郭鐵梁 李志軍 張文祥

(梧州學(xué)院電子與信息工程學(xué)院 梧州 543002)

0 引言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)技術(shù)能夠有效抑制水聲信道較為嚴(yán)重的多徑效應(yīng)，所以這種技術(shù)被廣泛地應(yīng)用于水聲通信系統(tǒng)中。由于OFDM 信號(hào)會(huì)出現(xiàn)信號(hào)瞬時(shí)功率峰值遠(yuǎn)大于平均功率值的高峰均比(Peak to average power ratio, PAPR)現(xiàn)象，這種高PAPR不但會(huì)使系統(tǒng)的性能下降，而且會(huì)降低功率放大器(High-power amplifier, HPA)等硬件設(shè)備的工作效率，尤其對(duì)于多數(shù)采用電池供電的水下通信移動(dòng)設(shè)備來(lái)說(shuō)，過(guò)高的PAPR 會(huì)產(chǎn)生較大的能量供應(yīng)問(wèn)題[1]。另外，最小二乘(Least square, LS)信道估計(jì)方法因其較小的運(yùn)算量得到關(guān)注，但由于這種算法受噪聲影響較大，所以制約了這種方法的廣泛應(yīng)用，特別對(duì)于高噪聲的水下通信環(huán)境，LS 算法的使用受到了更大的限制。目前，研究PAPR 的方法通常包括編碼類(lèi)、概率類(lèi)和預(yù)畸變類(lèi)等，其中人們研究及使用較多的是預(yù)畸變類(lèi)方法中的限幅法。實(shí)踐表明，限幅法對(duì)PAPR 具有高效的抑制作用，但由于這種方法是一種非線(xiàn)性操作，所以會(huì)引起信號(hào)的畸變。通常情況下，限幅法導(dǎo)致的非線(xiàn)性失真可通過(guò)相應(yīng)的補(bǔ)償算法得到解決，例如可以通過(guò)發(fā)送端編碼，或通過(guò)迭代判決輔助重構(gòu)法恢復(fù)原始數(shù)據(jù)，但這些方法大多需要傳送輔助數(shù)據(jù)，以犧牲通信系統(tǒng)有效性為代價(jià)[2]。針對(duì)傳統(tǒng)限幅方法中存在的上述問(wèn)題，如將限幅畸變看作一個(gè)不同于加性高斯白噪聲的新噪聲，它實(shí)際是一種具有稀疏特性的負(fù)脈沖[3]，可稱(chēng)其為稀疏限幅噪聲，結(jié)合限幅脈沖噪聲數(shù)據(jù)的這種稀疏特性和LS 算法特性，本文提出了一種基于壓縮感知(Compression sensing, CS)技術(shù)的補(bǔ)償PAPR 非線(xiàn)性失真與LS 降噪算法相結(jié)合的優(yōu)化算法，這種方法主要利用導(dǎo)頻數(shù)據(jù)，通過(guò)CS 技術(shù)中相應(yīng)算法在接收端進(jìn)行限幅補(bǔ)償，同時(shí)對(duì)LS信道估計(jì)進(jìn)行降噪優(yōu)化計(jì)算。

1 系統(tǒng)模型

1.1 CS算法模型

CS 理論的核心問(wèn)題是求解加權(quán)系數(shù)N ×1 維列向量θ的過(guò)程，接收機(jī)可采用適當(dāng)?shù)乃阉魉惴ㄔ讦鹊慕饪臻g獲得最優(yōu)解。主要的優(yōu)化搜索算法有兩類(lèi)，第一類(lèi)是基追蹤(Basis pursuit, BP)算法，第二類(lèi)是正交匹配追蹤(Orthogonal matching pursuit,OMP)算法?？紤]重構(gòu)誤差，BP算法可表示[4?6]為

