郭鐵梁 李志軍 張文祥

(梧州學(xué)院電子與信息工程學(xué)院 梧州 543002)

0 引言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)技術(shù)能夠有效抑制水聲信道較為嚴(yán)重的多徑效應(yīng)，所以這種技術(shù)被廣泛地應(yīng)用于水聲通信系統(tǒng)中。由于OFDM 信號會出現(xiàn)信號瞬時功率峰值遠(yuǎn)大于平均功率值的高峰均比(Peak to average power ratio, PAPR)現(xiàn)象，這種高PAPR不但會使系統(tǒng)的性能下降，而且會降低功率放大器(High-power amplifier, HPA)等硬件設(shè)備的工作效率，尤其對于多數(shù)采用電池供電的水下通信移動設(shè)備來說，過高的PAPR 會產(chǎn)生較大的能量供應(yīng)問題[1]。另外，最小二乘(Least square, LS)信道估計方法因其較小的運算量得到關(guān)注，但由于這種算法受噪聲影響較大，所以制約了這種方法的廣泛應(yīng)用，特別對于高噪聲的水下通信環(huán)境，LS 算法的使用受到了更大的限制。目前，研究PAPR 的方法通常包括編碼類、概率類和預(yù)畸變類等，其中人們研究及使用較多的是預(yù)畸變類方法中的限幅法。實踐表明，限幅法對PAPR 具有高效的抑制作用，但由于這種方法是一種非線性操作，所以會引起信號的畸變。通常情況下，限幅法導(dǎo)致的非線性失真可通過相應(yīng)的補(bǔ)償算法得到解決，例如可以通過發(fā)送端編碼，或通過迭代判決輔助重構(gòu)法恢復(fù)原始數(shù)據(jù)，但這些方法大多需要傳送輔助數(shù)據(jù)，以犧牲通信系統(tǒng)有效性為代價[2]。針對傳統(tǒng)限幅方法中存在的上述問題，如將限幅畸變看作一個不同于加性高斯白噪聲的新噪聲，它實際是一種具有稀疏特性的負(fù)脈沖[3]，可稱其為稀疏限幅噪聲，結(jié)合限幅脈沖噪聲數(shù)據(jù)的這種稀疏特性和LS 算法特性，本文提出了一種基于壓縮感知(Compression sensing, CS)技術(shù)的補(bǔ)償PAPR 非線性失真與LS 降噪算法相結(jié)合的優(yōu)化算法，這種方法主要利用導(dǎo)頻數(shù)據(jù)，通過CS 技術(shù)中相應(yīng)算法在接收端進(jìn)行限幅補(bǔ)償，同時對LS信道估計進(jìn)行降噪優(yōu)化計算。

1 系統(tǒng)模型

1.1 CS算法模型

CS 理論的核心問題是求解加權(quán)系數(shù)N ×1 維列向量θ的過程，接收機(jī)可采用適當(dāng)?shù)乃阉魉惴ㄔ讦鹊慕饪臻g獲得最優(yōu)解。主要的優(yōu)化搜索算法有兩類，第一類是基追蹤(Basis pursuit, BP)算法，第二類是正交匹配追蹤(Orthogonal matching pursuit,OMP)算法。考慮重構(gòu)誤差，BP算法可表示[4?6]為

式(1)中，ε表示一個很小的誤差容忍值。

由于BP 算法運算量很大，影響信道估計的實時性(特別對于時變水聲信道)，所以在實際水下環(huán)境中很難得到應(yīng)用。而OMP 算法利用遞歸方式減少迭代次數(shù)，再通過使用多于BP 算法需要的采樣數(shù)目，大幅降低了運算量，所以更適用時變水聲信道[7]。由于本文只是做仿真實驗，所以后面的仿真過程還是利用BP算法得到的。

1.2 OFDM的稀疏限幅噪聲

由于有些OFDM 時域離散信號x(n)的幅值可能超過HPA 的工作范圍，因此在x(n)被送入HPA之前須進(jìn)行限幅處理，經(jīng)限幅之后的數(shù)據(jù)c(n)與原數(shù)據(jù)x(n)之間的差值可表示為

