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        壽命型產(chǎn)品序貫試驗(yàn)方案計(jì)算與分析

        2021-05-06 06:12:36李大偉姜本正
        火力與指揮控制 2021年3期
        關(guān)鍵詞:概率模型時(shí)刻可靠性

        李大偉,姜本正,肖 冰

        (解放軍91550 部隊(duì),遼寧 大連 116023)

        0 引言

        可靠性是產(chǎn)品重要的質(zhì)量屬性[1]。為了檢驗(yàn)產(chǎn)品是否滿足可靠性指標(biāo)要求,使其更好地完成規(guī)定的功能,需要開展可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)。在制定試驗(yàn)方案時(shí),序貫試驗(yàn)因?yàn)榫哂锌焖龠M(jìn)行判決、減少平均試驗(yàn)時(shí)間等優(yōu)點(diǎn)[2],所以在工程中得到了廣泛的應(yīng)用,形成了多份相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)[3-4]。

        由于序貫試驗(yàn)方案的工程優(yōu)點(diǎn),自從20 世紀(jì)40 年代Wald 提出序貫概率比抽樣檢驗(yàn)方法以來,許多學(xué)者對(duì)序貫試驗(yàn)方案進(jìn)行了大量的研究,比如文獻(xiàn)[5]針對(duì)成敗型產(chǎn)品,通過調(diào)整接收- 拒收判決線,在雙方風(fēng)險(xiǎn)不變的情況下,降低了最大試驗(yàn)數(shù);文獻(xiàn)[6]在Bayes 理論框架下,推導(dǎo)了成敗型產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)表達(dá)式,給出了判決準(zhǔn)則。目前,相關(guān)研究[7-8]集中于對(duì)序貫試驗(yàn)方案判決準(zhǔn)則進(jìn)行改進(jìn),但是對(duì)于其判決概率基礎(chǔ)模型研究相對(duì)較少。實(shí)際上,序貫試驗(yàn)方案采取“邊試驗(yàn)邊判決”的檢驗(yàn)方式,造成存在多個(gè)判決時(shí)刻,導(dǎo)致其接收- 拒收判決概率模型、風(fēng)險(xiǎn)表達(dá)式等均較為繁瑣,工程中往往采取近似的方法給出結(jié)果,不利于深入理解序貫試驗(yàn)方案的確定過程。為此,文獻(xiàn)[9]以GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》規(guī)定的序貫試驗(yàn)方案8 為例,利用圖解法給出了其接收概率處理過程,得到了精確計(jì)算結(jié)果。雖然結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)一致,但是作者并沒有建立接收- 拒收概率模型的一般表達(dá)式,不利于進(jìn)一步推廣到其他序貫試驗(yàn)方案中。文獻(xiàn)[10]雖然利用矩陣法給出了壽命型產(chǎn)品序貫試驗(yàn)方案的精確計(jì)算方法,但是缺少對(duì)模型概率意義的解釋,且該方法對(duì)矩陣和概率知識(shí)要求較高,不利于直觀理解序貫試驗(yàn)方案判決時(shí)刻的工程意義及確定內(nèi)涵。由此可見,雖然序貫試驗(yàn)較為成熟,工程中為了便于使用,相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)直接給出了可供查詢的使用表格,但是其基礎(chǔ)模型(即特征量解析表達(dá)式)研究相對(duì)較少。特別是序貫試驗(yàn)的概率計(jì)算較為繁瑣,實(shí)際使用中主要利用近似或舉例的方法,對(duì)相應(yīng)的特征量計(jì)算過程進(jìn)行了說明,需要進(jìn)一步研究才能推廣到一般情況。顯然,這不利于準(zhǔn)確理解序貫試驗(yàn)內(nèi)涵,無法掌握序貫試驗(yàn)的物理意義和適用范圍,給實(shí)際工作帶來了一定的不利影響。