式(1)中，ε表示一個(gè)很小的誤差容忍值。

由于BP 算法運(yùn)算量很大，影響信道估計(jì)的實(shí)時(shí)性(特別對(duì)于時(shí)變水聲信道)，所以在實(shí)際水下環(huán)境中很難得到應(yīng)用。而OMP 算法利用遞歸方式減少迭代次數(shù)，再通過(guò)使用多于BP 算法需要的采樣數(shù)目，大幅降低了運(yùn)算量，所以更適用時(shí)變水聲信道[7]。由于本文只是做仿真實(shí)驗(yàn)，所以后面的仿真過(guò)程還是利用BP算法得到的。

1.2 OFDM的稀疏限幅噪聲

由于有些OFDM 時(shí)域離散信號(hào)x(n)的幅值可能超過(guò)HPA 的工作范圍，因此在x(n)被送入HPA之前須進(jìn)行限幅處理，經(jīng)限幅之后的數(shù)據(jù)c(n)與原數(shù)據(jù)x(n)之間的差值可表示為

對(duì)于整個(gè)水聲通信系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，式(2)中數(shù)據(jù)i(n)可以看作一種負(fù)的脈沖噪聲，由于x(n)中較大幅值數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率較小，因此這種脈沖噪聲數(shù)據(jù)在時(shí)域上具有稀疏特性?；趇(n)的這一特點(diǎn)，可以利用CS 技術(shù)在系統(tǒng)接收端通過(guò)相應(yīng)的算法對(duì)i(n)加以恢復(fù)，從而對(duì)限幅引起的非線(xiàn)性失真加以補(bǔ)償，限幅后的數(shù)據(jù)在接收端的基帶離散信號(hào)可表示為

其中，C由h(n)決定，為N ×N維信道循環(huán)矩陣，其作用是將多徑水聲信道的脈沖響應(yīng)與時(shí)域信號(hào)做卷積運(yùn)算[8]，y、x、i、g分別表示N ×1 維列矩陣向量。將式(4)兩邊同時(shí)進(jìn)行離散傅里葉變換(Discrete Fourier transform, DFT)，進(jìn)而可得到式(4)的頻域表達(dá)：

其中，F(xiàn)表示DFT矩陣，F(xiàn)H表示離散傅里葉逆變換(Inverse discrete Fourier transform,IDFT)矩陣，由式(5)在接收端利用式(6)可得到X的估計(jì)值[9]：

2 基于CS理論及導(dǎo)頻數(shù)據(jù)的限幅噪聲補(bǔ)償算法

2.1 基于導(dǎo)頻子載波的限幅噪聲估計(jì)

由于在OFDM 系統(tǒng)中有Np個(gè)導(dǎo)頻子載波，而導(dǎo)頻子載波處的數(shù)據(jù)在接收端是已知的，所以接收端收到的實(shí)際導(dǎo)頻數(shù)據(jù)與已知導(dǎo)頻數(shù)據(jù)的差值就是導(dǎo)頻處的噪聲數(shù)據(jù)，而這個(gè)噪聲中包含具有稀疏特性的限幅噪聲和限幅信號(hào)經(jīng)過(guò)多徑水聲信道之后高斯白噪聲。

設(shè)OFDM 系統(tǒng)中Np個(gè)導(dǎo)頻子載波的子載波序號(hào)集合用P ={p1,p2,···,pNp}表示，根據(jù)式(5)，接收端導(dǎo)頻子載波上頻域數(shù)據(jù)可表示為

又由式(7)，所以式(8)變?yōu)?/p>

根據(jù)CS理論，定義測(cè)量矩陣：

再令ic=Ci，則式(9)變?yōu)?/p>

其中，向量ic表示限幅脈沖稀疏噪聲通過(guò)水聲信道之后的時(shí)域值，式(11)方程右邊第2 項(xiàng)表示導(dǎo)頻處信道估計(jì)產(chǎn)生的誤差。

結(jié)合式(1)和式(11)，可得

利用式(12)，在設(shè)定一個(gè)誤差容忍值ε和已知信道響應(yīng)估計(jì)初值的前提下就可得到，從而再利用式(6)對(duì)限幅所產(chǎn)生的非線(xiàn)性失真進(jìn)行補(bǔ)償?shù)玫?，而誤差容忍值ε的設(shè)定由2.2節(jié)完成。

