趙蕓赫 馬宇翰

(1 首都師范大學(xué)附屬中學(xué),北京 100048;2中國工程物理研究院研究生院,北京 100193)

在近期剛剛結(jié)束的2020年北京市高考中,物理卷第14題以從高處釋放旋轉(zhuǎn)籃球的生活場景為素材,通過提供新信息(空氣阻力和偏轉(zhuǎn)力的方向及大小),讓學(xué)生結(jié)合已有的知識及方法(機械能轉(zhuǎn)化、力與運動的關(guān)系及受力分析)判斷并推測籃球在空中的運動情況。問題原文如下:

在無風(fēng)的環(huán)境,某人在高處釋放靜止的籃球,籃球豎直下落;如果先讓籃球以一定的角速度繞過球心的水平軸轉(zhuǎn)動(如圖1)再釋放,則籃球在向下掉落的過程中偏離豎直方向做曲線運動。其原因是,轉(zhuǎn)動的籃球在運動過程中除受重力外,還受到空氣施加的阻力f1和偏轉(zhuǎn)力f2。這兩個力與籃球速度v的關(guān)系大致為:f1=k1v2,方向與籃球運動方向相反;f2=k2v,方向與籃球運動方向垂直。下列說法正確的是( )

A.k1、k2是與籃球轉(zhuǎn)動角速度無關(guān)的常量

B.籃球可回到原高度且角速度與釋放時的角速度相同

C.人站得足夠高,落地前籃球有可能向上運動

D.釋放條件合適,籃球有可能在空中持續(xù)一段水平直線運動

圖1 2020北京市高考物理14題圖

首先對于題目中的A 選項,由題目信息可知,不旋轉(zhuǎn)的籃球下落不會受到垂直于運動方向的力而發(fā)生偏轉(zhuǎn),所以f2的產(chǎn)生與球的轉(zhuǎn)動密不可分。因此k2與角速度有關(guān),但僅從題目信息中無法得到該力產(chǎn)生的本質(zhì)原因以及與角速度的具體關(guān)系。

題目中的B選項考查了學(xué)生對于空氣阻力做功時能量轉(zhuǎn)化過程的理解,由于機械能減少,籃球無法回到初始高度,轉(zhuǎn)動角速度也會在空氣阻力矩的影響下而衰減。

對于問題中C選項所提到的籃球向上運動的可能性,如果從定性的角度分析這一現(xiàn)象,在籃球下落的過程中,由受力分析可知,隨著速度不斷增大,籃球受到f1和f2的合力沿豎直方向的分力可能會出現(xiàn)比重力大的情況,故而可使籃球豎直方向的分速度減小為零或變成豎直向上,所以籃球可能向上運動。但其向上運動所需滿足的條件題目中并未涉及。

對于D 選項所提到的“持續(xù)水平直線運動”,如果籃球的速度變成水平方向,則空氣阻力的作用會使籃球速度減小,則籃球受到的偏轉(zhuǎn)力f2將變小,不能保持f2與重力持續(xù)等大反向,所以不可能在空中持續(xù)一段水平直線運動。

可見,對于題目中引入的由于籃球旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)力的正確理解與分析是完成這一題目的關(guān)鍵。高考中這一問題的設(shè)置很好地考查了學(xué)生的科學(xué)思維,在引導(dǎo)學(xué)生從物理學(xué)視角認識和理解生活現(xiàn)象方面起到了很好的促進作用。同時這種現(xiàn)象并不僅限于籃球,它在其他任何涉及球類的運動中都很普遍,例如足球中的香蕉球、電梯球等,以及乒乓球的各類旋球技法[2,3]等。為了進一步挖掘這一現(xiàn)象背后的物理原理,本文將從如下幾個方面展開討論:(1)轉(zhuǎn)動的球形物體所受到的偏轉(zhuǎn)力是如何產(chǎn)生的? 與物體的角速度有何關(guān)系? (2)哪些因素會影響球體的運動軌跡,將如何影響? (3)要想實現(xiàn)題目中C選項所提及的球體向上運動的現(xiàn)象,“足夠高釋放”是否為充分必要條件,除此之外,是否還需要滿足其他條件? (4)籃球雖不可能在空中持續(xù)一段水平直線運動,但其在空中的運動是否會像雨滴的收尾速度一樣最終存在一個穩(wěn)定運動的狀態(tài)?

