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        結(jié)合坐標(biāo)變換的GM(1,1)模型及其變形預(yù)測應(yīng)用

        2021-04-27 11:04:40軍,張波,周學(xué),張
        人民長江 2021年4期
        關(guān)鍵詞:對模型預(yù)測值實例

        邱 利 軍,張 波,周 占 學(xué),張 京 奎

        (1.河北建筑工程學(xué)院,河北 張家口 075000; 2.河北省土木工程診斷、改造與抗災(zāi)重點實驗室,河北 張家口 075000; 3.中國電子科技集團公司第54 研究所,河北 石家莊 0500813)

        建筑物在施工建設(shè)過程中需要進行變形監(jiān)測以觀測其變形狀態(tài),同時確保其建設(shè)期間的安全,該項工作一般會延續(xù)至運營期間。在獲得變形數(shù)據(jù)后,變形分析則顯得尤為重要,而變形預(yù)測是變形分析的一項重要內(nèi)容。精確的變形預(yù)測能夠?qū)笃谧冃瘟坑袦?zhǔn)確的判斷,并對可能發(fā)生的危險情況提前制定應(yīng)對策略,以避免危險發(fā)生,從而達到降低損失的目的。常用的變形預(yù)測方法有回歸分析法、時間序列分析法、灰色系統(tǒng)分析模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[1]。由我國鄧聚龍教授所提出的GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的基本模型[2],其“小樣本、貧信息”的建模特點能夠做到建模預(yù)測的及時性。GM(1,1)模型在變形數(shù)據(jù)預(yù)測領(lǐng)域的應(yīng)用研究與實踐已經(jīng)展開,并取得了諸多成果。其中,王艷艷[3]等、王朝陽[4]等結(jié)合工程實踐分別針對傳統(tǒng)均值GM(1,1)模型和新陳代謝GM(1,1)模型進行了應(yīng)用研究。而由于模型建模存在優(yōu)勢建模維數(shù),因此選取合適的等維或非等維優(yōu)勢建模維數(shù)對GM(1,1)模型進行改進能夠提高建模預(yù)測的精度[5-7];同時,由于傳統(tǒng)GM(1,1)模型在建模機理上存在固有缺陷,因此,從初始值選取[8-9]、背景值重構(gòu)[10-11]、光滑比優(yōu)化等[12-14]一個或多個方面對其進行改進,能夠提高預(yù)測精度。文建華[15]等采用函數(shù)對原始數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)重構(gòu)以剔除原數(shù)據(jù)中干擾因子;蔡小輝[16]等通過分解原始序列以提取單調(diào)序列,從而建立GM(1,1)模型進行變形預(yù)測;高寧[17]等引入半?yún)?shù)理論構(gòu)建滑坡半?yún)?shù)GM(1,1)模型;胡華[18]等則以摩擦學(xué)理論為基礎(chǔ)推導(dǎo)出邊坡演化的非線性動力學(xué)模型,結(jié)合灰色系統(tǒng)理論構(gòu)建了以速率為參量的GM(1,1)模型并應(yīng)用于滑坡時間預(yù)測。而針對數(shù)據(jù)序列波動頻繁等復(fù)雜數(shù)據(jù)預(yù)測問題,許多學(xué)者采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、灰色馬爾科夫模型、自回歸模型、Kalman濾波等與GM(1,1)模型組合進行組合預(yù)測研究,取得了較好的效果[19-20]。

        但是在傳統(tǒng)GM(1,1)模型、原始數(shù)據(jù)變換改進的GM(1,1)模型[21-23]以及基于建模機理缺陷改進的GM(1,1)模型中,其本質(zhì)依然是指數(shù)函數(shù)預(yù)測,無論擬合精度多高,建模序列的一次累加序列和擬合函數(shù)序列在后期依然出現(xiàn)相近、相交或相離的趨勢,并不重合[24-26]?;谶@種情況,提出采用平面坐標(biāo)變換的方法對模型進行了改進,并以實測變形數(shù)據(jù)進行預(yù)測驗證。

        1 結(jié)合坐標(biāo)變換的GM(1,1)模型

        設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為非負(fù)離散序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))是X(0)的1-AGO序列,那么X(1)的緊鄰均值生成序列是Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))。則GM(1,1)模型為

        x(0)(k)+az(1)(k)=b

        (1)

