倪世緯 羅 蘭 饒品隆

(萬(wàn)年縣水利局，江西 萬(wàn)年 335500)

在水文要素分析中，運(yùn)用理論頻率曲線對(duì)其特征進(jìn)行分析是一種常見的研究手段，其主要的思路為根據(jù)水文要素的樣本數(shù)據(jù)，使用曲線進(jìn)行擬合，使樣本值和理論值之間的誤差盡量最小。以徑流量為例，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其分布規(guī)律進(jìn)行了大量的研究。方彬等[1]概述了枯水徑流量頻率分析的研究進(jìn)展,采用低定量取樣,應(yīng)用負(fù)二項(xiàng)和指數(shù)分布分別擬合低定量系列的年發(fā)生次數(shù)和量級(jí)構(gòu)成混合分布,并與皮爾遜Ⅲ型(P-Ⅲ)分布進(jìn)行比較；孫照東等[2]采用頻率分析法、流量歷時(shí)曲線法分析了黃河部分水文站平均流量的特征；占潤(rùn)進(jìn)[3]根據(jù)賽江干流白塔站長(zhǎng)系列徑流資料，采用累計(jì)曲線法、累積平均值曲線法等方法計(jì)算比較枯水流量，提出該地區(qū)生態(tài)用水量的合理取值。應(yīng)針對(duì)不同河流選擇不同的分布模型，常用的頻率分布模型主要有Weibull分布、P-Ⅲ分布、Gumbel分布、廣義極值分布和廣義Pareto分布等。

但是在自然界中，不同河域、不同河流、同一條河流的不同位置，其流量的概率分布情況也不一樣，目前常采用適線法進(jìn)行流量累計(jì)頻率曲線的選型和累計(jì)頻率的計(jì)算，這種方法優(yōu)點(diǎn)在于比較靈活地考慮多種因素對(duì)分布曲線的影響，缺點(diǎn)在于人的主觀性較強(qiáng)，不同的人即使采用同一種分布函數(shù)，得出的結(jié)果可能差異也較大，且計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。

因此，本文提出了一種基于偏態(tài)系數(shù)Cs和峰度系數(shù)Ck相對(duì)關(guān)系的徑流量累計(jì)頻率曲線初步選型的方法，并將此方法選出的曲線與Weibull分布曲線、Gumbel分布曲線和廣義極值分布曲線的擬合優(yōu)劣程度進(jìn)行了對(duì)比，所得成果可為類似工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 頻率分布函數(shù)

1.1 Weibull頻率分布函數(shù)

Weibull頻率分布是瑞典物理學(xué)家威布爾(W.Weibull)在1939年提出的[4]。隨機(jī)變量的分布函數(shù)表達(dá)式為

(1)

式中：ξ為位置參數(shù)；α為尺度參數(shù)；κ為形狀參數(shù)。

在3個(gè)參數(shù)確定下來(lái)之后，Weibull分布的頻率分布函數(shù)也能確定。當(dāng)κ=1時(shí)即為指數(shù)分布函數(shù)。

位置參數(shù)、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)與偏態(tài)系數(shù)Cs和峰度系數(shù)Ck的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

(2)

(3)

1.2 Gumbel頻率分布函數(shù)

Gumbel頻率分布函數(shù)是由耿貝爾(E.J.GUMBEL)于1941年提出[5]，其頻率分布函數(shù)的表達(dá)式為

(4)

相關(guān)參數(shù)的含義與上式一致。

位置參數(shù)、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)與Cs、Ck的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：Cs為固定值1.14，Ck也為固定值5.4。

1.3 廣義極值分布函數(shù)

廣義極值分布(簡(jiǎn)稱GEV分布)的表達(dá)式為

(5)

相關(guān)參數(shù)的含義與上式一致[6]。

位置參數(shù)、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)與Cs、Ck的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

(6)

(7)

1.4 廣義Pareto分布函數(shù)

