鐘政達(dá) 華東政法大學(xué)附屬中學(xué)

一、引言

概率統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它主要研究隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件的發(fā)生規(guī)律。在一些隨機(jī)事件發(fā)生之前，人們無(wú)法確定事件的結(jié)果，但是事件發(fā)生的結(jié)果只可能是幾種可能結(jié)果中的一種?？梢詰?yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)這些隨機(jī)事件的結(jié)果進(jìn)行分析，預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)的情況。事實(shí)上，在城市交通管理、企業(yè)戰(zhàn)略制定、金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)等常見(jiàn)場(chǎng)景中，概率統(tǒng)計(jì)都有著廣泛的應(yīng)用。在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)或金融學(xué)研究時(shí)，研究者常常需要以概率統(tǒng)計(jì)為工具分析收集到的數(shù)據(jù)，減輕隨機(jī)因素對(duì)結(jié)論的影響。在分析市場(chǎng)中顧客的行為特征或預(yù)測(cè)某些商品的時(shí)，企業(yè)的經(jīng)營(yíng)者也需要應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)。

二、概率統(tǒng)計(jì)的簡(jiǎn)介

在日常生活中，概率一詞有多種含義。在數(shù)學(xué)中，概率指的是特定事件發(fā)生的相對(duì)頻率的統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)值。從數(shù)學(xué)的角度看，擲骰子、拋硬幣等簡(jiǎn)單的游戲其實(shí)都是隨機(jī)事件，都涉及一定的概率知識(shí)。在機(jī)會(huì)博弈中，隨機(jī)事件的特征是，盡管大量試驗(yàn)的結(jié)果具有一定的規(guī)律性，但是人們無(wú)法準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)給定試驗(yàn)的結(jié)果。拋硬幣便是機(jī)會(huì)博弈的一個(gè)很典型的例子。在拋硬幣時(shí)，正面向上的概率等于二分之一。這意味著，在大量拋硬幣時(shí)，正面向上的結(jié)果約為總拋擲次數(shù)的一半，但是如果一個(gè)人只拋一次硬幣，那么這次拋擲的結(jié)果是不確定的。類似地，在進(jìn)行遺傳咨詢時(shí)，醫(yī)生會(huì)根據(jù)患有遺傳性疾病的家族的譜系，推測(cè)生出患病個(gè)體的概率，但是醫(yī)生并不能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)某對(duì)夫妻的第一個(gè)孩子是否患病。也就是說(shuō)，概率是對(duì)許多相似的場(chǎng)景中某一事件發(fā)生的相對(duì)頻率的描述，而不是關(guān)于給定事件或給定個(gè)體的預(yù)測(cè)。

統(tǒng)計(jì)理論和統(tǒng)計(jì)模型是分析群體特征的重要工具。在對(duì)較為龐大的群體進(jìn)行調(diào)查時(shí)，人們需要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，才能更充分地認(rèn)識(shí)群體的特點(diǎn)，避免各種類型的偏倚。統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)可以幫助人們根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，對(duì)某一變量或指標(biāo)的未來(lái)變化趨勢(shì)進(jìn)行高效的預(yù)測(cè)，其在企業(yè)決策、金融管理、生態(tài)環(huán)境保護(hù)中有著廣泛的應(yīng)用[1]。

在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)金融體系中，不確定性事件是非常多的，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，研究者、經(jīng)營(yíng)者、投資者可以更高效地預(yù)測(cè)某些經(jīng)濟(jì)金融指標(biāo)的變化，從而高效地做出決策。在分析股票價(jià)格的波動(dòng)規(guī)律時(shí)，在預(yù)測(cè)原料價(jià)格走勢(shì)時(shí)，人們都需要應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)。深入研究概率統(tǒng)計(jì)中的一些關(guān)鍵概念，探究其在不同的經(jīng)濟(jì)場(chǎng)景或金融場(chǎng)景中的應(yīng)用，有助于人們更高效地解決遇到的問(wèn)題，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

三、概率統(tǒng)計(jì)中的基本概念

在應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，實(shí)際問(wèn)題應(yīng)當(dāng)具備一些基本的特征：在相同的條件下，試驗(yàn)的重復(fù)性是較高的，在不同的單次試驗(yàn)中，人們會(huì)得到幾種不同的結(jié)果。

（一）樣本空間

試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的集合稱為“樣本空間”。如果人們進(jìn)行一次拋硬幣的試驗(yàn)，就會(huì)產(chǎn)生兩種不同的結(jié)果，即“正面向上”和“反面向上”，這兩種結(jié)果構(gòu)成了一個(gè)樣本空間[2]。如果人們投擲兩個(gè)骰子，那么記錄得到的結(jié)果的樣本空間中包含36種可能的點(diǎn)數(shù)組合，每個(gè)結(jié)果都可以用有序?qū)Γ╥，j）標(biāo)識(shí)，其中i和j的取值為1、2、3、4、5、6。