2.2 基于LS算法的誤差容忍值ε的設(shè)定

首先通過(guò)LS 信道估計(jì)得到的Np個(gè)導(dǎo)頻信道估值,Np?1，再將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行Np點(diǎn)IDFT，得到Np點(diǎn)時(shí)域序列：

其中，n= 0,1,2,···,Np?1。然后對(duì)式(13)做降噪處理，將Np個(gè)響應(yīng)值保留L個(gè)有效路徑，其余置“0”，如果信道的時(shí)延信息未知，可保留循環(huán)前綴或者通過(guò)設(shè)置噪聲門(mén)限的方法確定L的值。降噪處理后得到Np點(diǎn)時(shí)域序列：

再對(duì)hp(n)做Np點(diǎn)的DFT，最后得到降噪后導(dǎo)頻處信道響應(yīng)估值為

其中，Hp、分別表示導(dǎo)頻處Np×1 維信道頻響的真實(shí)值及LS 估計(jì)值。再令d=Hp?，則式(16)變?yōu)槭絑= diag(Xp)d+Gp，可假設(shè)噪聲Z為均值為0 的多變量正態(tài)分布，其協(xié)方差矩陣可表示為

其中，σ2表示高斯噪聲的方差，可根據(jù)LS 信道估計(jì)獲得估值，Rdd表示d的協(xié)方差矩陣，由式(18)計(jì)算：

其中，β是常數(shù)，其取值與具體的調(diào)制方式有關(guān)，SNR 表示信噪比，INp表法Np×Np維單位矩陣。RHpHp表示導(dǎo)頻處的Np×Np維信道自相關(guān)矩陣，由于信道自相關(guān)矩陣獲取較為困難，本文在LS算法的基礎(chǔ)上對(duì)采用DFT 變換域降噪處理后得到Hp，進(jìn)而得到近似自相關(guān)矩陣RHpHp。由式(17)可計(jì)算以下各式：

其中，trace(·)表示對(duì)矩陣求跡，RZZ(i,j)表示矩陣RZZ的第i行第j列位置的元素。再由式(19)和式(20)計(jì)算∥Z∥22的標(biāo)準(zhǔn)差

根據(jù)概率論知識(shí)，∥Z∥22一般情況下滿(mǎn)足[9]

綜上，由式(21)可近似得到誤差容忍值ε：

2.3 信道響應(yīng)及限幅噪聲估計(jì)的進(jìn)一步優(yōu)化

由于式(15)信道響應(yīng)估計(jì)的初值并沒(méi)有考慮限幅噪聲的影響，因而這個(gè)信道響應(yīng)還需進(jìn)一步提高精確度，式(6)得到后，可利用接收到的Y和進(jìn)行信道頻響估值的優(yōu)化計(jì)算：

綜上所述，可將以上對(duì)于稀疏限幅噪聲的估計(jì)及消除限幅失真和信道估計(jì)優(yōu)化的算法，用一個(gè)系統(tǒng)原理圖表示，如圖1所示，可以更加明了本文所提算法的具體流程。

圖1 CS 補(bǔ)償限幅噪聲及信道估計(jì)優(yōu)化原理圖Fig.1 Principle diagram of optimizing clipping noise and channel estimation

3 仿真分析

下面通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證上述峰均比非線(xiàn)性失真CS 補(bǔ)償與LS 信道估計(jì)相結(jié)合的優(yōu)化算法，由于水聲信道較為復(fù)雜，為了獨(dú)立分析新算法的性能，本文的仿真過(guò)程首先考慮多徑水聲信道加性高斯白噪聲的作用，然后再考慮多普勒效應(yīng)的影響。系統(tǒng)仿真參數(shù)詳細(xì)說(shuō)明參見(jiàn)表1[10]，直接限幅PAPR 門(mén)限設(shè)為10 dB，調(diào)制方式為8-QAM，星座圖功率歸一化因子β= 9/8。仿真使用單頻正弦信號(hào)作為發(fā)射信號(hào)，經(jīng)過(guò)5條路徑傳播，幅度衰減和相對(duì)時(shí)延差如表2所示[11]，仿真過(guò)程將利用互補(bǔ)累積分布函數(shù)(Complementary cumulative distribution function, CCDF)，誤碼率(Bit errors rate, BER)及星座圖來(lái)分析本文優(yōu)化算法的性能。

