邱 利 軍,張 波,周 占 學(xué),張 京 奎
(1.河北建筑工程學(xué)院,河北 張家口 075000; 2.河北省土木工程診斷、改造與抗災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北 張家口 075000; 3.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第54 研究所,河北 石家莊 0500813)
建筑物在施工建設(shè)過(guò)程中需要進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)以觀測(cè)其變形狀態(tài),同時(shí)確保其建設(shè)期間的安全,該項(xiàng)工作一般會(huì)延續(xù)至運(yùn)營(yíng)期間。在獲得變形數(shù)據(jù)后,變形分析則顯得尤為重要,而變形預(yù)測(cè)是變形分析的一項(xiàng)重要內(nèi)容。精確的變形預(yù)測(cè)能夠?qū)笃谧冃瘟坑袦?zhǔn)確的判斷,并對(duì)可能發(fā)生的危險(xiǎn)情況提前制定應(yīng)對(duì)策略,以避免危險(xiǎn)發(fā)生,從而達(dá)到降低損失的目的。常用的變形預(yù)測(cè)方法有回歸分析法、時(shí)間序列分析法、灰色系統(tǒng)分析模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[1]。由我國(guó)鄧聚龍教授所提出的GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的基本模型[2],其“小樣本、貧信息”的建模特點(diǎn)能夠做到建模預(yù)測(cè)的及時(shí)性。GM(1,1)模型在變形數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)領(lǐng)域的應(yīng)用研究與實(shí)踐已經(jīng)展開(kāi),并取得了諸多成果。其中,王艷艷[3]等、王朝陽(yáng)[4]等結(jié)合工程實(shí)踐分別針對(duì)傳統(tǒng)均值GM(1,1)模型和新陳代謝GM(1,1)模型進(jìn)行了應(yīng)用研究。而由于模型建模存在優(yōu)勢(shì)建模維數(shù),因此選取合適的等維或非等維優(yōu)勢(shì)建模維數(shù)對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)能夠提高建模預(yù)測(cè)的精度[5-7];同時(shí),由于傳統(tǒng)GM(1,1)模型在建模機(jī)理上存在固有缺陷,因此,從初始值選取[8-9]、背景值重構(gòu)[10-11]、光滑比優(yōu)化等[12-14]一個(gè)或多個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),能夠提高預(yù)測(cè)精度。文建華[15]等采用函數(shù)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)以剔除原數(shù)據(jù)中干擾因子;蔡小輝[16]等通過(guò)分解原始序列以提取單調(diào)序列,從而建立GM(1,1)模型進(jìn)行變形預(yù)測(cè);高寧[17]等引入半?yún)?shù)理論構(gòu)建滑坡半?yún)?shù)GM(1,1)模型;胡華[18]等則以摩擦學(xué)理論為基礎(chǔ)推導(dǎo)出邊坡演化的非線性動(dòng)力學(xué)模型,結(jié)合灰色系統(tǒng)理論構(gòu)建了以速率為參量的GM(1,1)模型并應(yīng)用于滑坡時(shí)間預(yù)測(cè)。而針對(duì)數(shù)據(jù)序列波動(dòng)頻繁等復(fù)雜數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)問(wèn)題,許多學(xué)者采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、灰色馬爾科夫模型、自回歸模型、Kalman濾波等與GM(1,1)模型組合進(jìn)行組合預(yù)測(cè)研究,取得了較好的效果[19-20]。
但是在傳統(tǒng)GM(1,1)模型、原始數(shù)據(jù)變換改進(jìn)的GM(1,1)模型[21-23]以及基于建模機(jī)理缺陷改進(jìn)的GM(1,1)模型中,其本質(zhì)依然是指數(shù)函數(shù)預(yù)測(cè),無(wú)論擬合精度多高,建模序列的一次累加序列和擬合函數(shù)序列在后期依然出現(xiàn)相近、相交或相離的趨勢(shì),并不重合[24-26]?;谶@種情況,提出采用平面坐標(biāo)變換的方法對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn),并以實(shí)測(cè)變形數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證。
設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為非負(fù)離散序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))是X(0)的1-AGO序列,那么X(1)的緊鄰均值生成序列是Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))。則GM(1,1)模型為
x(0)(k)+az(1)(k)=b
(1)
(2)
式(2) 稱為式(1) 的白化方程。
