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        線性方程組解的幾何意義與矩陣秩的聯(lián)系

        2021-04-30 11:35:20柱,盧
        黑龍江科學(xué) 2021年7期

        羅 柱,盧 藝

        (廣東東軟學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)院,廣東 佛山 528225)

        0 引言

        線性方程組是線性代數(shù)課程中一個(gè)重要內(nèi)容,它在實(shí)際應(yīng)用中有著重要作用,例如,穩(wěn)態(tài)電路中的核心方程基爾霍夫方程、計(jì)算信號(hào)流圖傳遞函數(shù)公式、網(wǎng)絡(luò)流等,它們本質(zhì)上是解線性方程組。解線性方程組都是基于重要的理論——線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理。三元一次線性方程組有著明顯的幾何背景,現(xiàn)大部分文獻(xiàn)資料都是直接描述其解的幾何含義,但未證明線性方程組解的幾何含義與其解的判定條件之間的理論聯(lián)系。本研究借助MATLAB軟件直觀展示線性方程組解的幾何意義,從理論上證明線性方程組解的幾何含義與解的判定條件之間的聯(lián)系。

        1 預(yù)備知識(shí)

        設(shè)三元一次線性方程組為

        (1)

        記,

        α1=(a11,a21,a31)T,α2=(a12,a22,a32)T,

        α3=(a13,a23,a33)T

        定義1m×n矩陣A的所有非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣A的秩。

        引理1 設(shè)兩平面方程為

        π1:A1x+B1y+C1z+D1=0

        π2:A2x+B2y+C2z+D2=0’

        (i)兩平面相交的充要條件是

        A1:B1:C1≠A2:B2:C2;

        (ii)兩平面平行的充要條件是

        (iii)兩平面重合的充要條件是

        2 相關(guān)結(jié)論

        線性方程組(1)的每一個(gè)方程表示三維空間中的一個(gè)平面,如果第二個(gè)方程與第一個(gè)方程聯(lián)立,得到一個(gè)方程組,如有解,其解是維數(shù)小一維的直線,第三個(gè)方程也一樣。這就生成兩條新的直線,若這兩條直線相交于一點(diǎn),則方程組有唯一解。換句話說,三個(gè)平面相交于一點(diǎn)時(shí),則線性方程組(1)有唯一解。下面借助于MATLAB,在二維平面中展示三元一次線性方程組解的其他情況。

        注:每一條直線代表的是一個(gè)平面,每個(gè)交點(diǎn)代表的是一條直線。 圖1

        由圖1可知,1、3顯示若兩平面的交線在另一平面外,它們所對(duì)應(yīng)的線性方程組無解;2顯示無交線在第三個(gè)平面上,它所對(duì)應(yīng)的線性方程組無解;4顯示兩平面的交線在第三個(gè)平面上,所對(duì)應(yīng)的線性方程組有無窮多解。

        從直線與平面位置關(guān)系研究線性方程組解的幾何實(shí)驗(yàn)課含義與解的判定條件之間的聯(lián)系。

        設(shè)直線L方程為

        (2)

        若a11:a12:a13≠a21:a22:a23,則直線(2)可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程

        (3)

        其中,

        又設(shè)平面方程為

        π3:a31x+a32y+a33z=b3

        (4)

        定理1 直線(3)與平面(4)的相互位置關(guān)系有下面的充要條件:

        (i)相交:r(A)=3;

        (ii)平行:r(A)=2,r(B)=3;

        (iii)直線在平面上:r(A)=r(B)=2

        證明 注意到,2≤r(A)≤3,令

        聯(lián)立(4)化簡得

        |D||A|t=|C|-|A|z0

        (5)

        這是一個(gè)關(guān)于t的一元一次方程。

        (i)若|A|≠0時(shí),此時(shí),方程(5)有唯一解,即直線與平面有唯一的交點(diǎn)。因此,當(dāng)r(A)=3時(shí),直線與平面相交;

        (ii)若|A|=0,|C|≠0時(shí),由于|C|≠0,則|B|有一個(gè)非零的三階子式,即r(B)=3,此時(shí)方程(5)無解,即直線與平面無交點(diǎn),也就是直線平行于平面。因此,當(dāng)r(B)=3,r(A)=2時(shí),直線與平面平行;

        (iii)若|A|=0,|C|=0時(shí),則α1,α2,α3線性相關(guān),α1,α2,b也線性相關(guān),則

        r(α1,α2,α3,b)=r(α1,α2)=r(α1,α2,α3)=2

        此時(shí),方程(5)有無窮多解,即直線在平面上。因此,當(dāng)r(A)=r(B)=2時(shí),直線在平面上。

        注:1.上面的證明過程是可逆的。2.根據(jù)上面的定理,從幾何背景上判斷線性方程組(1)解的情況只需看直線與平面的位置關(guān)系:當(dāng)直線與平面相交時(shí),線性方程組(1)有唯一解;當(dāng)直線在平面外時(shí),線性方程組(1)無解;當(dāng)直線在平面上時(shí),線性方程組(1)有無窮多解。

        命題1 三平面重合的充要條件是

        r(A)=r(B)=1

        命題2 三平面平行但不全重合的充要條件是

        r(A)=1,r(B)≠1

        注:1.命題1、命題2可直接由引理1得到。2.命題1可以看成是無窮多條直線在平面上;命題2可以看成是無直線在平面上。

        設(shè)三元一次線性方程組為

        (6)

        推論1 (i)線性方程組(6)有唯一解的充要條件是(6)中的m個(gè)方程所表示的平面相交于一點(diǎn);

        (ii)線性方程組(6)有無窮多解的充要條件是(6)中的m個(gè)方程所表示的m個(gè)平面重合或相交于一條直線;

        (iii)線性方程組(6)無解,充要條件是(6)中的m個(gè)方程所表示m個(gè)平面既不相交于一點(diǎn)也不重合、相交于一條直線。

        證明 從線性方程組解的形式與直線、平面方程可得出結(jié)論,這里不再證明。

        注:從定理1、命題1、命題2以及推論1的結(jié)論中也可以看出三元一次線性方程組解的結(jié)構(gòu)形式:如果是平面重合,其解中含有兩個(gè)自由變量,即其解的表達(dá)式實(shí)際上是一個(gè)平面方程;如果是平面相交于一條直線,其解中含有一個(gè)自由變量,即其解的表達(dá)式實(shí)際上是一條直線方程。

        3 應(yīng)用

        例1 設(shè)有三張不同的平面,其方程為aix+biy+ciz=di(i=1,2,3),它們組成的系數(shù)矩陣及增廣矩陣的秩都為2,則三張平面可能的位置關(guān)系為( )。(2002年數(shù)一)

        解 由于系數(shù)矩陣及增廣矩陣的秩都為2,則方程組有無窮多解,根據(jù)定理1,應(yīng)是兩平面相交成的直線在第三個(gè)平面上,滿足這個(gè)要求的只有B。

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