表1 OFDM 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 OFDM system parameters

首先分析驗(yàn)證CS 算法對(duì)PAPR 非線(xiàn)性失真的補(bǔ)償效果。利用表1、表2中的數(shù)據(jù)，圖2繪出了直接限幅法、壓縮擴(kuò)展法的CCDF 曲線(xiàn)的對(duì)比仿真結(jié)果。由于CS 算法主要對(duì)直接限幅法的非線(xiàn)性失真進(jìn)行補(bǔ)償，所以在CCDF 曲線(xiàn)上只能用直接限幅的曲線(xiàn)來(lái)體現(xiàn)，而CS 算法的補(bǔ)償效果主要體現(xiàn)在圖3中，圖3分別繪出了CS 限幅補(bǔ)償算法、壓縮擴(kuò)展限幅和直接限幅算法的BER 曲線(xiàn)。由于壓縮擴(kuò)展限幅和直接限幅算法不能去除接收端的限幅噪聲，因而使得這兩種方法雖然能保證水下HPA 正常工作，對(duì)PAPR 的抑制作用非常有效，但卻不能保證系統(tǒng)的誤碼率性能。從圖3的誤碼率曲線(xiàn)可以看出，CS算法很好地補(bǔ)償了直接限幅的非線(xiàn)性失真，獲得了比壓縮擴(kuò)展法更好的系統(tǒng)性能。

表2 水聲信道多徑幅度衰落和相對(duì)時(shí)延Table 2 Multipath amplitude fading and relative delay of underwater acoustic channel

圖2 PAPR 限幅算法的CCDF 比較Fig.2 CCDF comparison of PAPR clipping

圖3 PAPR 限幅算法的BER 比較Fig.3 BER comparison of PAPR clipping

另外，為了和其他類(lèi)別的降低PAPR 的方法相比較，下面將傳統(tǒng)的概率類(lèi)算法中的選擇性映射(Selected mapping, SLM)法、部分傳輸序列(Partial transmit sequence,PTS)法與直接限幅結(jié)合CS補(bǔ)償算法進(jìn)行CCDF 曲線(xiàn)及BER 曲線(xiàn)的性能對(duì)比仿真分析。將SLM 算法中的傳輸序列數(shù)目設(shè)為4，將PTS 算法中的相位加權(quán)系數(shù)(旋轉(zhuǎn)因子)的數(shù)量也設(shè)為4。圖4給出了直接限幅法、SLM算法及PTS算法的CCDF 曲線(xiàn)，如果只考慮對(duì)于PAPR 的抑制作用，從圖4中可以看出，PTS 方法要稍好于SLM方法。圖5給出了CS補(bǔ)償法、SLM算法及PTS算法的BER曲線(xiàn)，從圖5中可知，CS限幅補(bǔ)償法的BER性能略好于SLM 算法及PTS 算法，但從上文所提的算法過(guò)程可知，CS算法在計(jì)算量及對(duì)信道估計(jì)的優(yōu)化性能方面要好于概率類(lèi)算法。