1 馬格努斯效應(yīng)及其簡要證明

1672年,牛頓在劍橋觀看一場網(wǎng)球比賽時觀察到,上旋球會使球的下降速度更快。與此相反,下旋球會使球小距離地輕輕向上移動和漂移。1852年,德國物理學(xué)家海因里希·馬格努斯提出:當(dāng)旋轉(zhuǎn)物體的角速度矢量與其質(zhì)心速度矢量不平行時,在與這兩個矢量所在平面相垂直的方向上將產(chǎn)生一個橫向力,導(dǎo)致物體飛行軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn),即著名的馬格努斯效應(yīng)[1].可見,由于馬格努斯效應(yīng)所產(chǎn)生的橫向力即為籃球問題中的偏轉(zhuǎn)力。

馬格努斯效應(yīng)的產(chǎn)生可以利用科恩達效應(yīng)伯努利原理來解釋。如圖2所示,考慮一個半徑為r的球相對于流體以速度v向右運動,流體即以速度v相對球體向左運動。科恩達效應(yīng)表明,流體流過球時,會在球表面先產(chǎn)生附壁效應(yīng)再在流經(jīng)球之后分離并匯聚。當(dāng)球以角速度ω順時針旋轉(zhuǎn)時,流體在球上表面附壁后的分離點會發(fā)生移動,具體來說,如圖2所示,流體在球上表面的分離點會前置(靠近流體吹來的方向),而在球下表面的分離點會后移[4]。這樣一來,由于球的旋轉(zhuǎn)流體在球的上下表面的流動速度就不同:在上表面的流速慢,而在下表面的流速快。因此,上下表面形成了由于流速差導(dǎo)致的壓強差,由此產(chǎn)生了不為零的壓力合力。這個力與球的角速度方向垂直,也與相對流體的運動方向垂直,方向從流體經(jīng)過球表面流速慢的一端指向流速快的一端。簡單來看,這種情況下,球上端和下端的流體速度vu和vd可以表示為

利用伯努利方程,并忽略上下表面由于勢能變化帶來的壓差,有

這里pu和pd是球上下表面的壓強,ρ是流體密度。聯(lián)立式(1～2),可以得到

顯然,這一壓強差正比于轉(zhuǎn)速,當(dāng)轉(zhuǎn)速為0時,壓強差消失。進而,從量綱分析的角度,這一由物體轉(zhuǎn)動帶來的壓強差在物體表面作用所帶來的壓力合力即為

圖2 馬格努斯效應(yīng)示意圖

其中S是球的橫截面積。上式中力的具體形式可以進一步寫為F=Cρωr3v,這里C是比例系數(shù),可以在球表面經(jīng)過面積分得到[5-7]。需要注意的是,常系數(shù)C還取決于流體在旋轉(zhuǎn)物體表面的流動狀態(tài),因此不同形狀以及表面粗糙程度不同的物體具有不同的系數(shù)C,對于其求解過程,這里不再展開討論。但是這一系數(shù)的具體值,不影響(4)式得到的力關(guān)于角速度ω、運動速度v的依賴關(guān)系。需要注意的是,上述討論旨在半定量地討論馬格努斯效應(yīng)的機制,嚴格地計算需要利用庫塔儒可夫斯基定理[5]。

式(4)得到的力即為馬格努斯力,可以簡寫為

其中比例系數(shù)

與球的轉(zhuǎn)速、流體密度和物體體積成正比。從這一推導(dǎo)中可以看到,馬格努斯效應(yīng)是伯努利原理的一個直接結(jié)果,與物體的轉(zhuǎn)動和相對流場中的平動密不可分?？偟膩碚f,這一由于物體轉(zhuǎn)動帶來的垂直于物體平動方向的力會導(dǎo)致物體的軌跡相比于未轉(zhuǎn)動的情況下更復(fù)雜,也會出現(xiàn)更豐富有趣的運動特征和軌跡。

2 旋轉(zhuǎn)球體的運動軌跡:馬格努斯效應(yīng)的影響

在下面的研究中,本文具體考慮一個無質(zhì)心初速度且有穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)速度的球體在空氣中自由釋放后的運動。運動過程中其質(zhì)心平動速度為v,球體繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)速度為ω。