（二）事件

“事件”是定義明確的樣本空間的子集。例如，事件“兩個(gè)骰子上顯示的點(diǎn)數(shù)之和等于6”包含五個(gè)結(jié)果（1，5），（2，4），（3，3），（4，2）和（5，1）。事件的發(fā)生概率是事件中包含的結(jié)果數(shù)與總結(jié)果數(shù)之比，在上述例子中，事件“兩個(gè)骰子上顯示的點(diǎn)數(shù)之和等于6”的發(fā)生概率為5/36。這種計(jì)算概率的方法是簡(jiǎn)單而原始的，但是，它是幾乎一切概率統(tǒng)計(jì)理論的基礎(chǔ)。

四、概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域的應(yīng)用

（一）正態(tài)分布

正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的分布。在分析一些受到多個(gè)因素影響的變量的變化規(guī)律時(shí)，人們通常需要根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況，確定這些變量的分布規(guī)律。由于影響這些變量的因素很多，研究者很難建立能夠納入所有影響因素的、精確的模型。正態(tài)分布為解決這類問(wèn)題提供了很好的分析方法。研究者只需要確定平均值和方差，即可基本確定變量的主要變化范圍，評(píng)估某一數(shù)據(jù)是否來(lái)自于特定的總體[3]。

1.正態(tài)分布的簡(jiǎn)介

正態(tài)分布（也稱為高斯分布）是一種非常常見(jiàn)的變量分布形式。服從正態(tài)分布的變量通常關(guān)于均值對(duì)稱，接近均值的數(shù)據(jù)比遠(yuǎn)離均值的數(shù)據(jù)更頻繁地出現(xiàn)。如果研究者以待研究的變量為橫坐標(biāo)，以變量的概率為縱坐標(biāo)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果畫(huà)出相應(yīng)的曲線，那么這條曲線將會(huì)是一條鐘形曲線。但需要注意的是，并非所有對(duì)稱分布都是正態(tài)的。實(shí)際上，生活中遇到的大多數(shù)分布都不是完全正態(tài)的。根據(jù)正態(tài)分布的模型得到的數(shù)據(jù)通常和實(shí)際情況有一定的出入，不過(guò)，正態(tài)分布仍然是無(wú)可置疑的最實(shí)用的概率分布模型之一。深入研究正態(tài)分布的特征，有助于人們更好地把握變量的變化規(guī)律，更準(zhǔn)確地對(duì)異常狀況進(jìn)行判斷，找到更有效的解決方法。

在應(yīng)用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們首先需要判斷某一變量是否服從正態(tài)分布。如果變量是服從正態(tài)分布的，那么可以在抽樣后分析樣本的特征，確定相關(guān)變量的平均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，樣本的概率密度函數(shù)為。根據(jù)概率密度函數(shù)，研究者可以高效地推斷總體的特征[4]。

2.正態(tài)分布在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域的應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域中的一些變量會(huì)受到人為因素的影響，這些變量通常不服從正態(tài)分布。不過(guò)，當(dāng)經(jīng)濟(jì)變量或金融變量同時(shí)受到多個(gè)個(gè)體的行為的影響，或者同時(shí)受到多個(gè)互不相關(guān)的因素影響時(shí)，這些變量通常近似地服從正態(tài)分布。

一些金融學(xué)家提出，股票的價(jià)格變化幅度是服從正態(tài)分布的。假設(shè)一位金融分析師在收集股市的歷史數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)每年1月某只股票的跌幅平均值為1%，其標(biāo)準(zhǔn)差為0.1%。由于在不發(fā)生重大經(jīng)濟(jì)金融事件時(shí)，股票的漲幅和跌幅是基本服從正態(tài)分布的，該分析師可以據(jù)此推測(cè)該股票的漲跌情況：股票的跌幅與跌幅平均值相差一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率是68.3%，即股票在1月下跌0.9%至1.1%的概率為68.3%；股票的跌幅與跌幅平均值相差兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率是95.5%，即股票在1月下跌0.8%至1.2%的概率為95.5%。該分析師可以據(jù)此決策是否買(mǎi)入或賣出該股票。

（二）泊松分布

1.泊松過(guò)程

泊松過(guò)程是關(guān)于一系列離散事件的模型，其中，發(fā)生兩個(gè)事件的平均時(shí)間間隔是已知的，但發(fā)生事件的確切時(shí)間是隨機(jī)的。事件的發(fā)生時(shí)間與之前的事件無(wú)關(guān)（事件之間的時(shí)間間隔是獨(dú)立隨機(jī)變量）。例如，假設(shè)某人擁有一個(gè)網(wǎng)站，內(nèi)容發(fā)布網(wǎng)絡(luò)（CDN）告訴他，該網(wǎng)站平均每60天出現(xiàn)一次故障，但發(fā)生一個(gè)故障后，人們并不知道下一次故障將會(huì)何時(shí)發(fā)生，只知道兩次故障之間的平均時(shí)間間隔。這是一個(gè)典型的泊松過(guò)程。其中的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)是：事件之間的平均時(shí)間為60天。不過(guò)，由于故障是隨機(jī)發(fā)生的，相鄰的兩次故障之間的間隔時(shí)間是獨(dú)立隨機(jī)變量，其間隔時(shí)間可能是幾天，也可能是幾年。