廣義Pareto分布(簡(jiǎn)稱GP分布)函數(shù)是專門用于描述超過(guò)某一閾值的所有數(shù)據(jù)資料的概率分布函數(shù)[7]，其隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)為

(8)

該分布函數(shù)的位置參數(shù)、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)與Cs和Ck的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

(9)

(10)

2 頻率曲線的初步選型和參數(shù)估計(jì)方法

2.1 頻率曲線的選型

本文通過(guò)分析樣本的偏態(tài)系數(shù)Cs和峰度系數(shù)Ck，提出一種快速進(jìn)行初步選型的新方法，過(guò)程為：首先通過(guò)4種分布函數(shù)的Cs和Ck的公式計(jì)算并繪制分布函數(shù)的Cs-Ck的關(guān)系曲線；然后計(jì)算出徑流量樣本的Cs與Ck的數(shù)值，并將其繪制到上述Cs-Ck曲線圖中；最后選擇與樣本點(diǎn)距離最近的理論分布曲線作為擬合曲線。

該方法的物理含義：偏態(tài)系數(shù)Cs反映樣本的對(duì)稱性，峰度系數(shù)Ck是反映樣本頻率分布曲線頂端尖峭或扁平程度的指標(biāo)，當(dāng)理論分布曲線能較好地?cái)M合出樣本的對(duì)稱性和頻率曲線的扁平程度時(shí)，該理論分布曲線與樣本的吻合較好。

2.2 參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)的方法主要有矩估計(jì)法和線性矩估計(jì)法，矩估計(jì)法是利用樣本矩與總體矩的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，線性矩估計(jì)法是利用樣本線性矩與總體線性矩的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，本文選擇利用樣本的矩估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

3 計(jì)算實(shí)例

3.1 基本資料

本文以江西省萬(wàn)年縣荷塘水文站長(zhǎng)序列(1978—2011年)的徑流量參數(shù)為統(tǒng)計(jì)樣本。荷塘水文站位于饒河水系昌江一級(jí)支流荷塘水中上游，鄱陽(yáng)縣荷塘墾殖場(chǎng)路家?guī)X村，控制流域面積16.3km2。荷塘水文站于1978年1月設(shè)立并開始觀測(cè)，該徑流量樣本均已按規(guī)范要求整編，資料精度可靠，代表性較好。實(shí)測(cè)資料中包含了1993年、1998年等豐水年，1997年、2008年等平水年，1979年、2007年等枯水年，這些典型年在該地區(qū)水文系列年中具有一定的代表性。實(shí)測(cè)資料長(zhǎng)達(dá)34年，也具有較高的代表性，能夠反映該位置處徑流的特點(diǎn)。

3.2 樣本的累計(jì)頻率計(jì)算

樣本的累計(jì)頻率計(jì)算公式為

(11)

式中：m為將樣本從大到小進(jìn)行排序的編號(hào)；n為樣本的個(gè)數(shù)；P為每個(gè)樣本值所對(duì)應(yīng)的累計(jì)頻率值。

將計(jì)算得到的每個(gè)樣本值對(duì)應(yīng)的P繪制到概率格紙中，即可得到樣本的累計(jì)頻率分布散點(diǎn)圖。

3.3 年徑流量累計(jì)頻率分布曲線的初步選型

年徑流量分布曲線以年徑流量為橫坐標(biāo)，累計(jì)頻率為縱坐標(biāo)，從而反映出研究區(qū)域不同頻率所對(duì)應(yīng)的年徑流量的大小。

本文以實(shí)測(cè)的34年的荷塘水文站的年徑流量數(shù)據(jù)為樣本，首先計(jì)算常見的4種分布函數(shù)的Cs與Ck的關(guān)系，繪制Cs-Ck的關(guān)系曲線；然后計(jì)算出樣本的Cs與Ck的數(shù)值，并將其繪制到Cs-Ck曲線圖中；最后選擇與樣本點(diǎn)距離最近的理論分布曲線作為擬合曲線。根據(jù)34年的實(shí)測(cè)資料，可得年徑流量的時(shí)間過(guò)程線，期間年最大徑流量為1608m3(1993年),年最小徑流量為356.4m3(2007年),年平均徑流量為915.2m3，見圖1。

