王凌

摘要：在“分數(shù)的初步認識”第二個階段的學習中，學生要把一些物體看作一個整體平均分成若干份，知道其中的一份或幾份可以用怎樣的分數(shù)表示。這時，由于整數(shù)視角與分數(shù)視角的混用，學生會把平均分的份數(shù)與每份的個數(shù)、整體的個數(shù)糾纏在一起，從而引發(fā)錯誤。對此，教師在教學中，不能只關(guān)注整體（單位“1”）和平均分的份數(shù)，同時也要關(guān)注整體的個數(shù)和每份的個數(shù);進而，引導學生通過比較發(fā)現(xiàn)同一對象的兩種表示方式，在比較的過程中達成認知平衡，即認識率與量的對應關(guān)系。

關(guān)鍵詞：分數(shù)的初步認識;整數(shù)視角;分數(shù)視角

三年級學生學習“分數(shù)的初步認識”時，通常要經(jīng)歷兩個階段：第一個階段，把一個物體或一個圖形平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分數(shù)表示;第二個階段，把一些物體看作一個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分數(shù)表示。

在多年的聽課過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，學生在第二個階段的學習中，經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯誤：用24或28表示圖1中的涂色部分。即便教師反復強調(diào)平均分的份數(shù)與涂色部分所表示的份數(shù)，這樣的錯誤也還是反復出現(xiàn)。

為什么學生會出現(xiàn)這樣的錯誤呢？筆者嘗試基于學生的已有經(jīng)驗做出分析。

在學習分數(shù)之前，學生都是用整數(shù)表示生活中物體的個數(shù)，即表示具體的量的多少的。他們看到2個蘋果時會自動想到“2”，看到5個皮球時會自動想到“5”。此外，學生也會用整數(shù)表示兩種量的倍數(shù)關(guān)系。這時，他們眼中看到的是兩種量，腦中有著明確的比較意識，因而，知道所用的整數(shù)與用于表示物體個數(shù)的整數(shù)在意義上是不同的。通常來說，學生更擅長用整數(shù)表示物體的個數(shù)。我們不妨稱之為兒童認識世界的整數(shù)視角。

在“分數(shù)的初步認識”第一階段的學習中，學生通常是根據(jù)部分與整體之間的關(guān)系認識分數(shù)的，即通過比率的倍數(shù)關(guān)系理解分數(shù)。比如，蘇教版小學數(shù)學教材引導學生把一個蛋糕平均分成2份，知道每一份是它的12，這里的12反映的是1份與整體之間的關(guān)系。當然，分數(shù)也可以表示量，如一個蛋糕的12就是12個蛋糕。但是，這像繞口令一樣的描述，并不能讓三年級學生區(qū)分出其中的不同，反而會讓他們愈發(fā)迷茫。因此，教材在這里并不突出分數(shù)意義中量的屬性，而是通過平均分的份數(shù)與要表示的份數(shù)之間的關(guān)系，讓學生初步理解分數(shù)。這樣的安排在“分數(shù)的初步認識”第一階段的學習中，不會對學生產(chǎn)生干擾，因為這一階段學習的都是將一個物體（圖形）平均分成若干份，其中的1份或幾份既是這個物體（圖形）的幾分之一或幾分之幾，又是幾分之一或幾分之幾個這個物體（圖形）。這時，學生不需要具體地區(qū)分所寫的分數(shù)究竟是表示倍數(shù)關(guān)系的分率還是表示具體的量的數(shù)值，因為寫出的分數(shù)是同一個分數(shù)。

但在“分數(shù)的初步認識”第二階段的學習中，情況發(fā)生了變化：表示1份的分數(shù)與這1份中物體的個數(shù)不相等了。比如，蘇教版小學數(shù)學教材引導學生把一盤（6個）桃平均分成2份，知道每一份是這盤桃的12，但學生同時也知道每一份有3個桃。這樣，觀察同樣的對象就有了不同的視角，會得到不同的結(jié)果：（1）整數(shù)視角，即6÷2=3（個）桃;（2）分數(shù)視角，即部分與整體之間關(guān)系的視角，也就是把一盤桃平均分成2份，每一份是這盤桃的12。正是同一對象的兩種觀察視角和觀察結(jié)果，導致學生的認知沖突，進而導致上述用分數(shù)表示時的錯誤。具體來說，用24表示的原因在于：等分的份數(shù)是4份，1份中有2個。也就是說，觀察1份時，整數(shù)視角在發(fā)生作用，看到了其中的2個。用28表示的原因在于：整體中有8個，1份中有2個。也就是說，觀察整體與觀察1份時，整數(shù)視角都在發(fā)生作用?？梢钥闯?，整數(shù)視角的干擾，讓學生在用分數(shù)表示時，把平均分的份數(shù)與每份的個數(shù)、整體的個數(shù)糾纏在了一起，引發(fā)了錯誤。

那么，教師在教學中如何應對這樣的錯誤呢？

從根本上說，就是不能只關(guān)注整體（單位“1”）和平均分的份數(shù)，同時也要關(guān)注整體的個數(shù)和每份的個數(shù);進而，引導學生通過比較發(fā)現(xiàn)同一對象的兩種表示方式，在比較的過程中達成認知平衡，即認識率與量的對應關(guān)系。

具體來說，可以設(shè)計表1，引導學生逐步填寫、不斷比較，并重點觀察每份的個數(shù)與每份表示的分數(shù)，從而體會到雖然平均分后每份的個數(shù)是客觀存在的，但是用分數(shù)表示時“論份不論個”，即不管有多少個桃，只要是1份，就是這盤桃的幾分之一。

參考文獻：

[1] 楊凱.數(shù)學教學要克服前攝抑制——《分數(shù)的意義》教學嘗試與改進[J].教育研究與評論（課堂觀察），2018（4）.