        (2)

        式(2) 稱為式(1) 的白化方程。

        用最小二乘法可求解得:

        (3)

        (4)

        式(4) 即為X(1)序列預(yù)測公式;若k+1≤n,即為擬合值;若k+1>n,即為預(yù)測值。

        (5)

        若Δ>0,公式(4) 的計算值則下移,反之,則上移。平移后公式為

        (6)

        arctan[x(1)(n)-x(1)(n-1)]

        (7)

        若θ>0,則平移后進行順時針旋轉(zhuǎn);若θ<0,則在平移后進行逆時針旋轉(zhuǎn)。

        (3) 計算旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)。坐標(biāo)系中任一點(x,y)可繞點(x0,y0)旋轉(zhuǎn)θ角,得到新的坐標(biāo)點(x′,y′),其對應(yīng)轉(zhuǎn)換公式為

        (8)

        (9)

        注意,若n+i>xn+m,則以對應(yīng)的xn+m-1和xn+m兩點連線延長線上的值為預(yù)測值。

        對得到的預(yù)測序列累減還原,即可得到建模序列X(0)的m期預(yù)測序列。若序列建模前進行了預(yù)處理,則需要進行反向還原處理。

        模型原理如圖1所示,建模序列與擬合序列對應(yīng)的第n個值以及第n-1個值所構(gòu)成折線段趨勢可能是相近(圖1中n=5,n-1=4)、相交(圖1中n=6,n-1=5)、相離(圖1中n=7,n-1=6)的趨勢,平移使得第n個值重合(圖中采用n=6示意),計算夾角并進行繞點旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換,然后取橫軸為定值時旋轉(zhuǎn)后折線上對應(yīng)的縱坐標(biāo)值作為一次累加序列預(yù)測值(圖1中虛線與旋轉(zhuǎn)后折線交點)。由圖1可知,旋轉(zhuǎn)變換會導(dǎo)致擬合序列部分?jǐn)?shù)據(jù)誤差較大,但由于建模序列為已知序列,僅考慮預(yù)測階段序列,則改進方法達到了提高預(yù)測序列精度的目的。需要說明的是:繞點旋轉(zhuǎn)不改變旋轉(zhuǎn)點至基準(zhǔn)點(已知一次累加序列最后一項)的長度,圖中長度不等是由于縱橫坐標(biāo)軸比例尺不同所致。

        圖1 模型原理示意Fig.1 Schematic diagram of model principle

        2 工程實例

        采用大壩沉降觀測數(shù)據(jù)和基坑沉降觀測數(shù)據(jù)進行算法驗證,算法采用C#編程實現(xiàn),中間變量均采用雙精度(double)型數(shù)據(jù),最后數(shù)據(jù)四舍五入取至小數(shù)點后兩位。并采用4種不同模型對原始數(shù)據(jù)序列進行建模預(yù)測,以進行比較分析。所采用的模型如下:模型1,均值GM(1,1)模型;模型2,結(jié)合坐標(biāo)變換的均值GM(1,1)模型;模型3,ln(x+c)預(yù)處理后均值GM(1,1)模型;模型4,ln(x+c)預(yù)處理后再結(jié)合坐標(biāo)變換的GM(1,1)模型。

        實例1:取陸渾水庫大壩壩頂P29測點11期沉降變形觀測數(shù)據(jù)[5-6],采用上述4種模型,以前9期數(shù)據(jù)作為原始序列進行建模,預(yù)測第10期和第11期數(shù)據(jù)。前9期實測建模數(shù)據(jù)序列如表1所列,后兩期的預(yù)測數(shù)據(jù)與實測值及原文獻方法的預(yù)測值如表2所列;后兩期預(yù)測數(shù)據(jù)與原文獻方法預(yù)測值的相對誤差如表3所列。

        表1 實測建模數(shù)據(jù)序列值Tab.1 Sequence value of measured modeling data mm

        表2 不同模型的預(yù)測值Tab.2 The predicted values by different models mm

        由表2和表3可知:模型4的預(yù)測結(jié)果最好,其相對誤差最小,僅為0.11%;模型2的預(yù)測精度次之,相對誤差最大為0.16%;將模型1和模型2~4分別比較,可知坐標(biāo)變換對模型預(yù)測精度有明顯提高。4種模型自第9~11期的預(yù)測(第9期已知)與實測曲線如圖2所示。

