余唐旭，張勁東，何 濤，李 晨

（1.中國直升機設計研究所，景德鎮(zhèn)333001；2.南京航空航天大學電子信息工程學院，南京211106；3.中航工業(yè)雷華電子技術研究所第六研究部，無錫214063）

直升機載火控雷達能夠?qū)崿F(xiàn)對地對空目標監(jiān)視、跟蹤、定位和地形回避［1］，且具有頻段高、體積小和質(zhì)量輕等特點，是武裝直升機適裝的重要電子裝備［2］。隨著新的電子干擾技術的迅速發(fā)展，低空近程防空武器系統(tǒng)以及直升機專用雷達綜合對抗系統(tǒng)的出現(xiàn)，導致直升機載雷達工作的電磁環(huán)境日趨復雜［3］。發(fā)射固定波形的雷達一旦其信號被敵方干擾機截獲和識別，將非常容易被實施有針對性的干擾。

捷變波形由于其發(fā)射波形的不確定性，會使敵方干擾機的分選識別變得非常困難，因此也難以對其實施有效干擾［4］。隨著數(shù)字波形發(fā)生器技術的不斷發(fā)展，捷變波形逐漸成為雷達研究領域的新熱點和直升機雷達波形的新選擇。針對復雜波形設計問題，He 等給出了用于設計模糊函數(shù)的Multi-CAN 算法［5］，Arlery 等給出了基于梯度下降的模糊函數(shù)設計算法［6］。Boyd 等提出求解凸優(yōu)化問題的交替方向乘子法（Alternating direction method of multipliers，ADMM）［7］。隨 后Liang 等 使 用AD-MM 方法求解帶約束二次型最優(yōu)化問題，給出了一種設計具有低自相關旁瓣的連續(xù)相位調(diào)制信號方法［8］。在二次型優(yōu)化問題中，ADMM 更新公式可以給出閉式解，但在四次型優(yōu)化問題中，閉式解難以獲取。Hunter 和Lange 提出的Majorization-min-imization（MM）算法是一種迭代求解最優(yōu)化問題的算法，通過構造并求解形式更為簡單的輔助函數(shù)，逐漸逼近原問題的最優(yōu)解［9］。Song 等給出了一種基于MM 算法的模糊函數(shù)設計方法，其中輔助函數(shù)為目標函數(shù)上界的二次型［10］。Kerahroodi等［11-12］將坐標下降（Coordinate descent，CD）算法運用到優(yōu)化波形自相關函數(shù)。CD 算法在整個迭代過程中使用不同的坐標方向進行線搜索以求得目標函數(shù)的最優(yōu)解。以上優(yōu)化方法主要用于單個波形優(yōu)化。捷變波形的優(yōu)化問題目前主要依賴啟發(fā)類智能優(yōu)化算法，例如模擬退火算法［13］、遺傳算法［14］和粒子群算法［15］等，但在面對超高維優(yōu)化變量時，往往優(yōu)化耗時太長，容易陷入局部收斂。

由于直升機載火控雷達作用距離相對較近，且普遍采用中高重復頻率的窄脈沖，因此其相干處理間隔（Coherent processing interval，CPI）雖然脈沖個數(shù)較多，但單個脈沖碼長較短，影響其探測性能。如何有針對性地開展高維變量下捷變波形優(yōu)化設計，使其在低復雜算法下實現(xiàn)捷變優(yōu)化的同時，保證多脈沖和短碼長下的相干處理性能是本文的研究目標。目前針對短碼和捷變波形優(yōu)化的工作相對較少。本文基于捷變相位調(diào)制波形（Agiled phase coded waveform，APCW），以離散化的捷變波形距離-多普勒模糊函數(shù)為優(yōu)化目標，將捷變波形設計問題建模為帶約束四次型最優(yōu)化問題，并給出基于SVD 降維算法和循環(huán)算法的求解方法。

1 捷變波形模糊函數(shù)

