劉永明,付 磊,趙帥帥,趙轉(zhuǎn)哲,2,張 振,2
(1.安徽工程大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 蕪湖 241000;2.安徽工程大學(xué) 人機(jī)自然交互和高效協(xié)同技術(shù)研究中心安徽省新型研發(fā)機(jī)構(gòu),安徽 蕪湖 241000;3.安徽省智能機(jī)器人信息融合與控制工程實驗室,安徽 蕪湖 241002)
伸縮臂驅(qū)動方式主要有液壓驅(qū)動和電力驅(qū)動[1-2]。液壓驅(qū)動伸縮臂主要有油缸繩排系統(tǒng)和多油缸系統(tǒng),其優(yōu)點在于驅(qū)動力較大、可以獲得較好的直線運(yùn)動,但是液壓系統(tǒng)較復(fù)雜,使得伸縮臂體積和質(zhì)量較大,穩(wěn)定性較差。電力驅(qū)動伸縮臂主要有齒輪齒條式和鏈條式,雖然電力驅(qū)動系統(tǒng)簡單、調(diào)速性能穩(wěn)定,可以有效的減輕伸縮機(jī)構(gòu)的質(zhì)量,但齒輪齒條和鏈條在長距離傳動時穩(wěn)定性較差。
針對伸縮臂輕量化問題,大多學(xué)者主要從伸縮臂結(jié)構(gòu)尺寸方面進(jìn)行優(yōu)化[3-12]。李熊[3]等對伸縮臂截面進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化研究,確定了最佳截面尺寸;王一[4]等采用梯度尋優(yōu)法,在ANSYS優(yōu)化模塊中以截面尺寸為設(shè)計變量,整體質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù),對伸縮臂截面進(jìn)行優(yōu)化;程鵬[5]等應(yīng)用ANSYS優(yōu)化工具箱,使用零階方法和一階方法,確定基本臂截面最佳尺寸;陳俊明[6]等建立了伸縮臂優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,采用改進(jìn)的粒子群算法對模型進(jìn)行計算,尋求截面面積的最小值;Chen[7]等以截面尺寸和整體結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計變量,伸縮臂總重量為目標(biāo)函數(shù),在ANSYS中采用零階方法得到伸縮臂最小質(zhì)量;Ji[8]等采用協(xié)同優(yōu)化方法解決伸縮臂結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度和局部穩(wěn)定性問題,有效地減小了伸縮臂重量。
隨著繩驅(qū)動技術(shù)的發(fā)展,繩索滑輪系統(tǒng)在機(jī)械傳動中得到廣泛應(yīng)用。結(jié)合液壓驅(qū)動和電力驅(qū)動的優(yōu)缺點,本文在油缸繩排伸縮臂的基礎(chǔ)上,設(shè)計一種電力驅(qū)動四繩排伸縮臂。通過ADAMS運(yùn)動仿真分析,驗證伸縮臂的運(yùn)動穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上,將繩索模型簡化為無質(zhì)量的彈簧模型,并引入摩擦項,建立伸縮機(jī)構(gòu)驅(qū)動單元的動力學(xué)精確模型。伯德圖分析表明,在角頻率ω0=324處,伸縮臂系統(tǒng)存在諧振情況,通過雙T網(wǎng)絡(luò)和比例環(huán)節(jié)對系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行校正。
繩驅(qū)動伸縮臂三維模型如圖1所示,伸出過程為:電機(jī)帶動絞車11順時針轉(zhuǎn)動通過滑輪6回收繩索7,同時電機(jī)帶動絞車10順時針轉(zhuǎn)動通過滑輪9緩慢放松繩索8,此時繩索7的張力帶動二節(jié)臂伸出;滑輪4固定在二節(jié)臂上,隨著二節(jié)臂的伸出,滑輪4將帶動繩索5運(yùn)動,從而繩索5上的張力帶動三節(jié)臂伸出。至此,伸縮機(jī)構(gòu)的伸出運(yùn)動完成。
