何桃順， 李沁林， 劉 淞

(內(nèi)江師范學(xué)院 a.四川省高校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 b.數(shù)據(jù)恢復(fù)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 c.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

障礙期權(quán)是金融市場(chǎng)中一種極其常見的路徑依賴期權(quán)，其最終收益不僅取決于標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日的價(jià)格，而且還與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)是否達(dá)到某一規(guī)定水平(障礙值)有關(guān).按照標(biāo)的資產(chǎn)達(dá)到規(guī)定障礙后的期權(quán)狀態(tài)，障礙期權(quán)可分為敲出期權(quán)和敲入期權(quán).敲出期權(quán)是指當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格達(dá)到規(guī)定障礙時(shí)終止有效的期權(quán)，而敲入期權(quán)是指當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格達(dá)到規(guī)定障礙才開始有效的期權(quán).根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升和下降達(dá)到規(guī)定障礙的情形，障礙期權(quán)又可分為上升障礙期權(quán)和下降障礙期權(quán).除此之外，每一類障礙期權(quán)都可以分為看漲和看跌兩大類，因此障礙期權(quán)可細(xì)分為八大類，具體可參考文獻(xiàn)[1]和[2].由于障礙期權(quán)的價(jià)格要比標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的價(jià)格便宜，所以障礙期權(quán)備受市場(chǎng)投資者的青睞，因此合理地對(duì)障礙期權(quán)進(jìn)行估值就成為國內(nèi)外學(xué)者研究中的重要課題.這方面的開創(chuàng)性工作源于1973年Merton[3]在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的假設(shè)下推導(dǎo)了障礙期權(quán)的解析定價(jià)公式；隨后，Wong等[4]將其擴(kuò)展為多資產(chǎn)的情形，推導(dǎo)了幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型下多資產(chǎn)障礙期權(quán)的解析定價(jià)公式.實(shí)證研究表明，雖然在平穩(wěn)的金融市場(chǎng)環(huán)境中幾何布朗運(yùn)動(dòng)能很好的模擬股票價(jià)格變化，但是幾何布朗運(yùn)動(dòng)不能有效的捕捉市場(chǎng)波動(dòng)率所呈現(xiàn)的“微笑”特征，也不能反映股價(jià)對(duì)數(shù)收益率所表現(xiàn)出的“尖峰厚尾”統(tǒng)計(jì)分布特征.為了彌補(bǔ)利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)刻畫股價(jià)變化存在的缺陷，許多專家學(xué)者在股價(jià)模型改進(jìn)方面做出了許多有價(jià)值的探索，研究了常彈性方差模型[5]、Hull-White模型[6]、Heston模型[7-8]以及跳擴(kuò)散模型[9]下的障礙期權(quán)定價(jià)問題.由于復(fù)雜金融市場(chǎng)模型下的障礙期權(quán)通常沒有解析定價(jià)公式，所以國內(nèi)外學(xué)者提出了利用二項(xiàng)式定價(jià)方法[10]、有限差分方法[11-13]和傅里葉余弦方法[14]等數(shù)值方法計(jì)算障礙期權(quán)的價(jià)格.

另一方面，許多學(xué)者對(duì)金融危機(jī)爆發(fā)后的金融市場(chǎng)動(dòng)態(tài)進(jìn)行了實(shí)證研究.如：Lillo等[15]研究發(fā)現(xiàn)金融崩潰后的金融市場(chǎng)服從冪律松弛衰減規(guī)律；Sornette[16]研究表明金融崩潰后的金融市場(chǎng)動(dòng)態(tài)遵循收斂的振蕩運(yùn)動(dòng).基于上述實(shí)證研究結(jié)果，Dibeh等[17]在Black-Scholes模型的基礎(chǔ)上將崩潰后的市場(chǎng)指數(shù)耦合到單個(gè)股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)過程中建立了如下Post Crash期權(quán)定價(jià)模型：

dSt=(μSt+bg(t))dt+(σSt+γg(t))dWt,

(1)

其中，St表示股票在t時(shí)刻的價(jià)格，μ和σ分別表示股票的原始收益率與原始波動(dòng)率，Wt表示標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，b和γ都是常數(shù)分別刻畫市場(chǎng)指數(shù)對(duì)股票收益率和波動(dòng)率的影響程度，g(t)表示S&P500指數(shù)施加的一個(gè)強(qiáng)制函數(shù)，它可以表示Sornette對(duì)股市指數(shù)在市場(chǎng)崩盤后的經(jīng)驗(yàn)擬合，通常表示為如下指數(shù)衰減的正弦函數(shù)：

g(t)=α+βeptsin(ωt).