設直升機載雷達系統(tǒng)在一個CPI 內(nèi)連續(xù)發(fā)射N 個脈沖信號

脈沖多普勒體質(zhì)雷達對回波信號首先進行濾波處理。對于反射的第n個脈沖，接收濾波器可寫為

則濾波器的輸出為

式中：τ 和f 分別為目標時間延遲和多普勒頻移。

由于直升機載火控雷達的脈沖重復頻率較高，因此在目標的相對徑向運動速度滿足|v|≤λ/4Tr的情況下，目標的多普勒移頻能夠滿足-1 2Tr≤f ≤1 2Tr，其 中λ 為 波 長。同 時 直 升機載火控雷達為了滿足最小作用距離和最大作用距離要求，往往采用窄脈沖和低于1/5 的占空比。因此，對于其發(fā)射波形的持續(xù)時間足夠小，滿足|2πfT| ＜π 5，即T ≤Tr5。由此，可以不考慮動目標（包括地面和低空飛行目標，以及在高重頻下的彈目標）多普勒頻率引起的回波脈內(nèi)相位變化。

取τ=ptp，p=-M，…，1，…，M。由于Tr?tp，χn(τ，f )可轉(zhuǎn)換為

式（7）忽略了多普勒頻率對脈內(nèi)相位的調(diào)制。

回波信號經(jīng)過濾波之后，濾波器輸出可表示為一個2(M -1)×N 的二維矩陣ξ( p，v)，2(M -1)和N 分別對應了時間延遲和脈沖數(shù)目。接著，對濾波結果進行一維N 點逆離散傅里葉變換以實現(xiàn)固定延遲脈沖信號的相干處理。經(jīng)過處理后的距離-多普勒二維函數(shù)為

從優(yōu)化模糊函數(shù)的角度來說，捷變波形的期望模糊函數(shù)除了主峰，在其余位置的副瓣接近零。由式（9）所示，目標的多普勒頻率f僅影響距離-多普勒平面上目標所在位置的聚焦，不影響目標在距離-多普勒二維平面上的形狀，即模糊函數(shù)形狀。因此可以設置f =0，且定義捷變波形的離散距離-多普勒模糊函數(shù)為

為抑制雜波和旁瓣，則需最小化目標函數(shù)ξ( p，q)

由于捷變波形的設計本質(zhì)上是一個高維復雜變量的約束優(yōu)化問題，對其進行直接求解優(yōu)化難度極高，且維度高造成的計算復雜度也極高。因此，這里采用交替指向方法首先將上述優(yōu)化分解為多個最小化問題。顯然，降維后的優(yōu)化問題在一次優(yōu)化過程中的優(yōu)化變量個數(shù)明顯減少。

2 基于SVD 分解的捷變波形優(yōu)化算法

降維后的捷變波形優(yōu)化問題簡化為交替指向下各個波形的單個優(yōu)化。但對單個波形的優(yōu)化，問題（12）仍是一個四次型的優(yōu)化問題。直接對四次型的優(yōu)化是一個非常復雜且耗計算量的問題。因此，針對捷變波形優(yōu)化設計，首先采用一種基于奇異值分解的優(yōu)化設計方法。該方法構造自相關系數(shù)矩陣作為中間量，在優(yōu)化過程中通過先優(yōu)化自相關系數(shù)矩陣，再優(yōu)化波形，最后通過反復迭代的方式實現(xiàn)收斂。與文獻［7-8］等方法相比，是一種新的將四次型降為二次型的思路。

2.1 交替指向下的相關系數(shù)估計

2.2 SVD 降冪次

在估計各個波形的相關系數(shù)后，雖然解決了優(yōu)化的高維數(shù)問題。但優(yōu)化目標仍是一個四次型優(yōu)化問題，這里采用SVD 分解進行降冪次。

令

對式（20）進行最小化，可以按照以下方法進行分解和優(yōu)化。

2.3 基于SVD 的捷變波形優(yōu)化流程

根據(jù)上述過程，對捷變波形的優(yōu)化可以總結為如下所示。

3 基于循環(huán)算法的捷變波形優(yōu)化算法

在第2 節(jié)中，對捷變波形的優(yōu)化其核心在SVD分解的運用，因此其計算復雜度略高。在針對短碼的優(yōu)化，SVD 運算也相對較好。在某些不希望采用復雜運算形式的場合，SVD 分解的適用性將下降。為了簡化運算形式，本節(jié)將采用一種循環(huán)算法的捷變波形優(yōu)化算法，該算法最大的特點在于運算形式較為簡單，不涉及矩陣分解等復雜運算。