1-基本臂;2-二節(jié)臂;3-三節(jié)臂;4-滑輪;5-繩索;6-滑輪;7-繩索;8-繩索;9-滑輪;10-絞車;11-絞車;12-滑輪;13-繩索
由圖1可知,各節(jié)臂長度分別為2000mm、1800mm和1700mm,未伸出時伸縮機(jī)構(gòu)長2500mm,完全伸出時長4100mm,即二節(jié)臂和三節(jié)臂在繩驅(qū)動下最大行程為800mm。
將伸縮臂三維模型導(dǎo)入ADAMS軟件中,建立伸出過程繩索模塊,設(shè)置驅(qū)動函數(shù)為:
STEP5(time,0,0,2,2.08)+STEP5(time,2,0,8,0)+STEP5(time,8,0,10,-2.08)
(1)
三節(jié)臂運(yùn)動曲線如圖2所示,由位移曲線可知,絞車初始加速階段三節(jié)臂位移增量較小,絞車達(dá)到最大轉(zhuǎn)速時,三節(jié)臂位移直線增加,位移曲線光滑無突變。由速度曲線可知,0~2s內(nèi),三節(jié)臂速度增加至最大,為101.39mm/s;2~8s內(nèi),三節(jié)臂以最大速度保持勻速運(yùn)動;8~10s內(nèi),三節(jié)臂速度減速為零,速度曲線較平整。由加速度曲線可知,因繩索存在預(yù)緊力,在初始狀態(tài)三節(jié)臂加速度較大,極短時間內(nèi)加速度開始趨于穩(wěn)定值。綜上所述,三節(jié)臂位移曲線和速度曲線平滑,加速度存在有限突變,三節(jié)臂在運(yùn)動起始存在柔性沖擊。
(a)位移曲線
在建立繩驅(qū)動伸縮臂動力學(xué)模型之前,首先對模型做如下假設(shè)。
(1)忽略繩索的質(zhì)量特性;
(2)繩索力學(xué)特性假設(shè)為彈簧模型,忽略阻尼特征;
(3)繩索、卷筒、滑輪等之間無相對滑動。
根據(jù)以上假設(shè),以絞車順時針旋轉(zhuǎn)方向(伸出運(yùn)動方向)為正方向,則二節(jié)臂、三節(jié)臂伸出運(yùn)動驅(qū)動單元簡化原理圖如圖3所示。
圖3 伸縮臂運(yùn)動原理簡化圖
其中,J1、J2和J3分別為絞車11、滑輪6和滑輪4的轉(zhuǎn)動慣量;二節(jié)臂和三節(jié)臂質(zhì)量分別為m1、m2;Fi為繩索(彈簧)i所受彈力,ki為對應(yīng)的彈性系數(shù);Ff 1、Ff 2分別為二節(jié)臂和三節(jié)臂與地面摩擦力;Fη1、Fη2分別為二節(jié)臂和三節(jié)臂與地面等效阻尼力。
設(shè)各繩索i左端位移為xi1,右端位移為xi2,則各位移關(guān)系為:
x12=x22,x21=x32=x42,x41=0
(2)
Fi為繩索i的彈力(i=1,2,3),繩索伸長方向為正,則各彈力可記為如下形式:
Fi=ki(xi1-xi2)
(3)
記二節(jié)臂和三節(jié)臂與地面的摩擦系數(shù)為μ,則其與地面的摩擦力為:
Ff 1=μm1g
(4)
Ff2=μm2g
(5)
同時,記二節(jié)臂和三節(jié)臂與地面的等效阻尼系數(shù)為η1,η2,則其與地面的等效阻尼力為:
(6)
(7)
對于驅(qū)動單元的動力學(xué)模型可以分為絞車-繩索、滑輪-繩索、三節(jié)臂、二節(jié)臂四部分,下面分別對這四部分進(jìn)行分析。
將絞車11轉(zhuǎn)動慣量記為J1,設(shè)輸入的轉(zhuǎn)矩為T(t)(電動機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩),絞車11的等效半徑為R1,角位移為θ1,可得:
(8)
絞車11角位移所對弧長與繩索1左端點位移相等,根據(jù)弧長公式有:
(9)