        為了解決上述問題,本文以壽命型產(chǎn)品為研究對(duì)象,開展了序貫試驗(yàn)方案基礎(chǔ)理論研究。利用概率方法,本文對(duì)序貫試驗(yàn)中接收和拒收對(duì)應(yīng)的事件定義進(jìn)行了分解、確定,建立了其接收- 拒收判決概率的基礎(chǔ)模型,給出了雙方風(fēng)險(xiǎn)、OC 曲線和平均試驗(yàn)時(shí)間等特征量的解析表達(dá)式,并進(jìn)一步解釋了序貫試驗(yàn)的物理意義。同時(shí),通過與定時(shí)截尾試驗(yàn)方案進(jìn)行比較,說明了序貫試驗(yàn)方案的工程特點(diǎn),研究結(jié)論不僅有助于深入理解序貫試驗(yàn)方案內(nèi)涵,而且能夠掌握其適用范圍,從而保證可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)?zāi)軌蛴行蜷_展。

        1 序貫試驗(yàn)方案概率建模

        1.1 序貫試驗(yàn)方案描述

        序貫試驗(yàn)方案采取“邊試驗(yàn)邊判決”的檢驗(yàn)形式,因此,其試驗(yàn)方案往往采取表1 的形式給出。

        表1 序貫試驗(yàn)方案示意表

        表1 中,ti,r表示產(chǎn)品發(fā)生第i 次故障的拒收時(shí)刻,即第i 次故障發(fā)生時(shí)刻小于ti,r時(shí),則拒收該產(chǎn)品;ti,a表示產(chǎn)品發(fā)生第i 次故障的接收時(shí)刻,即第i次故障發(fā)生時(shí)刻大于ti,a時(shí),則接收該產(chǎn)品。當(dāng)?shù)趇次故障發(fā)生時(shí)刻在[ti,r,ti,a]之間時(shí),則無法作出判決,需要繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)。表1 中所列的判決時(shí)間為產(chǎn)品可靠性指標(biāo)要求中最低可接受值θ1的倍數(shù)。

        根據(jù)序貫試驗(yàn)方案的判決準(zhǔn)則,每次發(fā)生故障都會(huì)參考判決時(shí)間,判斷是否結(jié)束試驗(yàn),因此,可以近似認(rèn)為判決時(shí)間為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)刻。此時(shí),為了便于建立序貫試驗(yàn)方案的判決概率模型,本文按照判決時(shí)間的數(shù)值大小對(duì)表1 所示的序貫試驗(yàn)方案進(jìn)行重新描述,具體如表2 所示。表中,判決時(shí)刻滿足t1<t2<…<tn。

        表2 序貫試驗(yàn)方案判決時(shí)刻示意表

        表2 通過判決時(shí)刻,反映了產(chǎn)品可能結(jié)束試驗(yàn)的時(shí)刻。由于不同序貫試驗(yàn)方案在具體判決準(zhǔn)則方面存在差異,因此,為了便于后文描述,對(duì)表2 作出以下說明:

        1.2 接收- 拒收判決概率模型

        對(duì)于壽命型產(chǎn)品,往往選取其壽命分布為指數(shù)分布,即產(chǎn)品的工作時(shí)間t 滿足下式

        式中,θ 為產(chǎn)品的平均故障間隔時(shí)間(即可靠性真值)。為了分析試驗(yàn)方案的特性,通常θ 表示為產(chǎn)品可靠性指標(biāo)要求中最低可接受值θ1的倍數(shù)。

        根據(jù)指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系,壽命型產(chǎn)品在工作時(shí)間t 內(nèi)發(fā)生k 次故障的規(guī)律滿足下式

        在掌握壽命型產(chǎn)品故障發(fā)生規(guī)律后,利用表2所描述的判決時(shí)刻,對(duì)序貫試驗(yàn)方案接收- 拒收概率進(jìn)行建模。

        1.2.1 接收概率模型

        1.2.2 拒收概率模型

        針對(duì)具體的序貫試驗(yàn)方案,根據(jù)判決時(shí)刻tj與拒收時(shí)刻ti,r之間的關(guān)系,利用式(6),能夠得到產(chǎn)品的拒收概率滿足下式