對于整個水聲通信系統(tǒng)來說，式(2)中數(shù)據(jù)i(n)可以看作一種負(fù)的脈沖噪聲，由于x(n)中較大幅值數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率較小，因此這種脈沖噪聲數(shù)據(jù)在時域上具有稀疏特性?；趇(n)的這一特點，可以利用CS 技術(shù)在系統(tǒng)接收端通過相應(yīng)的算法對i(n)加以恢復(fù)，從而對限幅引起的非線性失真加以補(bǔ)償，限幅后的數(shù)據(jù)在接收端的基帶離散信號可表示為

其中，C由h(n)決定，為N ×N維信道循環(huán)矩陣，其作用是將多徑水聲信道的脈沖響應(yīng)與時域信號做卷積運算[8]，y、x、i、g分別表示N ×1 維列矩陣向量。將式(4)兩邊同時進(jìn)行離散傅里葉變換(Discrete Fourier transform, DFT)，進(jìn)而可得到式(4)的頻域表達(dá)：

其中，F(xiàn)表示DFT矩陣，F(xiàn)H表示離散傅里葉逆變換(Inverse discrete Fourier transform,IDFT)矩陣，由式(5)在接收端利用式(6)可得到X的估計值[9]：

2 基于CS理論及導(dǎo)頻數(shù)據(jù)的限幅噪聲補(bǔ)償算法

2.1 基于導(dǎo)頻子載波的限幅噪聲估計

由于在OFDM 系統(tǒng)中有Np個導(dǎo)頻子載波，而導(dǎo)頻子載波處的數(shù)據(jù)在接收端是已知的，所以接收端收到的實際導(dǎo)頻數(shù)據(jù)與已知導(dǎo)頻數(shù)據(jù)的差值就是導(dǎo)頻處的噪聲數(shù)據(jù)，而這個噪聲中包含具有稀疏特性的限幅噪聲和限幅信號經(jīng)過多徑水聲信道之后高斯白噪聲。

設(shè)OFDM 系統(tǒng)中Np個導(dǎo)頻子載波的子載波序號集合用P ={p1,p2,···,pNp}表示，根據(jù)式(5)，接收端導(dǎo)頻子載波上頻域數(shù)據(jù)可表示為

又由式(7)，所以式(8)變?yōu)?/p>

根據(jù)CS理論，定義測量矩陣：

再令ic=Ci，則式(9)變?yōu)?/p>

其中，向量ic表示限幅脈沖稀疏噪聲通過水聲信道之后的時域值，式(11)方程右邊第2 項表示導(dǎo)頻處信道估計產(chǎn)生的誤差。

結(jié)合式(1)和式(11)，可得

利用式(12)，在設(shè)定一個誤差容忍值ε和已知信道響應(yīng)估計初值的前提下就可得到，從而再利用式(6)對限幅所產(chǎn)生的非線性失真進(jìn)行補(bǔ)償?shù)玫?，而誤差容忍值ε的設(shè)定由2.2節(jié)完成。

2.2 基于LS算法的誤差容忍值ε的設(shè)定

首先通過LS 信道估計得到的Np個導(dǎo)頻信道估值,Np?1，再將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行Np點IDFT，得到Np點時域序列：

其中，n= 0,1,2,···,Np?1。然后對式(13)做降噪處理，將Np個響應(yīng)值保留L個有效路徑，其余置“0”，如果信道的時延信息未知，可保留循環(huán)前綴或者通過設(shè)置噪聲門限的方法確定L的值。降噪處理后得到Np點時域序列：

再對hp(n)做Np點的DFT，最后得到降噪后導(dǎo)頻處信道響應(yīng)估值為

其中，Hp、分別表示導(dǎo)頻處Np×1 維信道頻響的真實值及LS 估計值。再令d=Hp?，則式(16)變?yōu)槭絑= diag(Xp)d+Gp，可假設(shè)噪聲Z為均值為0 的多變量正態(tài)分布，其協(xié)方差矩陣可表示為

其中，σ2表示高斯噪聲的方差，可根據(jù)LS 信道估計獲得估值，Rdd表示d的協(xié)方差矩陣，由式(18)計算：

其中，β是常數(shù)，其取值與具體的調(diào)制方式有關(guān)，SNR 表示信噪比，INp表法Np×Np維單位矩陣。RHpHp表示導(dǎo)頻處的Np×Np維信道自相關(guān)矩陣，由于信道自相關(guān)矩陣獲取較為困難，本文在LS算法的基礎(chǔ)上對采用DFT 變換域降噪處理后得到Hp，進(jìn)而得到近似自相關(guān)矩陣RHpHp。由式(17)可計算以下各式：