泊松過(guò)程通常滿足以下條件：事件是彼此獨(dú)立的；一個(gè)事件的發(fā)生不會(huì)影響另一個(gè)事件發(fā)生的可能性；發(fā)生事件的平均速率是恒定的，也就是事件在一定長(zhǎng)度的時(shí)間內(nèi)的平均發(fā)生次數(shù)是確定的；兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生。由于事件不是同時(shí)發(fā)生的，我們可以將泊松過(guò)程的每個(gè)子間隔視為伯努利試驗(yàn)，即在該時(shí)間間隔中，事件是否發(fā)生相當(dāng)于伯努利試驗(yàn)的結(jié)果是成功還是失敗。在上述例子中，總時(shí)間間隔可能是600天，但我們需要將其分為比平均發(fā)生間隔的更短的一個(gè)個(gè)子間隔（如“一天”或“一小時(shí)”），我們需要判斷事件在這些子間隔中是否發(fā)生，并統(tǒng)計(jì)總發(fā)生次數(shù)。實(shí)際上，在生活中，許多借助泊松分布解決的問(wèn)題并不完全符合這些條件，但是我們?nèi)钥梢杂貌此煞植寄Ｐ徒频孛枋鲞@些問(wèn)題，通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型解決這些問(wèn)題。

在生活中，泊松過(guò)程是非常常見(jiàn)的。一段時(shí)間內(nèi)客戶呼叫幫助中心的次數(shù)，訪問(wèn)網(wǎng)站的訪客數(shù)，發(fā)生放射性衰變的原子數(shù)，到達(dá)太空望遠(yuǎn)鏡的光子數(shù)以及股價(jià)的波動(dòng)次數(shù)，都可以用泊松過(guò)程描述。泊松過(guò)程通常與時(shí)間有關(guān)，但是在一些例子中，泊松過(guò)程可能與長(zhǎng)度、面積等變量相關(guān)[5]。如果人們知道某塊林地上每英畝樹(shù)木的數(shù)量的平均值，那么他們可以近似地預(yù)測(cè)林地上的樹(shù)木分布情況，也就是說(shuō)，在分析面積較大的區(qū)域中發(fā)生某事件的次數(shù)時(shí)，可以先求出單位面積的區(qū)域中發(fā)生的事件的平均次數(shù)，然后借助與泊松過(guò)程的知識(shí)解決問(wèn)題。

此外，在分析公交車到達(dá)某一站的規(guī)律時(shí)，人們也常常應(yīng)用泊松分布的知識(shí)。但是，這種過(guò)程并不是真正的泊松過(guò)程，因?yàn)椴煌墓卉嚨牡秸緯r(shí)間有一定的聯(lián)系。即使是未按時(shí)運(yùn)行的公交系統(tǒng)，一輛公交車的“晚點(diǎn)”也會(huì)影響下一輛公交車的到達(dá)時(shí)間。

2.泊松分布

泊松過(guò)程是人們用來(lái)描述隨機(jī)發(fā)生的事件的模型，它本身并沒(méi)有特別高的實(shí)用價(jià)值。我們需要定量的數(shù)學(xué)模型—泊松分布來(lái)分析某個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生某事件的概率或次數(shù)。

泊松分布概率密度函數(shù)讓研究者可以在給定時(shí)間段的長(zhǎng)度和每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均事件數(shù)的情況下，分析在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)觀察到k個(gè)事件的概率：，其中，λ是單位時(shí)間，它是描述事件發(fā)生的速率的參數(shù)[6]。

3.泊松分布在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域的應(yīng)用

如果某商場(chǎng)的經(jīng)理想要估算工作日的某一時(shí)段內(nèi)進(jìn)入商場(chǎng)的顧客的數(shù)量，那么他可以應(yīng)用泊松分布的知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型，解決這一問(wèn)題。假設(shè)在工作日，路過(guò)商場(chǎng)的每個(gè)人進(jìn)入商場(chǎng)的概率為p=0.01，某工作日上午有100個(gè)人路過(guò)商場(chǎng)，求此段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入商場(chǎng)的人數(shù)大于等于2的概率。

由于λ=np=100＊0.01=1，進(jìn)入商場(chǎng)的人數(shù)為0的概率為，進(jìn)入商場(chǎng)的人數(shù)為1 的概率為。求此段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入商場(chǎng)的人數(shù)大于等于2的概率為1-0.368-0.368=0.264。

五、結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，人們可以高效地分析實(shí)際問(wèn)題中的不確定性問(wèn)題。在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域中，許多問(wèn)題與隨機(jī)因素有關(guān)。應(yīng)用正態(tài)分布、泊松分布等經(jīng)典概率模型的知識(shí)，人們可以高效地分析經(jīng)濟(jì)金融問(wèn)題，預(yù)測(cè)特定指標(biāo)的變化趨勢(shì)。研究者應(yīng)當(dāng)建立更貼合實(shí)際的模型，才能提高通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)模型得到的結(jié)論的可靠性，更高效地決策。