如圖3所示,簡便起見,考慮在空中運動的一半徑為r,密度為ρb,體積為V=4πr3/3的旋轉(zhuǎn)球體。在豎直方向,該球體受到上下的重力mg與向上的浮力ρagV,這兩個力大小恒定與球的運動狀態(tài)無關(guān),這里ρa是空氣密度。此外,球體受到與運動方向相反的空氣阻力f1=k1v2,以及在垂直于運動方向上球體受到馬格努斯力f2=k2v?？紤]球體在x-y平面內(nèi)的運動,可以列出如下兩個動力學(xué)方程

圖3 空中飛行的球形物體的受力示意圖

顯然,根據(jù)式(15),若～ρ?1,則且g′≈g,此時球體的運動方程(13)～方程(14)近似為自由落體的運動方程,空氣阻力和馬格努斯效應(yīng)不明顯。因此要想明顯觀察到馬格努斯效應(yīng)或空氣阻力的效應(yīng),需要球體的密度不太大,這也是演示馬格努斯效應(yīng)的實驗通常采用空心球或氣球等密度較小物體的原因。接下來,首先討論兩種極端條件下的運動情況。

2.1 馬格努斯力遠大于空氣阻力

當(dāng)馬格努斯力遠大于空氣阻力時,k2v?k1v2,此時物體運動速度滿足v?k2/k1,即v?2π2ωr,這一條件由物體質(zhì)心速度和轉(zhuǎn)速共同決定。這種情況下可以忽略空氣阻力的影響,而只考慮馬格努斯效應(yīng)。進而球的動力學(xué)方程可以簡化為

求解這一組微分方程,可以得到球的運動軌跡滿足

利用Matlab作出球的運動軌跡如圖4所示(取式(18)中g(shù)′=9.8m/s2=1)

圖4表示,在空氣阻力相比馬格努斯力可以忽略的情況下,球在運動過程中能量幾乎不耗散,且在x-y平面內(nèi)做周期運動。由式(15)可以看出,這種情況下球上下振蕩的頻率為,即球旋轉(zhuǎn)速度越快,球相對于空氣的密度越小,這一振蕩運動也越快。在實際情景中,隨著物體質(zhì)心運動速度的增加,條件v?k2/k1不再滿足,此時空氣阻力的影響不可忽略,球的運動軌跡也就不再如圖4所描述的一樣。這種情況下,運動軌跡的討論在2.3.1節(jié)中給出。

圖4 忽略空氣阻力情況下豎直方向自由釋放的旋轉(zhuǎn)球體的運動

2.2 長時間后的穩(wěn)定運動:勻速直線運動

觀察圖3的受力分析不難發(fā)現(xiàn),球在運動過程中可能存在一種穩(wěn)態(tài)運動:即受力平衡下的勻速直線運動。這種情況下,球的受力平衡方程為

這里,θs和vs分別代表球在受力平衡狀態(tài)下與水平面的夾角和質(zhì)心運動速度。聯(lián)立上述方程組可以解得

其中系數(shù)

將受力平衡狀態(tài)下球體速度與水平面的夾角θs和運動速度vs分別稱作收尾角度和收尾速度,并在圖5中分別給出了角速度增加時θs和vs的變化趨勢(圖中曲線是按照籃球的參數(shù)取值進行計算,取半徑r=0.123m,質(zhì)量m=0.6kg,空氣密度ρa=1.29kg/m3,重力加速度g=9.8m/s2。)

圖5 氣中旋轉(zhuǎn)球體的收尾角度θs 與收尾速度vs 隨球角速度的變化

從圖5可以看出,隨著角速度的增加,球體收尾角度和收尾速度均減小,且收尾角度隨著角速度的增加減小得更快。這表明,當(dāng)增大球的初始轉(zhuǎn)速時,球釋放后最終的穩(wěn)態(tài)運動接近一種在水平方向的漂移運動(與水平方向夾角非常小),因而可以在水平方向有較大的移動距離。

特別地,當(dāng)球角速度ω=0,球的運動不會偏轉(zhuǎn),最終會在空氣阻力的作用下達到勻速狀態(tài)。此時,μ→0,根據(jù)式(15),收尾角度θs=π/2,即豎直下落;另外,根據(jù)式(16),收尾速度為