Dibeh等在上述Post Crash期權(quán)定價(jià)模型(1)下利用Δ對(duì)沖的方法推導(dǎo)了歐式期權(quán)價(jià)值函數(shù)滿足的偏微分方程，然后采用有限差分方法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解得到該期權(quán)的價(jià)格，并將其計(jì)算結(jié)果與直接利用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行了比較；Luo等[18]考慮了Post Crash期權(quán)定價(jià)模型下的美式期權(quán)定價(jià)問題，他們采用無套利定價(jià)原理推導(dǎo)了美式期權(quán)價(jià)值函數(shù)滿足的偏微分方程并用懲罰方法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解；El-Khatib等[19]將Post Crash期權(quán)定價(jià)模型擴(kuò)展為帶跳情形并討論了該擴(kuò)展模型下的歐式期權(quán)定價(jià)問題.除此之外，El-Khatib等[20]研究了Post Crash期權(quán)定價(jià)模型下資產(chǎn)為外國貨幣的歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的估值和對(duì)沖問題.

鑒于此，本文從偏微分方程的角度利用有限差分方法研究Post Crash模型下障礙期權(quán)的定價(jià)問題.然后通過數(shù)值模擬說明Crank-Nicolson差分方法的有效性和分析金融危機(jī)的爆發(fā)對(duì)障礙期權(quán)價(jià)格的影響.

1 障礙期權(quán)價(jià)值函數(shù)的偏微分方程推導(dǎo)

下面利用Δ對(duì)沖方法推導(dǎo)向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)值函數(shù)在Post Crash模型下滿足的偏微分方程及邊界條件，得到如下定理：

定理1設(shè)向上敲出看漲障礙期權(quán)在時(shí)刻t之前未敲出，且其敲定價(jià)格為K以及向上敲出障礙為B，股票在時(shí)刻t的價(jià)格為St=S.如果用V(t,S)表示Post Crash模型下向上敲出看漲期權(quán)在時(shí)刻t的價(jià)格，那么V(t,S)在矩形區(qū)域{(t,S);0≤t

(2)

并且滿足邊界條件：

V(t,0)=0,0≤t≤T,

(3)

V(t,B)=0,0≤t

(4)

V(T,S)=(S-K)+,0≤S≤B.

(5)

證明在時(shí)間區(qū)間[0,T]上考慮一個(gè)動(dòng)態(tài)投資組合，該投資組合包含一個(gè)價(jià)值為V(t,S)的向上敲出看漲障礙期權(quán)和數(shù)量為-Δt份的股票，若記投資組合在時(shí)刻t的價(jià)值為∏t，則有：

∏t=V(t,S)-ΔtSt,

進(jìn)而有：

d∏t=dV(t,S)-ΔtdSt.

若設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，由Δ對(duì)沖原理可知，構(gòu)造的投資組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，即有：

dV(t,S)-ΔtdSt=r∏tdt=r(Vt-ΔtSt)dt,

(6)

根據(jù)伊藤引理并聯(lián)合股票過程St遵循的隨機(jī)微分方程(1)可推得：

(7)

將(7)式代入(6)式并整理可得：

(8)

因?yàn)榈仁?8)右端是無風(fēng)險(xiǎn)的，所以等式(8)左端隨機(jī)項(xiàng)dWt的系數(shù)必為0，即選取

將其帶入(8)式得到：

最后根據(jù)向上敲出看漲障礙期權(quán)的特點(diǎn)為其設(shè)置如下邊界條件，具體可參見文獻(xiàn)[2]：

即定理1得證.

注1由向上敲出看漲障礙期權(quán)滿足的偏微分方程(2)可知，當(dāng)γ=0時(shí)，偏微分方程(2)變?yōu)楣蓛r(jià)過程遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)(geometric brownian motion，GBM)的情形.即對(duì)金融衍生品定價(jià)而言γ=0意味著Post Crash模型退化為GBM情形而與模型參數(shù)b的取值無關(guān).

并且滿足邊界條件：

∞.

2 Crank-Nicolson差分方法

(9)

并且滿足如下初值和邊界條件：

(10)

(11)

(12)

然后在有限區(qū)域[0,T]×[0,B]上，分別定義如下關(guān)于時(shí)間和空間的一致網(wǎng)格：

Sj=jΔS,j=0,1,…,J;ζn=nΔζ,n=0,1,…,N.