其中，trace(·)表示對矩陣求跡，RZZ(i,j)表示矩陣RZZ的第i行第j列位置的元素。再由式(19)和式(20)計算∥Z∥22的標(biāo)準(zhǔn)差

根據(jù)概率論知識，∥Z∥22一般情況下滿足[9]

綜上，由式(21)可近似得到誤差容忍值ε：

2.3 信道響應(yīng)及限幅噪聲估計的進(jìn)一步優(yōu)化

由于式(15)信道響應(yīng)估計的初值并沒有考慮限幅噪聲的影響，因而這個信道響應(yīng)還需進(jìn)一步提高精確度，式(6)得到后，可利用接收到的Y和進(jìn)行信道頻響估值的優(yōu)化計算：

綜上所述，可將以上對于稀疏限幅噪聲的估計及消除限幅失真和信道估計優(yōu)化的算法，用一個系統(tǒng)原理圖表示，如圖1所示，可以更加明了本文所提算法的具體流程。

圖1 CS 補(bǔ)償限幅噪聲及信道估計優(yōu)化原理圖Fig.1 Principle diagram of optimizing clipping noise and channel estimation

3 仿真分析

下面通過計算機(jī)仿真驗證上述峰均比非線性失真CS 補(bǔ)償與LS 信道估計相結(jié)合的優(yōu)化算法，由于水聲信道較為復(fù)雜，為了獨立分析新算法的性能，本文的仿真過程首先考慮多徑水聲信道加性高斯白噪聲的作用，然后再考慮多普勒效應(yīng)的影響。系統(tǒng)仿真參數(shù)詳細(xì)說明參見表1[10]，直接限幅PAPR 門限設(shè)為10 dB，調(diào)制方式為8-QAM，星座圖功率歸一化因子β= 9/8。仿真使用單頻正弦信號作為發(fā)射信號，經(jīng)過5條路徑傳播，幅度衰減和相對時延差如表2所示[11]，仿真過程將利用互補(bǔ)累積分布函數(shù)(Complementary cumulative distribution function, CCDF)，誤碼率(Bit errors rate, BER)及星座圖來分析本文優(yōu)化算法的性能。

表1 OFDM 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 OFDM system parameters

首先分析驗證CS 算法對PAPR 非線性失真的補(bǔ)償效果。利用表1、表2中的數(shù)據(jù)，圖2繪出了直接限幅法、壓縮擴(kuò)展法的CCDF 曲線的對比仿真結(jié)果。由于CS 算法主要對直接限幅法的非線性失真進(jìn)行補(bǔ)償，所以在CCDF 曲線上只能用直接限幅的曲線來體現(xiàn)，而CS 算法的補(bǔ)償效果主要體現(xiàn)在圖3中，圖3分別繪出了CS 限幅補(bǔ)償算法、壓縮擴(kuò)展限幅和直接限幅算法的BER 曲線。由于壓縮擴(kuò)展限幅和直接限幅算法不能去除接收端的限幅噪聲，因而使得這兩種方法雖然能保證水下HPA 正常工作，對PAPR 的抑制作用非常有效，但卻不能保證系統(tǒng)的誤碼率性能。從圖3的誤碼率曲線可以看出，CS算法很好地補(bǔ)償了直接限幅的非線性失真，獲得了比壓縮擴(kuò)展法更好的系統(tǒng)性能。

表2 水聲信道多徑幅度衰落和相對時延Table 2 Multipath amplitude fading and relative delay of underwater acoustic channel

圖2 PAPR 限幅算法的CCDF 比較Fig.2 CCDF comparison of PAPR clipping

圖3 PAPR 限幅算法的BER 比較Fig.3 BER comparison of PAPR clipping

另外，為了和其他類別的降低PAPR 的方法相比較，下面將傳統(tǒng)的概率類算法中的選擇性映射(Selected mapping, SLM)法、部分傳輸序列(Partial transmit sequence,PTS)法與直接限幅結(jié)合CS補(bǔ)償算法進(jìn)行CCDF 曲線及BER 曲線的性能對比仿真分析。將SLM 算法中的傳輸序列數(shù)目設(shè)為4，將PTS 算法中的相位加權(quán)系數(shù)(旋轉(zhuǎn)因子)的數(shù)量也設(shè)為4。圖4給出了直接限幅法、SLM算法及PTS算法的CCDF 曲線，如果只考慮對于PAPR 的抑制作用，從圖4中可以看出，PTS 方法要稍好于SLM方法。圖5給出了CS補(bǔ)償法、SLM算法及PTS算法的BER曲線，從圖5中可知，CS限幅補(bǔ)償法的BER性能略好于SLM 算法及PTS 算法，但從上文所提的算法過程可知，CS算法在計算量及對信道估計的優(yōu)化性能方面要好于概率類算法。