這與直接計算空氣阻力和重力作用下球體的收尾速度一致[8]。

2.3 一般情況下的運動軌跡

除了上面討論的兩種特殊情況,球的運動方程式(13)、式(14)沒有一般的解析解。利用Matlab在不同的初始角速度條件下求解式(13)、式(14),在圖6中繪出了若干具有不同特征的軌跡。圖6中計算所用參數(shù)與圖5一致。

圖6 無水平初速度自由釋放旋轉(zhuǎn)籃球在空氣中的軌跡

2.3.1 無水平初速度釋放籃球

圖6中,左側(cè)和右側(cè)分別是不同轉(zhuǎn)速下的籃球軌跡和相應(yīng)的速度-時間圖像。其中,左側(cè)軌跡圖中黑色實線是Matlab數(shù)值求解球體動力學(xué)方程式(13)、式(14)得到的解,灰色虛線是2.1節(jié)中式(18)給出的不考慮空氣阻力的解析解。右側(cè)速度-時間圖中,粗線和細線分別代表籃球的豎直方向和水平方向的分速度隨時間的變化曲線。可以看到,在剛釋放的一小段范圍內(nèi),由于運動速度不大,空氣阻力較小,黑線與灰色虛線幾乎重合。隨著運動速度的增加,空氣阻力由于與速度二次方成正比而明顯增大,從而使得黑線與灰線偏離。

除此之外,對比圖6(c)和圖6(d)可以看到,初始角速度越大,球體在豎直方向上出現(xiàn)下降-上升的運動階段越多。圖6的軌跡圖還表明,在運動的末期,球的軌跡趨于一直線。從速度時間圖上看,運動末期的豎直和水平方向分速度均趨于一常數(shù)。這與2.2節(jié)中給出的球的受力平衡解相吻合,此時球會做勻速直線運動直至落到地面。

同時注意到,隨著球轉(zhuǎn)速的增加,球體可能在下落的過程中出現(xiàn)反向上升,如圖6(c)和圖6(d)所示,即本文開篇所述北京高考物理卷14題C選項所給出的運動情景。具體分析球上升運動的條件,如圖7所示。

圖7 無水平初速度自由釋放旋轉(zhuǎn)籃球在空中出現(xiàn)上升運動的臨界條件

圖7中繪出了初始角速度分別為9r/s和8r/s籃球的運動軌跡(a)和豎直方向運動速度隨時間的變化(b)。從運動軌跡可以看到,籃球是否出現(xiàn)上升運動的轉(zhuǎn)速臨界點介于8r/s到9r/s之間。從圖7(b)可以看出,轉(zhuǎn)速為9r/s的籃球在扔出后5s左右,出現(xiàn)了y軸正方向的速度,即向上運動,而轉(zhuǎn)速為8r/s的籃球沒有出現(xiàn)vy＞0 的部分。同時,觀察圖7(a),可以發(fā)現(xiàn)籃球能實現(xiàn)向上運動的臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的剛開始向上運動時的豎直方向位移介于15～20m 之間。具體來說,數(shù)值計算表明籃球出現(xiàn)向上運動的臨界轉(zhuǎn)速nc=8.6r/s,此時對應(yīng)的向上運動時的豎直方向位移為18m。換而言之,當(dāng)籃球的轉(zhuǎn)速低于臨界轉(zhuǎn)速時,籃球自由釋放后無法在落地前出現(xiàn)上升運動。

除此之外,從圖6的幾幅圖中可以發(fā)現(xiàn),隨著角速度的增加,籃球第一次向上運動的位置對應(yīng)的豎直位移在逐漸減小。且在初始角速度較大時,籃球運動軌跡(黑色實線)與式(18)給出的解析表達式在初始下落階段內(nèi)符合較好(灰色虛線),因此可以利用式(18)來研究大轉(zhuǎn)速下籃球第一次向上運動對應(yīng)的豎直方向位移。根據(jù)式(18)可知籃球在豎直方向最大位移為

這近似等于籃球在以較大轉(zhuǎn)速釋放后在空中出現(xiàn)第一次向上運動時對應(yīng)的豎直位移,與轉(zhuǎn)速成反比,即與前述圖像分析的特點一致,轉(zhuǎn)速越大,這一位移越小。圖8中繪出了以籃球的參數(shù)為例,ym關(guān)于轉(zhuǎn)速ω的變化關(guān)系。