對式(9)進(jìn)行拉普拉斯變換可得:
(10)
為方便書寫,將X11(s)簡記為X11,其余各彈簧位移的拉普拉斯變換記法類似。
對式(8)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換,并將式(10)帶入可得:
(11)
對于滑輪6,其轉(zhuǎn)動慣量為J2,半徑為R2,角位移為θ2,則可得方程:
(12)
滑輪6角位移所對弧長與繩索1右端點和繩索2右端點位移相等,經(jīng)過拉普拉斯變換有:
(13)
對式(12)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換變換,化簡后可得:
(14)
對于固定在二節(jié)臂上的滑輪4,其轉(zhuǎn)動慣量為J3,半徑記為R3,定滑輪的角位移為θ3,則可得方程:
(15)
滑輪4角位移所對弧長與繩索3右端點和繩索4右端點位移相等,經(jīng)過拉普拉斯變換有:
(16)
對式(15)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換,并將x41=0帶入,化簡后可得:
(17)
以三節(jié)臂為研究對象,并設(shè)三節(jié)臂伸出運(yùn)動方向為正方向,三節(jié)臂受繩索5的拉力、摩擦力及等效阻尼力,則三節(jié)臂動力學(xué)模型為:
(18)
將F3、Ff2、Fη2帶入上式可得:
(19)
將式(19)兩邊同時進(jìn)行拉普拉斯變換,化簡可得:
(20)
將式(17)和式(20)對比可得X32為:
(21)
將式(21)代入式(17)可得:
(22)
式(21)和(22)中,負(fù)號表示位移方向與假設(shè)方向相反。
以二節(jié)臂為研究對象,并設(shè)二節(jié)臂伸出運(yùn)動方向為正方向,二節(jié)臂受繩索7的拉力、摩擦力及等效阻尼力,則二節(jié)臂動力學(xué)模型為:
(23)
將F2、F3、F4、Ff1、Fη1帶入式(23)可得:
(24)
將x41=0,x21=x32=x42帶入式(24),并進(jìn)行拉普拉斯變換可得:
(25)
因為X32=X21,根據(jù)式(21)和(22)解得X22、X12為:
(26)
因為X22=X12,根據(jù)式(11)和(26)可得到X21與T(s)的關(guān)系為:
(27)
二節(jié)臂和三節(jié)臂傳遞函數(shù)如式(27)、(26)所示,通過上述推導(dǎo),G1(s)、G2(s)可求。
(28)
(29)
以本文設(shè)計的伸縮臂為例,二節(jié)臂和三節(jié)臂質(zhì)量分別為m1=110.97Kg、m2=92.16Kg;絞車11、滑輪6和滑輪4的半徑分別為R1=55mm、R2=55mm、R3=35mm;由轉(zhuǎn)動慣量公式可得J1=3357.75Kg·mm2,J2=3357.75Kg·mm2,J3=490Kg·mm2;摩擦系數(shù)μ1=μ2=0.01,阻尼系數(shù)η1=η2=600N·s/mm,取彈性系數(shù)k1=k2=k3=k4=0.21×105N/mm。
(30)
三節(jié)臂的傳遞函數(shù)為:
(31)
由二節(jié)臂和三節(jié)臂傳遞函數(shù)可知,該系統(tǒng)的穩(wěn)定性,根據(jù)特征方程根的分布情況決定[13],其特征方程為:
s4+6.5104s3+1.0523×105s2+6.8359×105s+1.1963×107=0
(32)
由式(29)特征方程可知,其勞斯行列式可以寫為如下形式:
(33)
根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的代數(shù)判據(jù)—勞斯判據(jù),該勞斯行列式第一列數(shù)全部為正,沒有符號改變,所以系統(tǒng)穩(wěn)定[14]。
根據(jù)二節(jié)臂和三節(jié)臂傳遞函數(shù),在MATLAB編程環(huán)境下,上述兩個傳遞函數(shù)的伯德圖如圖4所示。