3.1 優(yōu)化模型的轉(zhuǎn)化

捷變波形的優(yōu)化目標函數(shù)為四次型，因此很難利用解析形式給出全局最優(yōu)解或直接給出優(yōu)化方法。這里給出一種局部最優(yōu)的優(yōu)化技術，這是一種計算效率較高的方法。

式中：矩陣Qn為M ×M 的Hermitian 矩陣 為正定矩陣。

3.2 循環(huán)迭代的算法證明

從上述證明過程可見，如果兩個不等式的約束能夠滿足，就能夠保證目標函數(shù)的收斂性。定理3將證明如何保證這兩個不等式的成立。

定理2 兩個不等式成立

由此可見，上述過程滿足了兩個不等式的要求，可以使得上述過程在迭代過程中保證計算的收斂性。

考慮到序列的恒模性約束，近似解可以表示為

3.3 基于循環(huán)算法的捷變波形優(yōu)化流程

循環(huán)算法步驟總結如下。

步 驟 1 令 k=0，初 始 化 調(diào) 制 編 碼{ x(n，m) }，n=0，1，…，N -1；m=0，1，…，M -1，使用隨機生成的編碼調(diào)制形式；

步驟2 令n=0；N -1；

步驟2.1 根據(jù)公式計算矩陣Qn；

4 計算機仿真與性能分析

選取參數(shù)：直升機載火控雷達載頻35 GHz，重頻100 kHz，帶 寬10 MHz，一 個CPI 內(nèi) 脈 沖 個 數(shù)100，脈寬在0.8～2 μs 之間變化，即對應的脈內(nèi)編碼碼長M 在8～20 之間變化。

目 標 區(qū) 域Φ 的 參 數(shù) 為Φ={( p，q)|-M/2 ≤p ≤M/2，-N/4 ≤q ≤N/4}。

圖1 基于SVD分解和循環(huán)算法的優(yōu)化后的模糊函數(shù)俯視圖Fig.1 Top view of optimized ambiguity function based on SVD and cyclic algorithm

圖1 給出了脈沖個數(shù)100 和碼長20 下的基于SVD 分解和循環(huán)計算的捷變波形優(yōu)算法優(yōu)化后的模糊函數(shù)俯視圖。

圖2 給出了基于SVD 分解和循環(huán)計算的捷變波形優(yōu)算法的收斂。由圖2 可見，基于SVD 分解的方法收斂速度更快，基于循環(huán)計算的方法收斂速度稍慢，但在經(jīng)過400 次迭代計算后二者優(yōu)化性能接近。

圖2 捷變波形優(yōu)化算法的收斂曲線Fig.2 Convergence curve of agile waveform optimization al-gorithm

圖3 給出了在迭代100 次后不同算法在不同M 下的優(yōu)化性能，可見基于SVD 的優(yōu)化算法結果優(yōu)于基于循環(huán)計算的算法。

圖3 在不同M 下的捷變波形優(yōu)化性能Fig.3 Agile waveform optimization performance using dif-ferent M

圖4 給出了脈沖個數(shù)100 和碼長20 下捷變波形對多目標的處理結果。由圖4 可見，LFM 和隨機捷變波形的副瓣整體較高，其中隨機捷變波形的副瓣分散，LFM 波形的副瓣呈現(xiàn)十字形。經(jīng)過優(yōu)化后的捷變波形副瓣整體較低。

圖4 捷變波形對多目標的處理結果Fig.4 Results of multi-target processing with agile wave-form

5 結 論

本文針對直升機載火控雷達在多脈沖和短碼長下的捷變波形優(yōu)化設計問題，提出了具有目標區(qū)域低旁瓣模糊函數(shù)的捷變相位編碼波形優(yōu)化設計算法。算法通過SVD 分解和循環(huán)計算框架求解帶約束的四次型優(yōu)化問題。其中SVD 分解的波形優(yōu)化算法收斂性更好，循環(huán)計算的波形優(yōu)化算法計算簡單，不涉及復雜運算形式。仿真結果表明，兩種算法在設計脈沖串性能上接近，但SVD 分解算法收斂速度更快，循環(huán)計算算法具有更高的運算速度。