圖4 PAPR 限幅與概率類(lèi)算法的CCDF 比較Fig.4 CCDF of clipping and probabilistic algorithms

圖5 PAPR 限幅與概率類(lèi)算法的BER 比較Fig.5 BER of clipping and probabilistic algorithms

由于本文利用導(dǎo)頻數(shù)據(jù)結(jié)合CS 的BP 算法進(jìn)行限幅噪聲的補(bǔ)償運(yùn)算，因此導(dǎo)頻數(shù)據(jù)量的多少必然對(duì)本文的新算法有所影響。下面將針對(duì)不同導(dǎo)頻子載波間隔對(duì)系統(tǒng)性能的影響，利用BER曲線(xiàn)進(jìn)行仿真對(duì)比分析。從圖6中可以看出，隨著導(dǎo)頻間隔的增大，系統(tǒng)性能會(huì)有所下降，這主要是因?yàn)閷?dǎo)頻間隔對(duì)信道估計(jì)LS算法有較大影響，從而會(huì)影響誤差閾值ε的判斷。

圖6 不同導(dǎo)頻子載波數(shù)系統(tǒng)BER 比較Fig.6 BER comparison of different pilot number

另外，為了驗(yàn)證多普勒效應(yīng)對(duì)于新算法的影響，下面采用BER曲線(xiàn)的形式進(jìn)行仿真分析。在表1及表2仿真參數(shù)的基礎(chǔ)上，設(shè)多普勒因子為0.01，先是對(duì)于系統(tǒng)不加任何的多普勒頻移的補(bǔ)償算法進(jìn)行仿真分析，然后再用傳統(tǒng)的時(shí)域塊估計(jì)方法對(duì)普勒頻移進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償后進(jìn)行仿真對(duì)比。由圖7仿真結(jié)果可知，多普勒頻移對(duì)于新算法的影響較大，這主要是因?yàn)樾诺拦烙?jì)受多普勒影響較為嚴(yán)重。

圖7 多普勒效應(yīng)對(duì)于新算法的影響Fig.7 Influence of Doppler effect on new algorithm

由于單一的基于CS 的限幅失真補(bǔ)償算法受信道估計(jì)的影響較大，本文采用的CS 與LS 信道估計(jì)相結(jié)合的優(yōu)化算法，可以在減小限幅失真的同時(shí)提高信道估計(jì)性能。圖8(a)、圖8(b)及圖8(c)分別從無(wú)限幅補(bǔ)償、CS限幅補(bǔ)償及CS限幅補(bǔ)償與LS信道估計(jì)優(yōu)化組合算法3 個(gè)方面，利用星座圖進(jìn)行仿真對(duì)比分析。從仿真圖中可知，不做任何補(bǔ)償運(yùn)算的限幅操作會(huì)產(chǎn)生很大的失真，而單一的CS 的限幅失真補(bǔ)償算法能夠在一定程度上減小限幅失真，較為理想的情況是采用CS 限幅失真補(bǔ)償與LS 信道估計(jì)相結(jié)合的優(yōu)化算法，如圖8(c)所示。

圖8 CS 限幅補(bǔ)償與LS 信道估計(jì)優(yōu)化算法星座圖Fig.8 Constellation of optimizing clipping noise and channel estimation

4 結(jié)論

本文采用CS 與導(dǎo)頻數(shù)據(jù)相給合的限幅噪聲的估計(jì)及補(bǔ)償算法，使接收機(jī)能夠有效恢復(fù)信號(hào)限幅前的幅值，同時(shí)減小噪聲對(duì)于LS 算法的影響。主要根據(jù)水聲信道中限幅脈沖噪聲的稀疏特性，基于CS處理算法，再結(jié)合信道估計(jì)LS優(yōu)化算法，在提高HPA工作效率的同時(shí)，能夠有效降低限幅噪聲和信道估計(jì)噪聲，從而使整個(gè)系統(tǒng)性能得到提升。算法構(gòu)建過(guò)程及計(jì)算機(jī)仿真分析結(jié)果均表明，CS算法對(duì)于降低限幅噪聲具有較為明顯的提升作用，而且運(yùn)算復(fù)雜度較低。綜合以上理論及仿真分析結(jié)果可知，本文提出的基于CS 的OFDM水聲通信系統(tǒng)PAPR的抑制及補(bǔ)償與LS信道估計(jì)優(yōu)化相結(jié)合的算法，能夠有效提高OFDM水聲通信系統(tǒng)的性能。