圖4 傳遞函數(shù)伯德圖
由圖4可以看出,該機(jī)械系統(tǒng)在低頻段是穩(wěn)定的,但在角頻率ω0=324處,存在諧振情況,即影響該系統(tǒng)穩(wěn)定性,常見的避免機(jī)械系統(tǒng)諧振方法是提高整機(jī)剛度,減小轉(zhuǎn)動慣量,從而使機(jī)械諧振頻率提高,避免與該系統(tǒng)的固有頻率重合而導(dǎo)致共振發(fā)生,但這勢必增加機(jī)械零部件的加工難度、人為提高設(shè)備成本;另外,就是在系統(tǒng)中增加電子設(shè)備,如陷波器,在一定程度上消去諧振現(xiàn)象。本文以雙T網(wǎng)絡(luò)陷波器為例,進(jìn)行濾波處理,以達(dá)到抑制諧振的目的。
由于傳統(tǒng)的雙T網(wǎng)絡(luò)濾波器只能確定陷波頻率點和對稱調(diào)整寬帶,并且在機(jī)械諧振處的幅值有所衰減[15-18]。為使衰減幅值接近諧振在幅頻特性上引起的上升幅值,文獻(xiàn)[19]對傳統(tǒng)的雙T濾波器進(jìn)行優(yōu)化,改進(jìn)后傳遞函數(shù)為:
(34)
(35)
由文獻(xiàn)[20]可知,為獲得滿意的系統(tǒng)性能指標(biāo),仍需對G1(s)和G2(s)系統(tǒng)再串聯(lián)一個比例環(huán)節(jié),與陷波器一起構(gòu)成校正網(wǎng)絡(luò),根據(jù)實際情況,比例環(huán)節(jié)分別為K1(s)=0.5×107、K2(s)=2.5725×106。因此,G1(s)和G2(s)與校正網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成新的傳遞函數(shù),分別記為G3(s)和G4(s),如下式所示。
G3(s)=G1(s)K1(s)D(s)
(36)
G4(s)=G2(s)K2(s)D(s)
(37)
圖5 改進(jìn)后的傳遞函數(shù)伯德圖
G3(s)和G4(s)伯德圖如圖5所示,由圖中可以看出,諧振峰值已大大減弱,系統(tǒng)的相角裕度γ-180°+(-165°)=15°>0,幅值裕度Kg=|-6.56|=6.56>1,所以該系統(tǒng)穩(wěn)定。
(1)在傳統(tǒng)單缸雙繩排伸縮臂的基礎(chǔ)上,將液壓驅(qū)動改進(jìn)為電機(jī)繩驅(qū)動,并建立繩驅(qū)動伸縮臂三維模型,有效地降低伸縮臂的體積和質(zhì)量。
(2)在三維模型的基礎(chǔ)上,對繩驅(qū)動伸縮臂進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真。由分析結(jié)果可知,三節(jié)臂位移曲線和速度曲線平滑,加速度曲線存在有限突變,伸縮臂運(yùn)動起始和結(jié)束有柔性沖擊,但整體運(yùn)行平穩(wěn)。
(3)以本文所設(shè)計的伸縮臂為例,將繩索模型簡化為無質(zhì)量的彈簧模型,并引入摩擦項,建立伸縮臂驅(qū)動單元的動力學(xué)精確模型,并推導(dǎo)二節(jié)臂和三節(jié)臂傳遞函數(shù)。由勞斯判據(jù)可知,伸縮臂系統(tǒng)整體穩(wěn)定。
(4)由伯德圖分析可知,在角頻率ω0=324處,二節(jié)臂和三節(jié)臂系統(tǒng)存在諧振情況。通過雙T網(wǎng)絡(luò)和比例環(huán)節(jié)對系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行校正,改進(jìn)后的系統(tǒng)諧振峰值已大大減弱。系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度均滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。