        顯然,序貫試驗(yàn)方案接收- 拒收概率基礎(chǔ)模型的建立,有助于理解各個(gè)判決時(shí)刻對(duì)應(yīng)的物理意義,并可推廣到序貫試驗(yàn)方案的一般情況,為準(zhǔn)確掌握序貫試驗(yàn)方案的特點(diǎn)和適用范圍奠定了基礎(chǔ)。

        2 序貫試驗(yàn)方案特征量建模

        2.1 雙方風(fēng)險(xiǎn)

        在掌握序貫試驗(yàn)方案接收- 拒收判決概率模型后,結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)定義,給出生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際值α'和使用方風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際值β'的解析表達(dá)式,即

        式中,θ0、θ1分別為可靠性指標(biāo)中的規(guī)定值和最低可接受值。顯然,雙方風(fēng)險(xiǎn)與序貫試驗(yàn)方案的接收概率密切相關(guān)。

        由于序貫試驗(yàn)方案采取“邊試驗(yàn)邊判決”的檢驗(yàn)方式,因此,其雙方風(fēng)險(xiǎn)為不同判決時(shí)刻接收概率的累加和,如式(8)所示。這說明:1)序貫試驗(yàn)方案是在給定雙方風(fēng)險(xiǎn)的情況下,將風(fēng)險(xiǎn)逐步進(jìn)行分解,以此確定判決時(shí)刻,并保證各判決時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)之和滿足指標(biāo)要求;2)序貫試驗(yàn)方案的風(fēng)險(xiǎn)與定時(shí)截尾試驗(yàn)方案的風(fēng)險(xiǎn)有所不同,由于后者判決時(shí)刻是唯一的,因此,定時(shí)截尾試驗(yàn)方案僅需要保證截尾時(shí)刻雙方風(fēng)險(xiǎn)滿足指標(biāo)要求即可。從目標(biāo)規(guī)劃角度來看,可以近似理解為序貫試驗(yàn)方案的約束條件要多于定時(shí)截尾試驗(yàn)方案。

        2.2 OC 曲線

        OC 曲線反映了在給定序貫試驗(yàn)方案后,產(chǎn)品平均故障間隔時(shí)間的真值與接收概率的關(guān)系,利用接收概率(5),容易得到曲線滿足下式

        2.3 平均試驗(yàn)時(shí)間

        對(duì)于序貫試驗(yàn)方案,試驗(yàn)結(jié)束有兩種方式:接收和拒收。根據(jù)兩種結(jié)束方式,分別獲得平均試驗(yàn)時(shí)間。

        2.3.1 產(chǎn)品接收時(shí)平均試驗(yàn)時(shí)間

        根據(jù)序貫試驗(yàn)方案的判決準(zhǔn)則,對(duì)產(chǎn)品作出接收判決只能在判決時(shí)刻,因此,利用式(4),能夠得到產(chǎn)品接收時(shí)的平均試驗(yàn)時(shí)間ETTa滿足下式

        2.3.2 產(chǎn)品拒收時(shí)平均試驗(yàn)時(shí)間

        由于產(chǎn)品故障發(fā)生的隨機(jī)性,產(chǎn)品能夠在任意時(shí)刻發(fā)生故障,當(dāng)產(chǎn)品故障次數(shù)滿足對(duì)應(yīng)的拒收故障次數(shù)時(shí),試驗(yàn)會(huì)因?yàn)榫苁斩Y(jié)束,因此,利用式(6),能夠得到產(chǎn)品拒收時(shí)的平均試驗(yàn)時(shí)間ETTr滿足下式

        綜上,得到序貫試驗(yàn)方案的平均試驗(yàn)時(shí)間滿足下式

        3 算例分析

        本節(jié)以GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》規(guī)定的序貫試驗(yàn)方案6 為例,給出本文方法的處理過程和結(jié)果,以進(jìn)一步說明方法的可行性。