        表3 不同模型預(yù)測值的相對誤差Tab.3 The relative error of models’ predicted values %

        圖2 不同模型建模預(yù)測曲線Fig.2 The predicted curves by different models

        由圖2可知,坐標(biāo)變換過程是對模型1以及模型3預(yù)測值沿縱向向?qū)崪y值的趨近和校正。

        實例2:采用某基坑監(jiān)測單個沉降觀測點10期實測累計沉降數(shù)據(jù)[10],利用上述4種模型,以前7期數(shù)據(jù)作為原始序列進行建模,預(yù)測第8~10期數(shù)據(jù)。前7期實測建模數(shù)據(jù)序列如表4所列,后3期預(yù)測數(shù)據(jù)與實測值如表5所示;后3期預(yù)測數(shù)據(jù)的相對誤差如表6所示。

        表4 某基坑實測建模數(shù)據(jù)序列值Tab.4 Sequence value of measured modeling data of a pit mm

        表5 算例2不同模型的預(yù)測值Tab.5 The predicted values of case 2 by different models mm

        分析表5和表6可知:模型4的預(yù)測結(jié)果最好,其相對誤差均在0.4%以下;模型3的預(yù)測精度次之,其相對誤差在0.5%~3.5%之間;分別比較模型1和模型2~4,可知坐標(biāo)變換對模型預(yù)測精度提高明顯。4種模型自第7期至第10期預(yù)測(第7期為已知值)結(jié)果與實測曲線對比見圖3。

        由圖3可明顯發(fā)現(xiàn):坐標(biāo)變換過程雖然是對模型1及模型3預(yù)測值沿縱向向?qū)崪y值的趨近和校正,但是可能出現(xiàn)圖3中模型1與模型2的情況,即變換前后兩條預(yù)測曲線分別位于實測曲線上方和下方,其原因在于以前期實測值與擬合值之間的夾角代替后期待測值與預(yù)測值之間的夾角誤差較大,導(dǎo)致校正過大。

        表6 不同模型預(yù)測值的相對誤差Tab.6 The relative error of models’ predicted values %

        圖3 算例2不同模型建模預(yù)測曲線Fig.3 The predicted curve of case 2 by different models

        綜合實例1及實例2可知,坐標(biāo)變換后模型能夠提高原模型精度,其與ln(x+c)變換提高精度的原理不同,兩者對精度提高的大小取決于原始已知序列,并不能單獨認(rèn)為某項改進較另一改進預(yù)測精度高,同時采用ln(x+c)變換和坐標(biāo)變換的方法,會得到比單一改進方法更高的預(yù)測精度。而ln(x+c)變換與坐標(biāo)變換組合改進模型的最終精度取決于變量c能否取到較佳的估值。上述實例1所取c為40,而實例2所取c值為5.7。

        3 結(jié) 論

        本文針對傳統(tǒng)GM(1,1)模型的一次累加序列預(yù)測函數(shù)與實測累加序列存在趨勢偏差這一情況,提出采用平面坐標(biāo)變換的方式對模型進行改進,以此來提高預(yù)測精度。同時以實測變形監(jiān)測數(shù)據(jù)來驗證改進模型的精度,并對多種不同模型預(yù)測結(jié)果進行對比分析,得到以下結(jié)論:① 坐標(biāo)變換的改進模型精度較高,適用于短期變形預(yù)測,具有一定的工程實踐應(yīng)用價值;② 該方法對本質(zhì)為指數(shù)函數(shù)擬合預(yù)測的GM(1,1)系列模型具有適用性;③ 該方法依然需要滿足GM(1,1)模型建模序列要求,即序列近似指數(shù)增長,存在適用條件限制,對不滿足建模條件的序列需要對原始序列進行預(yù)處理;④ 由于本質(zhì)為指數(shù)函數(shù)預(yù)測,因此在處理頻繁波動等復(fù)雜數(shù)據(jù)情況下難以獨自進行,需要與其它模型進行組合處理;⑤ 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的方法也可以向其它單一趨勢外推預(yù)測模型推廣。

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