圖8 籃球第一次向上運動時對應(yīng)的豎直方向位移ym 與轉(zhuǎn)速n=ω/（2π）的關(guān)系

圖8 表明,當(dāng)籃球轉(zhuǎn)速達到50r/s時,ym≈1.5m,這意味著這種情況下釋放籃球的位置離地高度只要大于1.5m,就可以觀察到籃球在不觸地反彈的情況下出現(xiàn)的上升運動。

總的來說,當(dāng)籃球轉(zhuǎn)速大于臨界轉(zhuǎn)速8.6r/s時,只要人站得足夠高(離地高度y＞8g（1-～ρ）/(3πω～ρ)),落地前籃球就可以向上運動;若籃球轉(zhuǎn)速小于臨界轉(zhuǎn)速,即n＜8.6r/s時,無論人所站位置離地多高,落地前籃球都不可能向上運動。

2.3.2 以一定水平初速度釋放籃球

圖9給出了自由釋放vx（0）=0m/s(灰色實線)和以一定水平初速度vx（0）=20m/s(黑色實線)拋出的旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡的對比。球的轉(zhuǎn)速在圖9(a～d)中分別設(shè)定為ω=10π/s,17π/s,30π/s,80π/s。

從圖9中可以看出,在初始角速度相同時,相比于無水平初速度的情況(對比圖9(b)中的橘線和藍線),當(dāng)籃球以一定水平初速度釋放時,初始時豎直方向的馬格努斯力會出現(xiàn)大于球重力的情況,此時球開始“抬頭”,即向上運動,運動到最高點后才開始下落。且當(dāng)轉(zhuǎn)速增大時,球的運動變得復(fù)雜,此時球會由于馬格努斯力和空氣阻力的共同作用在空中多次上升回落,甚至出現(xiàn)類似螺旋線的運動,如圖9(c)與圖9(d)所示。

圖9 水平拋出的旋轉(zhuǎn)籃球在空氣中的軌跡

2.4 圓周運動和螺旋運動

值得一提的是,在旋轉(zhuǎn)球運動的所有軌跡中,會出現(xiàn)做圓周運動和螺旋運動的情況。當(dāng)所拋擲球密度與空氣等大時,即ρa=ρb,球在豎直方向所受重力與浮力平衡,也就是g′=0。此時,球運動方程方程(13)～方程(14)式化為

進一步地,若忽略空氣阻力,則球只受到馬格努斯力的作用,且總垂直于速度方向。不難推斷這種情況下,球?qū)⒃隈R格努斯力的作用下做勻速圓周運動,如圖10所示。

圖10 帶自轉(zhuǎn)球體在僅受馬格努斯力的作用下做勻速圓周運動

利用馬格努斯力提供向心力,容易寫出

其中R是球做圓周運動的半徑,解之得這是一個有意思的結(jié)果,此時馬格努斯力會使得這樣一個帶自轉(zhuǎn)的球體以

的角速度做圓周運動。這一結(jié)果,在實驗上可以用水平面上的旋轉(zhuǎn)球體進行檢驗。這一運動狀態(tài)與磁場中的帶電粒子受洛倫茲力的作用而做勻速圓周運動的情景類似。

另一方面,若考慮空氣阻力的作用,球體在做圓運動的同時速度會衰減,進而繞圈半徑減小,因此會呈現(xiàn)出螺旋線的軌跡。圖11中,利用式(26)、式(27),分別繪出了忽略空氣阻力時～和考慮空氣阻力時的旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡。圖中計算所用球的自轉(zhuǎn)速度取ω=10π/s,球的水平拋射初速度分別取vx（0）=10m/s(灰色實線)和vx（0）=20m/s(黑色實線)

圖11 豎直方向(y 方向)所受力為0時旋轉(zhuǎn)球的運動軌跡

觀察圖11(a)可以看出,忽略空氣阻力時,球確實做圓周運動,且圓運動半徑與拋射速度成正比,這與式(29)的理論結(jié)果一致。圖11(b)表明,計入空氣阻力后,球的軌跡是一類螺旋線,且隨著拋擲速度的增加,螺旋線軌跡的尺寸增加。