        序貫試驗(yàn)方案6 針對(duì)鑒別比d=3(即θ0=3θ1)和雙方風(fēng)險(xiǎn)α=β=0.2 的產(chǎn)品進(jìn)行考核,判決準(zhǔn)則具體內(nèi)容如表3 所示。

        表3 方案6 接收-拒收判決標(biāo)準(zhǔn)

        3.1 判決時(shí)刻表

        利用表3,構(gòu)造對(duì)應(yīng)的判決時(shí)刻表,具體如表4所示。

        表4 方案6 判決時(shí)刻表

        3.2 接收- 拒收概率

        由表4 可知,接收時(shí)刻共有3 個(gè),利用式(4),得到不同時(shí)刻接收概率為

        拒收時(shí)刻共有4 個(gè),利用式(6),得到不同時(shí)刻拒收概率為

        3.3 雙方風(fēng)險(xiǎn)

        利用式(8),能夠得到方案6 所對(duì)應(yīng)的雙方風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際值,具體為

        雙方風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際值與標(biāo)準(zhǔn)[4]給出的數(shù)值較為相近。

        3.4 OC 曲線

        利用式(9),能夠得到產(chǎn)品平均故障間隔時(shí)間真值與接收概率之間的關(guān)系(即OC 曲線),具體如圖1 所示。

        圖1 方案6 的OC 曲線

        該曲線與標(biāo)準(zhǔn)[4]給出的OC 曲線較為吻合,并反映了產(chǎn)品平均故障間隔時(shí)間真值越高,接收概率越大的規(guī)律。

        3.5 平均試驗(yàn)時(shí)間

        利用式(12),能夠得到方案6 的平均試驗(yàn)時(shí)間,具體為ETT=2.581θ1。該值與文獻(xiàn)[9]給出的數(shù)值較為相近,進(jìn)一步說明方法的準(zhǔn)確性。

        3.6 與標(biāo)準(zhǔn)型定時(shí)截尾方案的比較

        針對(duì)該產(chǎn)品,GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》規(guī)定的方案17(標(biāo)準(zhǔn)型定時(shí)截尾方案)同樣可以進(jìn)行考核。由于采取定時(shí)截尾,方案17 對(duì)應(yīng)的平均試驗(yàn)時(shí)間為4.3θ1,顯然,要高于方案6 的平均試驗(yàn)時(shí)間2.581θ1。這說明相比標(biāo)準(zhǔn)型定時(shí)截尾方案,序貫截尾試驗(yàn)方案具有作出判決需要平均試驗(yàn)時(shí)間較短的優(yōu)點(diǎn)。

        綜上,本節(jié)通過對(duì)實(shí)際方案進(jìn)行計(jì)算分析,驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性,并從理論上對(duì)序貫試驗(yàn)方案的工程優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行了驗(yàn)證和解釋,有利于工程人員對(duì)序貫試驗(yàn)方案的理解,使試驗(yàn)組織實(shí)施更加有序。

        4 結(jié)論

        本文對(duì)壽命型產(chǎn)品序貫試驗(yàn)方案基礎(chǔ)模型進(jìn)行了研究,取得了以下結(jié)論:1)建立了序貫試驗(yàn)方案不同判決時(shí)刻的接收- 拒收概率解析模型,并將其推廣到一般情況,有助于準(zhǔn)確掌握序貫試驗(yàn)方案的確定過程,為理解其內(nèi)涵奠定了基礎(chǔ);2)給出了序貫試驗(yàn)方案特征量(雙方風(fēng)險(xiǎn)、OC 曲線和平均試驗(yàn)時(shí)間)的解析表達(dá)式,為理解其特點(diǎn)和適用范圍提供了理論支撐;3)通過算例分析,驗(yàn)證了本文模型的正確性,并與定時(shí)截尾方案進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)一步說明了序貫試驗(yàn)方案的工程優(yōu)點(diǎn)。

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