圖4 PAPR 限幅與概率類算法的CCDF 比較Fig.4 CCDF of clipping and probabilistic algorithms

圖5 PAPR 限幅與概率類算法的BER 比較Fig.5 BER of clipping and probabilistic algorithms

由于本文利用導(dǎo)頻數(shù)據(jù)結(jié)合CS 的BP 算法進(jìn)行限幅噪聲的補(bǔ)償運算，因此導(dǎo)頻數(shù)據(jù)量的多少必然對本文的新算法有所影響。下面將針對不同導(dǎo)頻子載波間隔對系統(tǒng)性能的影響，利用BER曲線進(jìn)行仿真對比分析。從圖6中可以看出，隨著導(dǎo)頻間隔的增大，系統(tǒng)性能會有所下降，這主要是因為導(dǎo)頻間隔對信道估計LS算法有較大影響，從而會影響誤差閾值ε的判斷。

圖6 不同導(dǎo)頻子載波數(shù)系統(tǒng)BER 比較Fig.6 BER comparison of different pilot number

另外，為了驗證多普勒效應(yīng)對于新算法的影響，下面采用BER曲線的形式進(jìn)行仿真分析。在表1及表2仿真參數(shù)的基礎(chǔ)上，設(shè)多普勒因子為0.01，先是對于系統(tǒng)不加任何的多普勒頻移的補(bǔ)償算法進(jìn)行仿真分析，然后再用傳統(tǒng)的時域塊估計方法對普勒頻移進(jìn)行估計和補(bǔ)償后進(jìn)行仿真對比。由圖7仿真結(jié)果可知，多普勒頻移對于新算法的影響較大，這主要是因為信道估計受多普勒影響較為嚴(yán)重。

圖7 多普勒效應(yīng)對于新算法的影響Fig.7 Influence of Doppler effect on new algorithm

由于單一的基于CS 的限幅失真補(bǔ)償算法受信道估計的影響較大，本文采用的CS 與LS 信道估計相結(jié)合的優(yōu)化算法，可以在減小限幅失真的同時提高信道估計性能。圖8(a)、圖8(b)及圖8(c)分別從無限幅補(bǔ)償、CS限幅補(bǔ)償及CS限幅補(bǔ)償與LS信道估計優(yōu)化組合算法3 個方面，利用星座圖進(jìn)行仿真對比分析。從仿真圖中可知，不做任何補(bǔ)償運算的限幅操作會產(chǎn)生很大的失真，而單一的CS 的限幅失真補(bǔ)償算法能夠在一定程度上減小限幅失真，較為理想的情況是采用CS 限幅失真補(bǔ)償與LS 信道估計相結(jié)合的優(yōu)化算法，如圖8(c)所示。

圖8 CS 限幅補(bǔ)償與LS 信道估計優(yōu)化算法星座圖Fig.8 Constellation of optimizing clipping noise and channel estimation

4 結(jié)論

本文采用CS 與導(dǎo)頻數(shù)據(jù)相給合的限幅噪聲的估計及補(bǔ)償算法，使接收機(jī)能夠有效恢復(fù)信號限幅前的幅值，同時減小噪聲對于LS 算法的影響。主要根據(jù)水聲信道中限幅脈沖噪聲的稀疏特性，基于CS處理算法，再結(jié)合信道估計LS優(yōu)化算法，在提高HPA工作效率的同時，能夠有效降低限幅噪聲和信道估計噪聲，從而使整個系統(tǒng)性能得到提升。算法構(gòu)建過程及計算機(jī)仿真分析結(jié)果均表明，CS算法對于降低限幅噪聲具有較為明顯的提升作用，而且運算復(fù)雜度較低。綜合以上理論及仿真分析結(jié)果可知，本文提出的基于CS 的OFDM水聲通信系統(tǒng)PAPR的抑制及補(bǔ)償與LS信道估計優(yōu)化相結(jié)合的算法，能夠有效提高OFDM水聲通信系統(tǒng)的性能。