2.5 空氣阻力矩的影響

前面的討論假定了球的轉(zhuǎn)速恒定,因此球受到馬格努斯力的系數(shù)k2恒定,故而球所受馬格努斯力只會因為球質(zhì)心運動速度的改變而改變。但在實際情境中,球的轉(zhuǎn)速會因為空氣阻力矩的存在而衰減,這會通過影響馬格努斯力系數(shù)k2的大小而影響球的運動,從而改變球的運動軌跡。一般來說,空氣中旋轉(zhuǎn)物體所受阻力矩與物體的轉(zhuǎn)速成正相關(guān),最常用的阻力矩模型一般認為阻力矩與轉(zhuǎn)速的一次方或者二次方成正比,即

其中δ=1,2,k3是空氣阻力矩的系數(shù)。將上式與與式(13)、式(14)聯(lián)立,可以求解轉(zhuǎn)速衰減情況下球體的運動,相應(yīng)的運動軌跡在圖12中給出,球初始轉(zhuǎn)速設(shè)為ω0=40π/s。

圖12 空氣阻力矩對自由釋放的旋轉(zhuǎn)球體運動軌跡的影響

由圖12可以看到,考慮阻力矩后,由于馬格努斯效應(yīng)隨著轉(zhuǎn)速的衰減而減弱,球在豎直方向的反向運動次數(shù)會降低。另外,對比圖12(b)和圖12(a)可以看到,當(dāng)阻力矩正比于轉(zhuǎn)速平方時,豎直方向震蕩運動的衰減加劇得更為迅速。同時圖中軌跡也說明,在考慮轉(zhuǎn)速衰減后,球在同樣的豎直位移下對應(yīng)的橫向移動隨著轉(zhuǎn)速衰減程度的增加而減少。

3 結(jié)語

總的來說,北京2020年高考物理卷第14 題從高處釋放旋轉(zhuǎn)籃球的生活場景出發(fā),通過給定新知識,考查了考生結(jié)合已有知識,并學(xué)習(xí)應(yīng)用新知識解釋物理現(xiàn)象、探究物理問題的能力。本文進一步分析了該問題所涉及的馬格努斯效應(yīng),并具體討論了旋轉(zhuǎn)籃球在不同條件下釋放后在空氣中的運動軌跡,得到了以下結(jié)論:

(1) 旋轉(zhuǎn)球體在空氣受到的偏轉(zhuǎn)力為馬格努斯力,可以從伯努利原理出發(fā)進行解釋并推導(dǎo)其具體形式,為F=Cρωr3v,與流體密度、物體轉(zhuǎn)速、相對流體的速度以及球體體積成正比;

(2) 在釋放高度合適時,當(dāng)空氣阻力相比馬格努斯力可以忽略的情況下,旋轉(zhuǎn)球在平面內(nèi)做上下往復(fù)的周期運動;

(3) 在釋放高度合適時,旋轉(zhuǎn)球在運動過程中最終會達到勻速直線運動的狀態(tài)。且隨著轉(zhuǎn)速的增加,球體在該勻速直線運動中的收尾角度和收尾速度均減小,且收尾角度隨著速度的增加減小得更快;

(4) 根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果,當(dāng)籃球轉(zhuǎn)速大于n＞8.6r/s 時,只要人站得足夠高(離地高度y＞8g（1-～ρ）/(3πω～ρ)),落地 前籃球就可 以 向 上 運動;若籃球轉(zhuǎn)速小于臨界轉(zhuǎn)速,即n＜8.6r/s時,無論人所站位置離地多高,落地前籃球都不可能向上運動;

(5) 以較大的水平初速度拋出旋轉(zhuǎn)的球時,球會先向上運動;

(6) 當(dāng)所拋擲球密度與空氣等大,且不計空氣阻力時,旋轉(zhuǎn)球?qū)⒆鰣A周運動。計空氣阻力時,球的軌跡是一類螺旋線;

(7) 若考慮空氣阻力矩對釋放球轉(zhuǎn)動的減速效應(yīng),球在馬格努斯力作用下的橫向位移會減少。

上述結(jié)論(2)～(6)為假定球在運動過程中轉(zhuǎn)速恒定得到。