接下來，分別定義

(13)

初值條件和邊界條件相應(yīng)的離散為：

3 數(shù)值算例

本小節(jié)主要列舉了兩個(gè)數(shù)值算例，其中第一個(gè)數(shù)值算例用來闡明Post Crash模型下障礙期權(quán)定價(jià)的Crank-Nicoloson差分方法的有效性；第二個(gè)數(shù)值算例主要通過分析模型參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的敏感性從而說明金融危機(jī)的爆發(fā)對(duì)障礙期權(quán)定價(jià)的影響.

在下列數(shù)值算例中，假設(shè)Post Crash市場(chǎng)指數(shù)函數(shù)表示為g(t)=α+βeρtsin(ωt)，其 中α=-10,β=5,ρ=-2,ω=10，該函數(shù)的設(shè)置及系數(shù)的選取具體可參見文獻(xiàn)[17].

例1假設(shè)股價(jià)模型(1)中的模型參數(shù)γ=0，這意味著Post Crash模型簡(jiǎn)化為GBM模型.在該股價(jià)模型下，向上敲出看漲障礙期權(quán)有如下解析定價(jià)公式(參見文獻(xiàn)[1])：

(14)

式中，τ=T-t，Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，并且δ+(τ,S)和δ-(τ,S)分別為：

設(shè)置模型參數(shù)為r=0.05，T=1，K=30，B=200，σ=0.2或0.4，在利用Crank-Nicoloson差分方法計(jì)算期權(quán)值時(shí)還需設(shè)置參數(shù)N=400，J=3000.下面分別利用Crank-Nicoloson差分算法(13)和解析定價(jià)公式(14)計(jì)算向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格得到表1，其中表1中的近似價(jià)格和精確價(jià)格分別為Crank-Nicoloson差分算法(13)和解析定價(jià)公式(14)的計(jì)算值，絕對(duì)誤差為近似價(jià)格與精確價(jià)格之差的絕對(duì)值.由表1中的絕對(duì)誤差可知，利用Crank-Nicoloson差分方法計(jì)算Post Crash模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格非常精確，從而說明該數(shù)值方法是有效的.

表1 Post Crash模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格計(jì)算結(jié)果比較

例2為了分析金融危機(jī)爆發(fā)對(duì)向上敲出看漲障礙期權(quán)定價(jià)的影響，設(shè)置參數(shù)為r=0.05，T=1，S0=50，N=400，J=3000.利用Crank-Nicoloson差分方法計(jì)算Post Crash模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格，其數(shù)值結(jié)果呈現(xiàn)為圖1和圖2.圖1表明當(dāng)波動(dòng)率σ很小且障礙B比較大時(shí)，金融危機(jī)的爆發(fā)使得向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格系統(tǒng)性的偏?。粓D2表明當(dāng)波動(dòng)率σ很大且障礙B比較小時(shí)，金融危機(jī)的爆發(fā)使得向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格系統(tǒng)性的偏大.這是因?yàn)轳詈狭吮罎⒑蟮氖袌?chǎng)指數(shù)的股價(jià)模型使得波動(dòng)率系統(tǒng)性的偏小以及股價(jià)一旦達(dá)到障礙則向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格立即變?yōu)?.另外，圖1和圖2還表明隨著模型參數(shù)γ的增加崩潰后的市場(chǎng)指數(shù)對(duì)向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格影響越大.特別地，當(dāng)γ越接近0時(shí)，向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格越接近GBM模型下該期權(quán)的價(jià)格，這與預(yù)期的理論結(jié)果一致.

圖1 Post Crash 模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格和交割價(jià)格之間的關(guān)系(高波動(dòng)率、低障礙情形)

圖2 Post Crash 模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格和交割價(jià)格之間的關(guān)系(低波動(dòng)率、高障礙情形)

4 結(jié)束語

本文從偏微方程的角度利用Crank-Nicoloson差分方法討論了Post Crash模型下障礙期權(quán)的定價(jià)問題.數(shù)值結(jié)果表明：利用Crank-Nicoloson差分方法計(jì)算Post Crash模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格是可行和有效的；耦合了Post Crash市場(chǎng)指數(shù)的股價(jià)模型使得波動(dòng)率系統(tǒng)性的偏低，從而使得金融危機(jī)期間向上敲出看漲障礙期權(quán)的價(jià)格系統(tǒng)性的偏高或偏低，這主要取決于波動(dòng)率和障礙的大小.