用最小二乘法可求解得:
(3)
(4)
式(4) 即為X(1)序列預(yù)測(cè)公式;若k+1≤n,即為擬合值;若k+1>n,即為預(yù)測(cè)值。
(5)
若Δ>0,公式(4) 的計(jì)算值則下移,反之,則上移。平移后公式為
(6)
arctan[x(1)(n)-x(1)(n-1)]
(7)
若θ>0,則平移后進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn);若θ<0,則在平移后進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。
(3) 計(jì)算旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)。坐標(biāo)系中任一點(diǎn)(x,y)可繞點(diǎn)(x0,y0)旋轉(zhuǎn)θ角,得到新的坐標(biāo)點(diǎn)(x′,y′),其對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換公式為
(8)
(9)
注意,若n+i>xn+m,則以對(duì)應(yīng)的xn+m-1和xn+m兩點(diǎn)連線延長(zhǎng)線上的值為預(yù)測(cè)值。
對(duì)得到的預(yù)測(cè)序列累減還原,即可得到建模序列X(0)的m期預(yù)測(cè)序列。若序列建模前進(jìn)行了預(yù)處理,則需要進(jìn)行反向還原處理。
模型原理如圖1所示,建模序列與擬合序列對(duì)應(yīng)的第n個(gè)值以及第n-1個(gè)值所構(gòu)成折線段趨勢(shì)可能是相近(圖1中n=5,n-1=4)、相交(圖1中n=6,n-1=5)、相離(圖1中n=7,n-1=6)的趨勢(shì),平移使得第n個(gè)值重合(圖中采用n=6示意),計(jì)算夾角并進(jìn)行繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換,然后取橫軸為定值時(shí)旋轉(zhuǎn)后折線上對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值作為一次累加序列預(yù)測(cè)值(圖1中虛線與旋轉(zhuǎn)后折線交點(diǎn))。由圖1可知,旋轉(zhuǎn)變換會(huì)導(dǎo)致擬合序列部分?jǐn)?shù)據(jù)誤差較大,但由于建模序列為已知序列,僅考慮預(yù)測(cè)階段序列,則改進(jìn)方法達(dá)到了提高預(yù)測(cè)序列精度的目的。需要說(shuō)明的是:繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不改變旋轉(zhuǎn)點(diǎn)至基準(zhǔn)點(diǎn)(已知一次累加序列最后一項(xiàng))的長(zhǎng)度,圖中長(zhǎng)度不等是由于縱橫坐標(biāo)軸比例尺不同所致。
圖1 模型原理示意Fig.1 Schematic diagram of model principle
采用大壩沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)和基坑沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行算法驗(yàn)證,算法采用C#編程實(shí)現(xiàn),中間變量均采用雙精度(double)型數(shù)據(jù),最后數(shù)據(jù)四舍五入取至小數(shù)點(diǎn)后兩位。并采用4種不同模型對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè),以進(jìn)行比較分析。所采用的模型如下:模型1,均值GM(1,1)模型;模型2,結(jié)合坐標(biāo)變換的均值GM(1,1)模型;模型3,ln(x+c)預(yù)處理后均值GM(1,1)模型;模型4,ln(x+c)預(yù)處理后再結(jié)合坐標(biāo)變換的GM(1,1)模型。
實(shí)例1:取陸渾水庫(kù)大壩壩頂P29測(cè)點(diǎn)11期沉降變形觀測(cè)數(shù)據(jù)[5-6],采用上述4種模型,以前9期數(shù)據(jù)作為原始序列進(jìn)行建模,預(yù)測(cè)第10期和第11期數(shù)據(jù)。前9期實(shí)測(cè)建模數(shù)據(jù)序列如表1所列,后兩期的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)值及原文獻(xiàn)方法的預(yù)測(cè)值如表2所列;后兩期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與原文獻(xiàn)方法預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差如表3所列。
表1 實(shí)測(cè)建模數(shù)據(jù)序列值Tab.1 Sequence value of measured modeling data mm
表2 不同模型的預(yù)測(cè)值Tab.2 The predicted values by different models mm
由表2和表3可知:模型4的預(yù)測(cè)結(jié)果最好,其相對(duì)誤差最小,僅為0.11%;模型2的預(yù)測(cè)精度次之,相對(duì)誤差最大為0.16%;將模型1和模型2~4分別比較,可知坐標(biāo)變換對(duì)模型預(yù)測(cè)精度有明顯提高。4種模型自第9~11期的預(yù)測(cè)(第9期已知)與實(shí)測(cè)曲線如圖2所示。
