丁伯倫 張力娟 周金倩 朱貝貝

(揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127)

1 案例分析

以2020年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題第一問(wèn)為例，根據(jù)某一工件1在水平狀態(tài)下的測(cè)量數(shù)據(jù)(數(shù)字信號(hào))，來(lái)標(biāo)注出被測(cè)工件表面輪廓線的各項(xiàng)參數(shù)值。

圖1 某工件1在水平狀態(tài)下測(cè)量的輪廓線

假設(shè)被測(cè)工件的輪廓線是由直線和圓弧構(gòu)成的光滑曲線，首先根據(jù)工件1的水平測(cè)量數(shù)據(jù)(數(shù)字信號(hào))，運(yùn)用Matlab軟件可得工件x軸與z軸數(shù)字信號(hào)的平面圖，如圖2所示：

圖2 工件1在水平狀態(tài)下的數(shù)字信號(hào)坐標(biāo)圖

可設(shè)定z軸初始點(diǎn)為-1.770，那么近似水平狀態(tài)輪廓線的表達(dá)式為z0=-1.770，再以第一段傾斜線為例，運(yùn)用Excel進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，可得輪廓線D1的表達(dá)式為z1=-2.7468x+134.95。采用類似的方法可得每段傾斜線的表達(dá)式，如表1所示：

表1 每段傾斜線的表達(dá)式

結(jié)合“人字形”兩邊輪廓線的表達(dá)式，求出相應(yīng)交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到“人字形”輪廓線的長(zhǎng)度。如表1，已知“人字形”兩邊的輪廓線D7、D8的表達(dá)式，可求出輪廓線D7、D8的交點(diǎn)坐標(biāo)為(76.810，-0.782)，運(yùn)用Excel進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，可求得輪廓線D7、D8的長(zhǎng)度，D7=5.235,D8=5.147，結(jié)合之前水平線z0=-1.770，得到人字線性的高度為0.998。

圖3 工件1在水平狀態(tài)下的數(shù)字信號(hào)坐標(biāo)圖的局部圖

運(yùn)用Excel軟件擬合出工件1數(shù)字信號(hào)的局部圖，利用水平線段的表達(dá)公式：z0=-1.770與輪廓線D1的表達(dá)公式z1=-2.7468x+134.95求出交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為49.772，同理利用水平線段的表達(dá)公式z0=-1.770與輪廓線D2的表達(dá)公式z2=2.779x-148.05，求出A2的橫坐標(biāo)為52.676，再用A2的橫坐標(biāo)減去A1的橫坐標(biāo)，即可求出槽口寬度x1=2.904；利用水平線段的表達(dá)公式z0=-1.770與輪廓線D3的表達(dá)式z3=-3.7092x+212.1，求出交點(diǎn)A3的橫坐標(biāo)為57.653，再利用A3的橫坐標(biāo)減去A2的橫坐標(biāo)，即可求出水平線段長(zhǎng)度為x2=4.977。以此類推，可求出其他槽口寬度和水平線段長(zhǎng)度如表2所示：

表2 槽口寬度和水平線段長(zhǎng)度

根據(jù)上述已知條件，求出了各輪廓線的表達(dá)公式，由已知的水平線段x0與斜線D1的表達(dá)式，得出輪廓線D1斜率kD1=-2.7468，則輪廓線D1與水平線段x0的夾角∠1=arctan(-2.7468)，根據(jù)角度的關(guān)系可得∠1=π=arctan(-2.7468)=110.005°；已知水平線段x2與斜線D2的表達(dá)式，可得輪廓線D2斜率kD1=2.7779，則輪廓線D2與水平線段x2的夾角∠2為arctan(2.7779)，根據(jù)角度的關(guān)系可得∠2=π-arctan(2.7779)=109.798°，同理可得其他斜線與水平線之間的夾角，如表3所示：

表3 斜線與水平線之間的夾角

表4 圓的半徑和圓心距

2 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)接觸式輪廓儀的自動(dòng)標(biāo)注問(wèn)題，利用Matlab軟件與數(shù)據(jù)處理技術(shù)，建立特定的圓方程、直線方程模型，合理標(biāo)注出工件輪廓線的各項(xiàng)參數(shù)值。首先對(duì)被測(cè)工件的輪廓線假設(shè)成光滑平面曲線以獲取主體輪廓，然后利用Matlab軟件對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)(數(shù)字信號(hào))進(jìn)行輪廓提取，最后通過(guò)傾斜線，直線和圓弧等信息得出元件各項(xiàng)參數(shù)值。在同一狀態(tài)下的多組測(cè)量數(shù)據(jù)的情況下，擬合后得到的結(jié)果會(huì)相對(duì)精確，具有一定的參考性。