圖1 1978—2011年年徑流量過(guò)程

基于分布函數(shù)的Cs和Ck公式，計(jì)算得到4種分布函數(shù)的Cs與Ck的關(guān)系曲線以及樣本點(diǎn)的Cs、Ck值，見圖2。

圖2 偏態(tài)系數(shù)Cs和峰度系數(shù)Ck的關(guān)系曲線(樣本+4種分布函數(shù))

由圖2可知，樣本點(diǎn)距離GP分布曲線最近，而其與3種分布距離樣本點(diǎn)較遠(yuǎn)，這說(shuō)明GP分布曲線能夠較好地模擬出樣本的對(duì)稱性和樣本頻率分布曲線頂端的扁平程度。

4 曲線擬合的誤差判斷標(biāo)準(zhǔn)

曲線擬合的準(zhǔn)則為照顧點(diǎn)群的趨勢(shì)，盡量使曲線通過(guò)點(diǎn)群中心。為了定量比較不同分布函數(shù)的擬合效果，對(duì)擬合的結(jié)果進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，K-S檢驗(yàn)是以兩位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kolmogorov和Smirnov的名字命名的,它是一個(gè)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)[8]。K-S檢驗(yàn)通過(guò)對(duì)兩個(gè)分布之間的差異進(jìn)行分析,判斷樣本的觀察結(jié)果是否有顯著性差異。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

z=Max|Fn(x)-F(x)|

(12)

式中：F(x)為理論的頻率；Fn(x)為樣本的頻率。

根據(jù)荷塘水文站34年的年徑流量數(shù)據(jù)，采用4種分布曲線，使用矩估計(jì)法繪制得到累計(jì)頻率分布曲線(見圖3)。由圖3可知，4種分布曲線在中部的擬合結(jié)果都較好，但是在頂端擬合效果相差較大，由于GP分布曲線在頂端穿過(guò)了點(diǎn)群中心，因而能更加準(zhǔn)確反映徑流量的大值，擬合效果最好。

圖3 4種分布函數(shù)擬合結(jié)果

對(duì)4種分布曲線的擬合結(jié)果進(jìn)行定量比較，4種分布對(duì)應(yīng)的頻率以及K-S檢驗(yàn)結(jié)果見表1。

表1 4種分布對(duì)應(yīng)的頻率以及K-S檢驗(yàn)結(jié)果

綜合分析頻率分布曲線和計(jì)算得到的頻率結(jié)果可知，對(duì)于荷塘水文站的徑流量擬合，采用GP分布曲線效果最好。

從數(shù)學(xué)意義上分析GP分布曲線擬合效果最優(yōu)的原因：因?yàn)镚P分布能模擬出與樣本的偏態(tài)系數(shù)Cs和峰度系數(shù)Ck，從而可以較好地反映樣本的頂部特征，從而擬合效果最好。

5 結(jié) 語(yǔ)

在水利工程設(shè)計(jì)中，往往涉及對(duì)工程地區(qū)河流徑流量的累計(jì)頻率分析，目前常用的方法是使用理論分布曲線進(jìn)行適線得到工程所在區(qū)域的徑流量重現(xiàn)期分布曲線，這種方法既有優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)。本文通過(guò)分析荷塘水文站多年連續(xù)的徑流量樣本的偏態(tài)系數(shù)和峰度系數(shù)，提出了對(duì)樣本進(jìn)行快速初步選型的新方法，并將該方法選擇出的分布曲線與Weibull分布、Gumbel分布和廣義極值分布曲線得到的擬合結(jié)果進(jìn)行定性和定量的擬合誤差分析，擬合結(jié)果充分表明：采用GP分布曲線對(duì)荷塘水文站徑流量的擬合效果最好。