表3 不同模型預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差Tab.3 The relative error of models’ predicted values %
圖2 不同模型建模預(yù)測(cè)曲線Fig.2 The predicted curves by different models
由圖2可知,坐標(biāo)變換過(guò)程是對(duì)模型1以及模型3預(yù)測(cè)值沿縱向向?qū)崪y(cè)值的趨近和校正。
實(shí)例2:采用某基坑監(jiān)測(cè)單個(gè)沉降觀測(cè)點(diǎn)10期實(shí)測(cè)累計(jì)沉降數(shù)據(jù)[10],利用上述4種模型,以前7期數(shù)據(jù)作為原始序列進(jìn)行建模,預(yù)測(cè)第8~10期數(shù)據(jù)。前7期實(shí)測(cè)建模數(shù)據(jù)序列如表4所列,后3期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)值如表5所示;后3期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差如表6所示。
表4 某基坑實(shí)測(cè)建模數(shù)據(jù)序列值Tab.4 Sequence value of measured modeling data of a pit mm
表5 算例2不同模型的預(yù)測(cè)值Tab.5 The predicted values of case 2 by different models mm
分析表5和表6可知:模型4的預(yù)測(cè)結(jié)果最好,其相對(duì)誤差均在0.4%以下;模型3的預(yù)測(cè)精度次之,其相對(duì)誤差在0.5%~3.5%之間;分別比較模型1和模型2~4,可知坐標(biāo)變換對(duì)模型預(yù)測(cè)精度提高明顯。4種模型自第7期至第10期預(yù)測(cè)(第7期為已知值)結(jié)果與實(shí)測(cè)曲線對(duì)比見(jiàn)圖3。
由圖3可明顯發(fā)現(xiàn):坐標(biāo)變換過(guò)程雖然是對(duì)模型1及模型3預(yù)測(cè)值沿縱向向?qū)崪y(cè)值的趨近和校正,但是可能出現(xiàn)圖3中模型1與模型2的情況,即變換前后兩條預(yù)測(cè)曲線分別位于實(shí)測(cè)曲線上方和下方,其原因在于以前期實(shí)測(cè)值與擬合值之間的夾角代替后期待測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的夾角誤差較大,導(dǎo)致校正過(guò)大。
表6 不同模型預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差Tab.6 The relative error of models’ predicted values %
圖3 算例2不同模型建模預(yù)測(cè)曲線Fig.3 The predicted curve of case 2 by different models
綜合實(shí)例1及實(shí)例2可知,坐標(biāo)變換后模型能夠提高原模型精度,其與ln(x+c)變換提高精度的原理不同,兩者對(duì)精度提高的大小取決于原始已知序列,并不能單獨(dú)認(rèn)為某項(xiàng)改進(jìn)較另一改進(jìn)預(yù)測(cè)精度高,同時(shí)采用ln(x+c)變換和坐標(biāo)變換的方法,會(huì)得到比單一改進(jìn)方法更高的預(yù)測(cè)精度。而ln(x+c)變換與坐標(biāo)變換組合改進(jìn)模型的最終精度取決于變量c能否取到較佳的估值。上述實(shí)例1所取c為40,而實(shí)例2所取c值為5.7。
本文針對(duì)傳統(tǒng)GM(1,1)模型的一次累加序列預(yù)測(cè)函數(shù)與實(shí)測(cè)累加序列存在趨勢(shì)偏差這一情況,提出采用平面坐標(biāo)變換的方式對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn),以此來(lái)提高預(yù)測(cè)精度。同時(shí)以實(shí)測(cè)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)模型的精度,并對(duì)多種不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,得到以下結(jié)論:① 坐標(biāo)變換的改進(jìn)模型精度較高,適用于短期變形預(yù)測(cè),具有一定的工程實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值;② 該方法對(duì)本質(zhì)為指數(shù)函數(shù)擬合預(yù)測(cè)的GM(1,1)系列模型具有適用性;③ 該方法依然需要滿足GM(1,1)模型建模序列要求,即序列近似指數(shù)增長(zhǎng),存在適用條件限制,對(duì)不滿足建模條件的序列需要對(duì)原始序列進(jìn)行預(yù)處理;④ 由于本質(zhì)為指數(shù)函數(shù)預(yù)測(cè),因此在處理頻繁波動(dòng)等復(fù)雜數(shù)據(jù)情況下難以獨(dú)自進(jìn)行,需要與其它模型進(jìn)行組合處理;⑤ 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的方法也可以向其它單一趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)模型推廣。