)際工程問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用微元法解決實(shí)際問(wèn)題.這樣做能夠吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感到耳目一新，提高上課效率.最后，結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)，制訂合理的課后作業(yè)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行專業(yè)探索.這也是課堂教學(xué)的延伸和繼續(xù)，可幫助學(xué)生理解一些數(shù)學(xué)中的抽象概念和理論.

本文以求分布密度不均勻的空間曲線和空間曲面繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例，介紹了微元法的應(yīng)用，涉及的數(shù)學(xué)計(jì)算有空間曲線積分和空間曲面積分.

剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)形成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量記為I，由力學(xué)定義知，I=mr2，這里m是質(zhì)量，r是到轉(zhuǎn)軸的距離.

首先找到密度不均勻的空間曲線和曲面的質(zhì)量微元，也可以叫作元素，然后寫(xiě)出繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量微元，求相應(yīng)空間曲線和曲面積分即可求出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

1 空間曲線對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

2 空間曲線轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)例

3 空間曲面對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

5 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹的求密度不均勻的空間曲線和曲面對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法，同樣適用求密度不均勻的平面曲線和平面區(qū)域?qū)ψ鴺?biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

【參考文獻(xiàn)】

[1]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)：第8版[M].北京： 高等教育出版社，2003.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)：第7版[M].北京： 高等教育出版社，2015.